异分母分式加减运算中的通分技巧

谢射红

异分母分式的加减运算，一般是将异分母分式转化为同分母分式，转化过程中就需要通分.但由于分式的结构特征不同，所运用的通分技巧也会有所差异.因此，同学们除了要掌握分式通分的一般方法外，还应学会根据题目的具体情况，采取灵活多样的通分技巧，从而达到避繁就简的解题目的.

技巧一：先提负号，再通分

当两个异分母分式相加减时，若这两个分式的分母互为相反数，则需要先把其中一个分式的分母负号提出，再将其转化为相同的分母进行通分化简.

例1计算：+ .

分析：观察本题分式的结构，很容易看出题中两个分式的分母互为相反数，因此在计算时要注意先提负号，再去通分计算.

原式= - =

例2計算：x 2+ 4x +2 x 2- 2x +1+2x +5 2x -1 - x 2.

分析：观察本题分式的结构，可知异分母 x 2- 2x +1与2x -1 - x 2其实是一对相反数，所以要注意先把其中一个分式的分母的负号提出，再进行通分化简，使之化为相同分母的分式.

解：原式= x 2+ 4x +2 x 2- 2x +1-2x +5 x 2- 2x +1 = x 2+ 4x +2-2x -5 x 2- 2x +1 = x 2+ 2x -3 x 2- 2x +1=（x -1）（x +3）（x -1）2 = x +3 x -1.

评注：在数学运算中，负号极易被忽略.所以，在异分母分式相加减时，同学们不要急于去通分，而是要先弄清两个分式中的异分母是否互为相反数，若是，则要先提取负号，再通分.

技巧二：先分组，再通分

当四个或四个以上的异分母分式相加减时，同学们可以观察题目中各个分母之间是否存在一定的规律，如某种对称关系.若分母之间有一定的关联，则可以先按照某一标准将多个分式分好组，每组分别通分后，再整体通分.

例3计算：1 x +5-1 x +6-1 x +7+1 x +8.

分析：本题是四个异分母分式相加减，在通分前，需要先进行分组.分组方式多样，可以把两个分式的分母相加，按照和相同的方式分组通分，也可以按照从小到大的顺序，把分母相差为1的两个分式组合起来再通分等.

解法1：把两个分式的分母相加，按照和为13的方式分组通分.

原式=（ + ）-（ + ）

x +8+x +5x +7+x +6

=（x +5）（x +8）-（x +6）（x +7）

2x +132x +13

=（x +5）（x +8）-（x +6）（x +7）

（2x +13）（x +6）（x +7）

=（x +5）（x +8）（x +6）（x +7）-

（2x +13）（x +5）（x +8）

（x +5）（x +8）（x +6）（x +7）

（2x +13）（x2+13x +42-x2+13x -40）

=（x +5）（x +8）（x +6）（x +7）

4x +26

=（x +5）（x +8）（x +6）（x +7）.

解法2：把两个分母相减，按照从小到大，分母相差为1的方式分组通分.

原式=（ - ）-（ - ）

x +6-x -5x +8-x -7

=（x +5）（x +6）-（x +7）（x +8）

11

=（x +5）（x +6）-（x +7）（x +8）

（x +7）（x +8）

=（x +5）（x +6）（x +7）（x +8）-

（x +5）（x +6）

（x +5）（x +6）（x +7）（x +8）

x2+15x +56-x2-11x -30

=（x +5）（x +6）（x +7）（x +8）

4x +26

=（x +5）（x +6）（x +7）（x +8）

评注：当有四个（或以上）分母有大小顺序的分式相加减时，可以先两两分成一组，分别通分后再把每组计算所得的分式加减.

技巧三：先换元，再通分

在进行异分母分式加减时，若分式中存在相同部分，同学们不妨把相同部分设为新辅元，先换元，再进行通分.这样可以极大地降低运算难度，简化解题过程.

例4计算： y - z （x + y）（x + z）+ z - x （y + z）（y + x）+ x - y （z + x）（z + y）+1.

分析：本题直接通分难度较大，观察分式结构，可以看出它们中含有相同部分，若能利用换元法，将这些相同部分先换元后再通分计算，则可以化难为易.

解：

例5

分析：本题直接通分，十分棘手，仔细观察本题的分式结构，可以看出，每个分式中均含有 m2+m +1，这样不妨将 m2+m +1设为新元，待换元后再通分计算，即可轻松解题.

解：

评注：换元通分是分式运算中一种重要的通分方法.对于分式中相同部分较多的式子，先换元再通分可以大大简化运算过程.

总之，异分母分式相加减离不开通分，选择恰当的通分技巧，可使冗长、繁杂、令人感到枯燥的通分计算变得简单容易.通分的技巧也不止以上三种，同学们可以在以后的学习中不断地探究和总结，让解题更高效.