一道解析几何高考题的调查与研究

福建省漳州市厦门大学附属实验中学 邱 云 （邮编：363123）

1 试题分析

命题分析本题以点的坐标满足的距离关系这一简单问题情境为载体，考查双曲线的定义、直线与双曲线的位置关系等主干知识．“线段长度乘积相等”蕴含了“四点共圆”的几何背景及交线的对称之美；动点T不改变两直线斜率之和的恒定性渗透了特殊与一般的数学思想．试题整体设计立足常规又超越常规，凸显了基础性、综合性的考查要求，有益检测数学运算、逻辑推理素养及观察猜想能力，体现了“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”新高考命题理念．

2 解题障碍

高考后学生普遍反映这题做得不理想．为了解学生的真实解题障碍，笔者设计了问卷对“物理类、历史类”各100 名考生做了第Ⅱ问解题情况调查．结果如下：44.5%的同学不知条件怎 么 用 放 弃 解 答．19.7%的同学知道先用特殊点猜得“斜率之和为0”．27.7%的同学因直线方程变量太多没有化简到方程①．23.4%的同学不知能化成式②，直接运用两点间距离公式，导致解题受阻．11%的同学算得式②，没能得到式③．8.8%的同学算得形式②，不知同理可得| |TB及式④．11.7%的同学求得最终结果．因新教材没学参数方程，没有学生用直线参数方程解题．

从调查情况看，学生普通存在三个问题. 一是对解析几何运算普遍存在畏难心理．将含有两个变量的直线方程代入曲线方程化简时，缺乏运算自信的同学占比较高，不敢尝试解题直接放弃的同学较多．二是知识理解与运用上存在思维定势．用惯了直线与圆锥曲线相交所得弦长公式于是固化思维，缺乏对弦长公式本质的理解．以为只有曲线的弦长才可用弦长公式，以致对| |TA这样的非弦长犯难，无奈只好用两点间距离公式计算线段长度，因运算繁琐，只能作罢．三是缺乏观图猜想意识．将点T置于特殊位置，根据图形的对称性，易发现所探求的两直线关于x轴对称．

3 推广引申

本题主要研究在点T运动变化下的不变性质．其核心条件是“|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|”，满足此条件的圆锥曲线都具有“两直线斜率之和为0 的”特性．

推广1将“直线”改为“直线x=m”或“直线y=n”，其他条件不变，结论仍成立．证明类似“通法”．

推广4设点T(m，n)是不在抛物线C:y2=2px的一点，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，则 直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0． 证明类似“推广2”．

推广5已知⊙M与椭圆或双曲线或抛物线E:y2=2px交于四个不同的点A、B、P、Q，则过其中任意两点的直线的斜率与过另外两点的直线的斜率之和为0．如图1、图2，通过几何画板验证：kAB+kPQ=0，kAP+kBQ=0，kAQ+kBP=0．三组直线都具有对称性．

图1

图2

高 考 题 中 藏 在“|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|”背后的的几何背景就是⊙M．因为圆锥曲线上的四点A，B，P，Q共圆，所以有|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，或|T′A|·|T′P|=|T′B|·|T′Q|．故“推广5”可转化为“推广2”证明．

4 反思感悟

近十年（2011－2020）高考全国卷解答题从未考双曲线综合题，今年高考在倒数第二题位置出现双曲线背景的解析几何大题，着实让师生感到意外．其实，2021 年“八省联考”已破例在第21题设置了双曲线大题，为新高考“去模式化”发出了信号．高考再现双曲线大题属情理之中．2017 年 浙 江 省 新 高 考 卷 第21 题 第2 问“求|AP|·|PQ|的最大值”就出现了线段乘积问题及弦长公式本质的运用，将非弦长|PQ|表示为是解题的关键．实行新高考综合改革后，没有了“考试大纲、考试说明”指挥棒，高考命题以“一核、四层、四翼”为基本遵循，突出素养导向，试题更加灵活多样，老师要加强对高考信息的研究，传统的“套路、模式与刷题”复习备考策略不再适应时代要求．

高三解析几何复习课，教师应立足“四基”做好运算示范，着力提升学生的运算素养，帮助学生“过好运算关”．一是先化简再代入．将直线方程代入曲线方程是求解析几何问题的常规步骤．这一步运算的准确性事关解题全局．通常先将直线方程化为y=kx+t或x=ky+t的形式，将圆锥曲线方程化为mx2+ny2=1 的形式，再将直线方程代入曲线方程运算更简洁．高考中很多同学直接将y－n=k1( )x－m代入x2－，陷入运算困境．二是活用同构运算．两条相关联的直线与圆锥曲线交汇生成的问题，往往具有算理相同的运算．只要认真算清一个表达式，同构替代可得另一表达式，从而简化运算．例如推广2 证 明用k2代换k1得到的 表达式；又如两条互相垂直的直线，用代替k．三是从特殊情况入手猜想结论．探求圆锥曲线定点定值问题，引导学生有意识取动点、动直线的特殊值，尝试猜出结论，揭示隐藏其中的一般性质．先求得运算结果有助优化运算方法、提升运算信心．例如本文研究的试题从点入手发现k1+k2=0．再如2020 高考北京卷第20题第2 问：求的值，令动直线l方程为y=0，得yp+yq=0，猜想于是将所求线段的比值转化为运算yP+yQ=0．运算猜想本质上是一种数学直觉．

另外，引导学生进行解题反思也是提升解析几何解题能力、发展运算素养的有效方法，例如思考结论是否能从特殊推广到一般．反思一道题“打开一片天”，从而开阔数学视野，积累更为丰富的运算经验．