双曲积分微分方程非常规Hermite型矩形元点态超收敛性分析及外推

穆静静，李 华，李 玲

(河南城建学院 数理学院， 建筑光伏一体化技术河南省工程实验室，河南 平顶山 467036)

考虑如下双曲积分微分方程

(1)

其中：Ω⊂2为具有Lipschitz连续的有界多边形区域，∂Ω为Ω的边界，T∈(0,∞)为一定值，X=(x,y),u0(X),u1(X)以及f(X,t)为已知光滑函数.

双曲积分微分方程有着较强的实际应用背景，其在核反应动力学、粘弹性力学、生物力学及具有记忆性质材料的热传导问题中有着重要的理论和应用价值. 近年来，关于此类方程的有限元研究已经取得了一定的成果[1-6].文献[2-3]分别研究了该方程在正则性网格和各向异性网格下的H1-Galerkin混合有限元方法，在不需要满足离散的LBB(Ladyzenskaja-Babuska-Brezzi)条件下得到了与传统混合元相同的误差估计.文献[4]利用5节点元讨论了该方程在各向异性网格下的非协调有限元方法，得到了与传统有限元方法相同的最优误差估计以及超逼近和超收敛结果.文献[5]将类Wilson非协调元方法应用于该方程，分析了半离散格式下的超逼近和超收敛结果，并构造了一个新的外推格式，得到具有3阶精度的外推解.文献[6]在不借助广义椭圆投影的情况下， 将各向异性三角形非协调类Carey元应用于该方程，得到了超逼近和超收敛结果.

超收敛性一直是有限元领域的热点问题，主要集中在有限元解本身的超收敛性和利用各种后处理技术获得有限元近似的超收敛的研究. 前者是关于有限元解本身的天然超收敛性，而后者是经过外推或导数恢复等技术使解具有超收敛性. 文献[7]在各向异性网格下讨论了Possion问题非协调元EQrot的超逼近性质，并利用插值后处理技术得到了整体超收敛性，同时证明了该元在单元中心点的超收敛性质.文献[8]进一步对EQrot元和带约束的旋转Q1非协调矩形元进行研究，分别得到了两元在单元顶点和边中点的超收敛性质.文献[9]在各向异性网格下讨论了双3次元Hermite的整体超收敛性以及在高斯点处的超收敛性.文献[10]中首次提到了论文中的非常规的Hermite型矩形元，利用积分恒等式技巧推导得到了该元的高精度结果，同时利用该元的性质对Possion方程进行了有限元分析，得到了半离散格式下的超逼近和超收敛性质，并做了外推分析，但未涉及点态超收敛性质的研究. 论文以双曲积分微分方程为研究对象，在文献[10]的基础上充分利用单元构造本身的特征和B-H引理，再次证明了该元的高精度结果,并结合导数转移技巧和插值后处理技术，得到了H1模意义下的超逼近和整体超收敛性质,同时利用B-H引理对该元进行了点态超收敛性分析， 这在以往文献中还未见报道. 最后通过构造合适的外推格式，得到了具有O(h4)阶精度的外推解.

1 单元构造及性质

设Th为Ω的一族矩形剖分，满足正则性及拟一致性假设.K∈Th,其中点为(xK,yK)，顶点为ai,i=1,2,3,4,平行于x轴y轴的边分别为l1,l3以及l2,l4,边长分别为2hKx,2hKy,hK=max{hKx,hKy},h=max{hK}.

计算可得

构造有限元空间

其中：Ih为Vh上的插值算子，且满足

引理1若u∈H4(Ω),v∈Vh,则((u-Ihu),v)=O(h3)‖u‖4‖v‖1,∀v∈Vh.

易验证此时

注引理1的结论在文献[10]中已被证明，其所采用的方法是积分恒等式技巧，并未考虑单元构造本身的特征. 论文主要利用单元自身特征及B-H引理，证明方法与之不同.

2 半离散格式及超逼近分析

(2)

变分问题(2)相应的有限元逼近问题为：求uh∈Vh，满足

(3)

定理1设u和uh分别是 (2)和(3)的解，且u,ut∈H4(Ω),utt∈H3(Ω)，则有

(θtt,vh)+(θ,vh)+(θ(τ),vh)dτ=(ρtt,vh)+(ρ,vh)+(ρ(τ),vh)dτ.

(4)

在(4)中取vh=θt，并利用导数转移技巧可得

上式两边从0到t积分，注意到θ(X,0)=θt(X,0)=0，有

2.创新驱动成为新的发展动力，出现大量各类知识密集型企业。互联网金融和电子商务成为经济发展的新领域，高技术产业产值、出口额大大超过了其他制造业；以知识密集型企业为标识，像腾讯、华为、大疆无人机等高新技术技术企业脱颖而出，反映了企业发展的新动向。

(5)

利用插值理论及引理1可得

(6)

(7)

(8)

(9)

将(6)～(9)式带入(5)式， 并利用Young不等式,有

由Gronwall引理得

定理证毕.

类似文献[10]可证明如下整体超收敛结果.

定理2在定理1的条件下，有

3 点态超收敛性分析

(10)

证明由于

(11)

又

(12)

同理可证当

由B-H引理可得

(13)

同理

(14)

将(13),(14)代入(12)中，有

下面估计N，由于

根据定理1，有

将N,M代入(11)式，即可得到(10)，定理证毕.

4 外 推

为了得到高阶外推结果，引入文献[11]中如下渐进展开式.

引理2[11]设u∈H4(Ω),∀v∈Vh，有

定理4设u,utt∈H4(Ω)，则存在φh∈Vh，有

证明对∀v∈Vh，由引理2和(4)式，有

(θtt,v)+(θ,v)+(θ(τ),v)dτ=(utt-Ihutt,vh)+

(15)

设φ为下列辅助问题的解，满足

(16)

(17)

其中

由Cauchy不等式和逆不等式可知

|g1(v)|≤ch‖utt‖3‖v‖1≤c‖utt‖3‖v‖0,

|g2(v)|≤ch‖u‖4‖v‖1≤c‖u‖4‖v‖0,

故

即g(·)是Vh上的有界线性泛函. 当u,ut∈H5(Ω)，utt∈H4(Ω)，由微分方程的正则性知

‖φ‖3+‖φt‖2+‖φtt‖2≤c(‖u‖L∞(H5Ω)+‖ut‖L∞(H5Ω)+‖utt‖L∞(H4Ω)),

其中

变分问题(17)的有限元逼近方程为：求φh∈Vh，满足

(18)

由(15),(17)可知

(θtt,v)+(θ,v)+(θ(τ),v)dτ=h2(g,v)+O(h4)‖utt‖4‖v‖0.

结合(18)，有

(ξtt,ξt)+(ξ,ξt)+((ξ(τ)),ξt)dτ≤ch4‖utt‖4‖v‖0,

变形得

两边同时积分，注意到ξ(X,0)=0,ξt(X,0)=0，故有

利用Gronwall引理得

下面给出辅助问题(16)解的误差估计.

定理5设φ,φh分别是(17)，(18)的解，φ,φt∈H3(Ω),φtt∈H2(Ω)，则

(19)

(20)

利用插值理论及Young不等式，对上式各项进行估计

(21)

(22)

(23)

(24)

将(21)～ (24)代入(20)，利用Gronwall引理得

定理证毕.

为了取得整体外推结果，可以采用文献[10]中构造的插值后处理算子∏4h，满足性质

∏4hIhω=∏4hω, ∀ω∈H3(Ω),

‖∏4hω-ω‖1≤ch3‖ω‖4,∀ω∈H5(Ω),

类似文献[11]中的讨论，可得到如下外推结果.