商科《线性代数》案例教学实践研究

杨浩 董婷 温道伟

摘要：线性代数的概念很多且抽象，这些概念要求学生仔细和有意识地使用定义，并证明与概念相关的基本陈述，这对商科专业的学生来说具有一定难度。通过典型的商业案例建模，借助具有挑战性的建模场景让学生了解这一学科的大多数抽象概念，并鼓励学生们用自己所学的知识来解决这些问题。通过把线性代数概念和商业案例知识相融合，寻找各个概念之间的联系，有助于解决线性代数抽象概念多的问题，同时可以提高学生数学思维、理解和实践应用等方面的能力。本文借助具体的案例实践来探索如何在线性代数教学中实现这个目标。

关键词：商务案例;线性代数;教学设计;教学过程

（一）引言

对商科学生来说，线性代数往往被认为是一门很难的学科，主要是因为这门学科的概念比较抽象。线性代数包含了丰富的概念，包括线性无关、线性变换、特征理论、向量空间、张成空间、可逆性、秩、核等等，例如，有的人所说的可逆矩阵定理与十几个等价的概念有关。因此，学生不仅必须自己理解这些概念，而且还必须找出这些概念是如何以及为什么相互联系的原因。这样，教学反馈当中充满了对学生在线性代数中遇到的挑战和困难的研究也就不足为奇了。为了帮助商科的学生更好理解和掌握线性代数的相关概念，我们尝试通过使用具体的商业案例建模，旨在向学生介绍一些主要的线性代数概念。 通过商业案例模型，学生可以将在一些涉及不同概念的经验中所获得的结果集中在学生发展新策略的关键时刻，以此有助于学生在理解线性代数概念方面的成功。在文中以线性方程组所涉及的商业案例来做说明，具体来说：

（二）案例教学内容设计：

众所周知，对许多商科学生来说，解释线性方程组的解集是困难的，当系统中的所有变量在每个方程中都不明确时，这个障碍就变得更难克服。这些困难归因于学生缺乏对变量、函数和集的概念的理解，这些概念在线性代数学习中所涉及的大多数数学结构的构建中扮演着重要的角色。对线性方程组的求解方案的解释与需要将线性方程组的不同表征系统联系起来以及使用不同的思维视角有关。其他研究强调了构建连贯的线性方程组求解过程的重要性，包括理解解决方法即过程，解集即对象，以及在线性代数课程中构建的这些结构与其他知识的关系。为了让学生学习我们打算教给他们的知识，他们必须有对它的需求，而“需求”指的是智力上的需求。与课程设计相关，必要性原则意味着新的概念和技能应该从学生理解和欣赏的问题中产生，这些问题应该在引入概念时向学生展示概念的智力效益。

为了说明这一点，对于线性方程组，我们考虑引入学生们熟悉的商业中心车流量的经典案例：一个城市商业中心有不同的几个入口。入口处安装了若干传感器，以检测该入口通行的车流数量，每个入口位于不同的方位。在每个十字路口，我们可以考虑有一个环形交叉口，它使整个路段的交通流量持续不断，并且禁止停车。一条街道可以在不引起交通堵塞的情况下关闭吗？ 为了避免交通堵塞，允许在街上流通的汽车的最低数量是多少？

每次使用这个问题时，学生们都是从探索道路网络开始，并试图发现汽车是如何移动的。在分小组讨论了可能性之后，一个转变发生了。一些小组将注意力集中在十字路口，将其作为描述街道是否可以关闭的关键。焦点的变化使学生能够选择合适的变量，提出重要的假设。并不是所有的学生都被说服了。为了说服其他人，这些小组中的一些成员进行了长时间的争论。学生们被迫思考并完善他们的数学论点，直到所有团队成员都同意。一旦发生这种情况，学生们为每个交点写一个方程，并认为结果模型为一个线性方程组系统。通过这样的方式，学生们唤起了线性方程组的概念来承担问题，并能运用概念识别线性方程组系统的对象来解决问题。

一旦提出的线性方程组系统在课堂上进行讨论，教师往往会要求学生尝试求解它们。求解线性方程组，这对所有学生来说都是一项艰巨的任务。了解了线性方程组概念的学生可以对线性方程组执行一些操作。但是，他们往往会被那么多的方程式和未知数搞糊涂。他们尝试使用之前学到的方法，这意味着他们能够将更一般的问题吸收到线性方程组模式中，并在变量、方程和解集之间建立起关系，考虑方程的变换与等式有关，并找到不被认为是解集的解。当求解困难出现时，老师及时引入线性变换的概念，帮助学生反思线性方程组是什么;关于解的方法和解集，对线性方程组和解集的解释，并构建高斯消元法来解决，并将其与原来的步骤进行比较。通过对学生的求解过程和问题的反思，一些学生在活动开始时表现很困难，但在活动结束后就能积极参与讨论。

当学生们重新开始接下来的工作时，他们希望找到这个方程组的多个解，因为它的未知量比方程个数多。每个小组为变量选择了不同的名称，因此解决方案集看起来不一样。 我们将此解释为，大多数学生在理解交通流的这些活动，并将其作为求解线性方程组的过程。他们对解集中的函数进行了操作，使每个未知数最多依赖于两个变量，并认为这些函数是通过对方程组进行变换来找到解集的最简单形式的结果。在这些小组中，有几个将解决方案集中的参数视为自由变量，并很自然地将它们称为两个不同变量的函数。这是一个重要的转变考虑到这些学生之前接触过的一个变量函数。他们扩展了函数的应用，使其包含这两种类型的函数。这证明这些学生对线性方程组理解发展到了泛化线性方程组概念的水平。

根据问题的约束条件来解释解集对大多数学生来说是一个障碍。这是因为学生需要考虑解集中每个函数中变量的联合变分。通常，学生只关注作为过程的解决方案集，没有考虑到在建模问题的背景下所涉及的限制。当他们这样做时，他们发现很难将这些限制包括到解决方案集中。学生可以在解集中考虑限制条件，并从交通网络中流通的车辆数量来解释。因此，他们能够决定每条街道可以通行的汽车数量。虽然大多数的学生团体参与体验可以解决和解释不同类型的系统方程和线性方程组系统应用于不同的非相关的建模问题， 每组中只有少数学生可以解释和清楚阐释问题的限制。这些学生可以用类似的论点来解决需要使用限制性线性方程组系统的不同问题。

对于这样一个商业交通流的案例，学生对于线性方程组知识点的认知，也是不断加深的，具体可以分为三个阶段。首先，聚焦于线性方程组自身，学生们识别变量、方程和等式作为解决方程问题的相关元素。学生可以在简单的矩阵形式 中操纵变量，他们通过代数表达式和解之间的相等关系来构建方程，作为寻找满足方程的特定值的手段。 方程之间的关系是表面的，方程之间的联系是因为它们出现在同一个系统中。 他们不清楚这样一个事实：解一个方程组意味着找到满足所有方程的解。 即使他们在他们的求解中使用这一事实，他们也没有意识到这一点。其次，随着知识点的讲解，学生们对线性方程组的认识提升到不同的线性方程组之间。学生意识到系统中的所有方程都可以被相同的解所满足。 通过考虑解决方案集和函数方面的多个解决方案，它们可以适应集合和函数的概念。在这种适应过程中，他们开始思考用来解决方程组的过程，即方程的变换，当使用这些概念时，可以帮助他们找到解。 他们将等式与等式联系起来，因为他们知道等式变换仅仅限于那些满足等式性质的等式，并且可以找到不同類型系统的解集。 当引入一个约束时，学生能够确定施加在系统解集上的条件。最后，随着学生对于线性方程组概念的理解，可以和其他的概念联系起来。学生可以把方程组看作一个整体; 他们知道系统的解可通过使用等式的性质对方程进行初等变换来找到，通过这些变换方程会发生变化但系统的解集是守恒的。概念的连贯性由学生在适当的变换下识别等价方程组及其解集的不变性的可能性来证明。

（三）结语

通过对《线性代数》案例教学模式的改革实践，商科学生在线性代数概念的理解和把握方面取得了很大的进步。更多的同学能够参与到课堂活动中去，学生学习的积极性有着明显的改善，逐渐完成了从被动接受知识向主动获取知识的学习方式转换。他们大多能够通过构建变量、方程、函数、解法和解集之间的关系来理解线性代数的概念，尽管这些变量、方程、函数、解集之间存在差异。总的来说，所有的学生都从案例模式教学中受益，同时课程也顺应了时代需求，朝着培养应用型人才这个目标迈进了一步。

参考文献：

[1] 董婷，温道伟，唐志丰.线性代数（本科版）[M].上海交通大学出版社，2020.