巧构中位线解题

赵军 郑丽娜

【摘要】三角形是平面几何的基本图形，也是日常生活中的常见图形，三角形中位线定理在平面几何中有着举足轻重的地位，是中考试题的“嘉宾”，中位线定理及其应用值得同学们学习和研究.

【关键词】平面几何;三角形中位线;构造中位线

三角形中位线定理是平面几何的一个重要结论，它在解题中应用广泛，当题目的条件中有中点或能产生中点时，可考虑构造三角形的中位线，进而运用三角形的中位线定理解题，下面介绍五种常见的构造中位线的方法，供大家参考.

1直接连两边中点

例1如图1所示，△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，求证：AF与DE互相平分.

分析图中共有三个中点，因此可连接DF，EF，则DF，EF都是△ABC的中位线.

证明连接DF，EF，则DF∥AC，EF∥AB，所以四边形ADEF是平行四边形，所以AF与DE互相平分.

2构造三角形中线

分析条件中虽然给出了两个中点E、B，但它们不在同一個三角形中，因而不能发挥中位线的作用，故可取AC的中点F，连接BF，则BF是△ADC的中位线.

由题意可知AF=AE，∠A=∠A，AB=AC，

所以△AFB≌△AEC，

所以BF=CE，

所以CE=CD.

3利用中位线作底边

例3如图3是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h₁.若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h₂，则下列结论正确的是（）

（A）h₂=2h₁.（B）h₂=1.5h₁.

（C）h₂=h₁.（D）h₂=h₁.

分析首先根据题意画出示意图，抓住OC是△ABD，△A′B′D′的中位线，利用中位线定理可得出结论.

解因为OC∥BD∥B′D′，且O为中点，

所以C是AD，A′D′的中点，

所以OC是△ABD，△A′B′D′的中位线，

所以h₁=h₂=2OC，

故选（C）.

4条件中无中点时，完善图形找中位线

例4如图4所示，在△ABC中，BE，CF都是角平分线，AG⊥FC，AH⊥BE，G，H为垂足，求证GH∥BC.

分析条件中没有中点，延长AG，AH分别交BC于点M，N，易得G，H分别是AM，AN的中点，则GH是△AMN的中位线.

证明延长AG，AH分别交BC于点M，N，

因为∠ACG=∠MCG，

CG=CG，

∠AGC=∠MGC=90，

所以△AGC≌△MGC，

所以AG=GM.

同理AH=MN.

所以GH是△AMN的中位线，

所以GH∥BC.

5作四边形对角线

例5如图5所示，四边形ABCD是平行四边形，AF交BD的延长线于点E，且AE=EF，连接CF，求证BE∥CF.

分析连接平行四边形的对角线AC，交BD于点H，则H为AC的中点，由此得HE是△ACF 的中位线.

证明连接AC，因为四边形ABCD是平行四边形，所以对角线AC与BD互相平分，

所以AH=HC，

因为AE=EF，

所以HE是△ACF的中位线，

所以BE∥EF.