近年线性代数考研试题分析与预测

陈昱竹 杨树硕 张宇霄

摘要：21年考研数学试题通过大幅调整命题结构，首次尝试加强学生对学习内容本质理解的考察，并取得初步成效。为了了解在新的考试大纲下，线性代数考研试题的出题思路，减少考生该部分题目的失分率，我们将在本文中解答：线性代数的考点、出题形式、常考的重要知识点等。并通过总结分析近几年线性代数考题的出题方向，预测23年考研试题。

关键词：线性代数;考研;数据分析;23年考研题目预测。

一、研究背景

线性代数在数学考研中，始终占据着重要地位。探究新考研大纲下，线性代数考研试题出题思路、出题方向、常考题型知识点以及解题思路和技巧，预测考研题目的出题方向，进而有重点的进行复习;让解题变得更有针对性、方法性，从而减少考生的失分率。

（一）考研压力持续增加，相关材料需求增加

历年来，国家高度注重教育事业发展，高等教育逐渐普及化，根据教育部官方数据：2022年全国研究生报考人数高达457万人，较去年相比暴增了80万人。与此同时，我国研究生招生规模也在持续扩大。但尽管如此，研究生整体报录比仍集中在百分之30到40%之间，竞争压力日益增加。

（二）考研大纲有所改变，可帮助同学们把握复习重点

阅读最新考研大纲可知，数学考研试卷更加注重对知识本质理解的考察，其中，对线性代数部分的考察有以下变化。

1、试卷内容结构变化：

在总分150分、考试时间三小时不变的情况下，21年考研大纲中，分值的偏向有了较大的变化。其中，线性代数从34分，22%的比例，变成了30分，20%的比例。但是考研数学一中，线性代数的考点没有任何改动，这也就意味着，未来更倾向于考察有区别性的内容。

2、试卷题型结构变化：

选择题由“8小题，每小题4分”改为“10小题，每小题5分”;填空题由“6小题，每小题4分”改为“6小题，每小题5分”;解答题由“9小题，共94分”改为“6小题，共70分。

根据21年考研试卷来看，其中线性代数有：3道选择，1道填空，1道大题。

二、研究过程

（一）搜集资料

1、查阅往年考研卷宗，总结考题;

2、分析题目得分率，失分点;

3、搜索相关研究报告（市面上购买相关考研书籍，分析各个专家的观点）;

4、调查问卷，总结同学们对线性代数相关题目的学习心得，以及对线性代数相关考题的反应，对知识点进行排序。

（二）数据分析

运用比较研究方法、文献研究方法，对收集到的资料和相关文献进行整理和分析，总结相关结论。

对问卷结果进行系统功能语法分析、语篇体裁交织性分析、话语历史背景分析，借助大型内容分析研究性工具平台ROST content mining得出具体结论。再将结论用统计学分析的相关方法进行整理总结。

对收集整合到的例题、考点、解题方法、考生反馈等数据运用统计描述、方差分析、多元变量分析等统计学研究方法，专业系统的计算整合结论。

三、研究结果

2021年考研数学试题通过大幅调整命题结构，首次尝试加强学生对学习内容本质理解的考察，并取得初步成效。我们通过对往年知识点侧重的总结，并结合新的考察方向作出如下预测：

（一）整体考点

1、将往年试卷对比分析，得到高频考点：

（1）n阶行列式（n≥4）的计算

（2）用初等变换求矩阵A的逆

（3）用伴随矩阵求矩阵A的逆

（4）矩阵A、伴随阵*、行列式|A|互求

（5）矩阵的逆的判别

（6）用初等变换求矩阵A（含未知参数）的秩

（7）已知矩阵A（含未知参数）的秩，反过来求未知参数

（8）矩阵秩的大小的判别

（9）向量组α1，α2，ᴧ，αm线性相关、线性无关的判别

（10）用初等行变换求齐次线性方程组Ax=0的基础解系和通解

（11）判别齐次线性方程组（含参数）是否有非零解

（12）用初等行变换求非齐次线性方程组Ax=b的通解

（13）利用非齐次线性方程组解的结构来解题。比如：已知线性方程组Ax=b（含参数）的部分解（至少有两个解），反过来求未知参数

（14）求矩阵的特征值和特征向量

（15）已知对称矩阵A的部分特征值和特征向量、反过来求另一部分特征值和特征向量及A

（16）求正交矩阵ƍ，将实对称矩阵A对角化

（17）用正交变换化二次型为标准形

（18）已知二次型f（含参数）已知正交化后的标准形，反过来求未知参数

（19）正定矩阵的判别

2、通过各个考点的出现频率，以及对应的分数，可计算其“性价比”，可进一步得到在考研学习过程中，最好的复习顺序，以及时间分配。

3、通过试题答案，总结答题方法、思路。

（二）试题预测

1、选择第五题：

用初等变换求矩阵A（含未知参数）的秩;已知矩陣A（含未知参数）的秩，反过来求未知参数。

主要考点：用初等变换化为阶梯型，再讨论。

2、选择第六题：

向量组α1，α2，ᴧ，αm线性相关、线性无关的判别;用初等行变换将一个向量β用另一组向量α1，α2，ᴧ，αn线性表示;已知向量组（含未知参数）的秩，求未知参数。

主要考点：判别k1α1+k2α2+ᴧ+kmαm=0是否有非零解，归结于判别齐次线性方程组是否有非零解;将矩阵A=（α1，α2，ᴧ，αnMβ）作初等行变换将A的第一部分的左上角化为单位矩阵，则可将β用α1，α2，ᴧ，αn线性表示。

3、选择第七题：

用施密特（Schmidt）方法求线性无关向量组的正交向量组;求规范正交基。

主要考点：用内积，多次用公式;先用施密特（Schmidt）方法正交化，再单位化。

4、填空15題：

求齐次线性方程组的解。

主要考点：用初等变换将系数矩阵A化为阶梯型，据此确定自由变量和基础解系，进而可写出齐次线性方程组的通解。注意讨论是否有非零解。

5、解答题21题：

第一，求未知参数和解方程组。

主要考点：未知参数可能出现在行列式中，也可能出现在向量中，也可能出现在矩阵中。而解未知参数，必须要列方程（组）。然后来解方程组。因此，解方程组是重点。

第二，求矩阵的特征值和特征向量。

主要考点：写二次型f的矩阵A（含有未知参数）;求矩阵A的特征值;已知二次型f的规范形和特征值，反过来求未知参数;利用P-1AP=diag（λ1，λ2，λ3），可求得A;矩阵B为实对称矩阵，那么已知部分特征值和特征向量，求该矩阵的全部特征值和特征向量。

第三，矩阵的对角化。

主要考点：分为一般矩阵的对角化和对称矩阵的对角化;求二次型f的矩阵A;求A的两个特征根;已知二次型的矩阵（含参数）和一些条件，反过来求未知参数;已知二次型矩阵，求正交变换，将其化为标准型。

结束语：2021年的数学（一）命题既兼顾了全面考查，又做到了重点突出，既大幅创新了试题设计，摆脱了市面流行复习资料的套路误导，又没有偏题、怪题和技巧性很强的题目，在注重数学知识本质掌握考查的同时，也注重综合能力的考查，我们应当主动把握该题目风格、方向，进而更准确的预测考研试题。

同时，线性代数考研复习要夯实基础，善于运用线性方程组串联各章节内容，并且重视计算，勤加练习。

参考文献：

[1]同济大学数学系.工程数学线性代数第六版[M].北京：高等教育出版社，2014：1-169.

[2]教育部考试中心.全国硕士研究生招生考试数学考试分析（2022版）[M].北京：高等教育出版社，2021：5-7，8-30.

[3]教育部考试中心.2022年全国硕士研究生招生考试数学考试大纲[M].北京：高等教育出版社，2021：6-22，46-76.

[4]李永乐.线性代数辅导讲义[M].北京：中国农业出版社，2022：1-192.

资助项目：本论文由北京物资学院大学生创新创业项目资助。

作者简介：

陈昱竹，2001年5月20日，女，汉族，辽宁省，本科，北京物资学院在读本科生，计算机科学与技术，北京物资学院。

杨树硕，2002年5月9日，男，汉族，河北省，本科，北京物资学院在读本科生，信息管理与信息系统，北京物资学院。

张宇霄，2001年8月14日，男，汉族，新疆，本科，北京物资学院在读本科生，信息管理与信息系统，北京物资学院。