例析高中数学“指对运算及比较大小”的方法

张伟冰

【摘要】“指对运算”在每年的高考中都有体现，而“比较大小”在数学的学习中无处不在，本文通过对近几年高考数学试题的探讨分析“指对运算及比较大小”的方法。

【关键词】高中数学;高考例题;指数式;对数式;比较大小;幂函数

“指对运算及比较大小”在近几年的高考试题中频繁体现，在《高中数学课程标准》里，要求掌握指数幂的运算性质，理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。

一、知识储备

（一）指数式与对数式的互化

指数式       →         对数式          →         指数式

（二）对数换底公式

（a，b，c，且a，c≠1）

（三）对数恒等式及其逆用

（四）指数的运算性质

（五）对数的运算性质a>0且a≠1

（六）指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质

①指数函数的图象与性质：指数函数y=ax（a>0，a≠1）的图象恒在x轴上方，过定点（0，1），定义域为R，值域为（0，+∞），a>1时为增函数，0

②对数函数的图象与性质：对数函数y=logax（a>0，a≠1）的图象恒在y轴右侧，过定点（1，0），定义域为（0，+∞），值域为R，a>1时为增函数，0

③幂函数的图象与性质：幂数函数y=xa（a为常数）的图象过定点（1，1）;a>0时在[0，+∞）上为增函数，若a>1增加的速度先慢后快，若a=1匀速增加;若0

a<0时在（0，+∞）上为减函数。熟悉y=x，y=x2，y=x3，，y=x-1的图象和性质，会利用函数的单调性和奇偶性画出幂函数的图象。

二、指对运算

问题1：（21全国甲卷理4文6）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量。通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ C ）（）

A. 1.       B. 1.2       C. 0.8       D. 0.6

分析：由L=5+lgV，当L=4.9时，lgV=-0.1，

则V=10-0.1=.

问题2：（20课标Ⅰ文8）设alog34=2，则4-a=（ B ）

分析：alog34=log34a=2，4a=32=9，。

方法总结：这两道高考真题是典型的指对运算题，要求学生能根据需要熟练地对指数式与对数式进行互化，灵活地应用指数和对数的运算性质来解决问题。

三、比较大小

（一）利用基本初等函数的单调性比较大小

问题：（19课标Ⅱ理6）若a>b，则（ C ）

A. ln（a-b）>0      B. 3a<3b     C. a3-b3>0     D.│a│>│b│

分析：由a>b得a-b>0，但不能得出a-b>1，而由y=lnx为增函数，ln（a-b）>0=ln1得a-b>1;由y=3x为增函数，a>b得3a>3b;由y=x3为增函数，a>b得a3>b3，∴a3-b3>0;由y=│x│在（-∞，0]递减，在[0，+∞）递增得，a>b不能得出│a│>│b│（或举反例：1>-3但│1│<│-3│）。

方法总结一：识记不等式的性质、指数函数、对数函数、幂函数和绝对值函数的单调性，要求学生们会利用函数的单调性比较大小。

（二）找中间量，利用基本初等函数的单调性比较大小

问题1：比较0.40.3与0.10.7的大小

分析：法一：∵0.40.3y=0.4x為R上的减函数，y=x0.7为[0，+∞）上的增函数，∴0.40.3>0.40.7>0.10.7，∴0.40.3>0.10.7。

法二：∵y=0.1x为R上的减函数，y=x0.3 为[0，+∞）上的增函数，∴0.40.3>0.10.3>0.10.7 ，∴0.40.3>0.10.7。

问题2：（19课标Ⅲ理11文12）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（  ）

分析：由f（x）是定义域为R的偶函数得=

f（-log34）=f（log34），又由y=log3x为增函数得log34>log33=1，由y=2x为增函数得0<<<20=1

方法总结二：熟练应用指数和对数的运算性质，识记偶函数的定义，指数函数、对数函数、幂函数的单调性，利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性，通过找中间量比较大小。

（三）作商，利用基本不等式比较大小

问题1：比较log43与log54的大小

分析：∵log43>log4l>0，log54>log5l>0，

∴=log43·log45<=1，∴log43

问题2：（20课标Ⅲ理12）已知55<84，134<85.设a=log53，b=log85，c=log138，则（ A ）

A.a

C.b

分析：由a=log53，b=log85得=log53·log58<

<1，即a

方法总结三：通过作商、换底公式、利用基本不等式、不等式的性质比较大小。

（四）构造函数，利用函数的单调性比较大小

问题1：求证：

分析：要证，只需证。

令，则在上恒成立。

∴f（x）=sinx在上递减，∴，即。∴ .

问题2：求证： e

分析：∵y=lnx 为（0，+∞）上的增函数，要证只需证。

令f（x）=lnx-，则f'（x）=，x∈（0，4e）时，f'（x）>0，x∈（4e+∞）时，f'（x）<0。∴f（x）在（0，4e）递增，在（4e+∞）递减，∴f（π）>f（e）即lnx->0，即，∴ e。

方法总结四：对不等式等价变形，由变形后不等式的结构构造函数，利用函数的单调性比较大小。

（五）利用基本初等函数的图象比较大小

问题：（16课标Ⅰ理8）若a>b>1，0

A. ac

C. a·logbc

分析：∵0b>1，∴ac>bc。

∵ a>b>1，0b>1，∴bc-1>ac-1即a·bc>b·ac。

∵a·logbc-b·logac=lgc·=lgc·，∵a>b>1，∴1lgb>0，∴>0。

∵0

由对数函数y=logax，y=logbx的图象得logac>logbc。

方法总结五：作差法，识记指数函数、对数函数、幂函数的图象，利用函数的图象比较大小。

（六）利用基本初等函数的单调性放缩法比較大小

问题：（20课标Ⅰ理12）若2a+log2a=4b+2log4b，则（B）

A. a>2b       B. a<2b        C. a>b2       D. a

分析：由b>0得0

∴2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b<22b+log22b①，令f（x）-2x+log2x，

则①为f（a）

方法总结六：利用熟悉的函数的单调性放缩后构造函数，利用所构造函数的单调性比较大小。

比较大小在高中数学的学习中无处不在，比较大小的问题通常是综合性比较强的问题，是多个知识点的综合应用问题，要求学生能灵活应用不等式的性质、基本初等函数的图象和性质、基本不等式作出判断。通常用到作差或作商、中间量、放缩、估值、基本不等式、构造辅助函数、图象法等方法来比较。比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较，如0.10.2>0.10.3，lg0.13-0.2。

参考文献：

[1]王尚志，保继光.普通高中教科书数学必修第一册北师大版高中数学必修1[M].北京师范大学出版社，2019.

[2]罗增儒.学解题学引论[M].陕西师范大学出版社，2000.

责任编辑  钟春雪