基于数学自然性的问题情境设计与分析

安徽省六安市霍邱县教育局教研室 李永林 （邮编：237400）

安徽省六安市霍邱县第一中学 梁 松 （邮编：237400）

数学的自然性是指数学知识发生发展的内在逻辑必然性. 普通高中数学教材主编刘绍学在《主编寄语》中指出：数学是自然的[1]. 事实上，数学核心素养的形成与发展，数学概念的形成，数学对象的研究思路探寻，数学问题的解决方法产生都是自然的.

数学教学需要遵循自然性原则. 基于数学自然性的教学，有利于学生提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，理解数学本质，训练科学思维方法. 然而，在实际教学中，数学的自然性并没有得到足够的重视，依然存在“重结果，轻过程”、“重怎么做，轻怎么想”等现象.

如何将数学的自然性体现在实际教学中，教师需要深度思考知识的发生发展过程以及它们之间的相互联系，要在立足学生认知基础、遵循学生认知规律的前提下，设计自然而然的问题情境，并以之为载体，有序开展教学活动，让学生从中感受到问题的发现和提出途径是自然的，问题的分析和解决过程是自然的.

下面，以初中数学教学为例，从四个方面阐释基于数学自然性的问题情境设计思路.

1 创设自然而然的问题情境，促进学科核心素养发展

数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析是数学学科的六大核心素养，它们是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的. 以沪科版九年级数学上册《23.1 锐角的三角函数》中关于“如何刻画坡度？”内容教学为例，通过设计如下自然而然的问题串，推进教学，形成并发展学生数学学科核心素养.

问题1（展示图1 和图2）汽车爬坡能力是衡量汽车性能的重要指标之一，汽车爬坡能力是指汽车在满载时所能爬越的最大坡度，图中两辆汽车都在爬坡[2]. 你能画出几何图形表示爬坡过程中汽车的位置变化吗？你能比较图中两坡的陡缓程度吗？请说明.

图1

图2

问题2你能比较图3 和图4 两坡的陡缓程度吗？（图中数字表示长度）

图3

图4

问题3你能比较图5 和图6 两坡的陡缓程度吗？（图中小写字母表示长度）

图5

图6

问题1 从学生生活实际（汽车爬坡）和已有基本活动经验（坡的陡缓程度与坡角的关系）出发，让学生感受到数学源于生活，并应用于生活.学生从实际情境中抽象出几何图形，直观获得“爬坡过程中，汽车既水平前进，又铅直上升”和“对于水平前进同样距离，坡若越陡，汽车铅直上升就越高”等结论，发展数学抽象、数学建模和几何直观等核心素养.

问题2 是对问题1 的定量分析，当水平距离相等时，比较坡的陡缓程度，只需比较铅直上升高度大小，这是学生通过问题1 的解决，形成的已有认知. 当水平距离不相等时，如何比较坡的陡缓程度？解决这一问题，需要引导学生立足已有认知，紧盯“化未知为已知”目标，深入思考，让学生自然而然地想到，利用相似形知识，将其转化为“水平距离相等时，比较坡的陡缓程度问题”，培养学生化归思想，发展逻辑推理核心素养.

问题3 是对问题2 的一般化推广，发展学生的逻辑推理核心素养. 实际上，在问题2 解决的基础上，问题3 可解决如下：

如 图7 和8，在AC和A1C1上 分 别 取 点M和M1，使得AM=1，A1M1=1，过M作AC的垂线，交AB于点N，过M1作A1C1的垂线，交A1B1于点N1.

图7

图8

比较两坡的陡缓程度，即比较线段MN和线段M1N1长度，易得△AMN∽△ACB，△A1M1N1∽△A1C1B1，由相似三角形性质可得

学生解决了问题1、2、3，经历了完整的数学建模过程，发展数学建模核心素养.

2 创设自然而然的问题情境，促进数学概念形成

数学概念是关于某一类数量关系和空间形式共同本质属性的表达. 它们的形成都有自然背景，数学概念教学要让学生明确这个自然背景，只有弄清“概念从哪里来？”、“为什么学概念？”和“概念是什么？”的问题，学生才会感受到概念的形成是自然的，才能真正理解概念的本质. 下面以沪科版八年级数学上册《函数》概念教学为例，阐述如何遵循自然理念.

教师在设计函数概念教学时，应借助学生在函数方面的已有认知（第一学段（1－3 年级）的“探索简单的变化规律”，第二学段（4－6 年级）“正比例、反比例”及“探索给定情境中蕴含的规律和变化趋势”等.），设计如下问题串：

问题1已知长方形的长为a，宽为b，面积为S.

（1）若a=2，那么S与b成正比例，还是成反比例？对于S、b这两个量，给出其中一个量，你能求出另一个量吗？结果唯一吗？

（2）若S=2，那么a与b成正比例，还是成反比例？对于a、b这两个量，给出其中一个量，你能求出另一个量吗？结果唯一吗？

问题2现实生活中，有很多变量，它们之间的关系很微妙，值得我们去研究，请思考并解决教材中的问题①、问题②、问题③.（问题①：热气球上升海拔高度与上升时间关系表；问题②：用电负荷曲线；问题③：汽车制动距离与车速之间的关系式.）

问题3请思考，上述问题①、②、③中的两个量是怎样变化的？有什么共性？

问题1 的设计意图是让学生在已有认知基础上，感受即将研究的对象是小学所熟悉的知识，解决“函数从哪里来的？”的问题.

问题2 的设计是结合生活实际，利用表格、图象、表达式刻画两个变量间的依附关系，目的是让学生真切感受到正在学习的内容是有用的，解决“为什么要学函数？”的问题.

问题3 的设计是让学生感受数量的变化过程，以及两个变量之间的依附关系，通过数学抽象，获得函数的概念，解决“函数是什么”的问题.

3 创设自然而然的问题情境，促进数学对象的研究思路探寻

数学学习离不开对数学对象进行研究，要促使学生自主、深度参与到数学学习中去，就必需创设自然而然的问题情境，帮助学生构建研究数学对象的路径，让学生明白研究数学对象是有“套路”的. 以沪科版八年级数学下册《19.2 平行四边形》教学为例，设计如下自然而然的问题串，促进数学对象的研究思路探寻.

问题1有关三角形的知识，我们学过了哪些？

问题2观察图9 中的图片，从图片中你发现了哪些几何图形？请画出来. 判断所画的图形是不是平行四边形？若不是，请说明原因. 根据你的判断，试着给出平行四边形的概念.

图9

问题3类比三角形，平行四边形有哪些基本元素？观察图形，猜想一下，这些元素本身具有什么性质？它们相互之间有什么样的关系？

问题4（列举出学生猜想出来的结论）这些结论是正确的吗？若是，请证明；若不是，请举出反例.

问题5能证明正确的结论就是平行四边形的性质，类比等腰三角形性质和判定定理之间的关系，你能写出平行四边形的判定方法吗？

问题6你写出的这些判定方法是正确的吗？若是，请证明；若不是，请举反例.

问题1的设计，虽然在知识方面，三角形与要研究的平行四边形关系似乎不大，但在研究的方法和思路上是类似的，也是几何对象研究的基本“套路”. 教师要注意梳理学生回顾的知识，帮助学生理清研究三角形的脉络：背景～三角形的概念～三角形边的关系，三角形中角的关系，三角形的角平分线、中线、高线概念及性质～三角形之间的相互关……. 借鉴于三角形的研究方法，平行四边形及其他几何对象的研究思路形成也就自然而然了.

问题2 的设计，学生经历从生活图片画出几何图形的过程，直观获得“哪些几何图形是平行四边形”的结论，自然形成平行四边形的概念(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).

问题3 的设计，类比三角形的基本元素，自然获得平行四边形的基本元素有边、角、对角线等.学生类比三角形的研究方法，研究平行四边形的边、角、对角线关系，获取一些结论.

问题4 的设计，学生交流结论，相互评判，无论是证明还是举反例，目的是培养思维的严谨性，发展逻辑推理核心素养.

问题5 的设计，师生辨析，总结出平行四边形的性质定理：平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分. 类比等腰三角形的性质定理与判定定理的关系，引导学生从性质定理的条件和结论来研究平行四边形的判定方法，符合学生的认知基础和认知规律.

问题6 的设计，与问题4 一样，培养思维的严谨性，发展逻辑推理核心素养.

上述问题串的设计自然而然，层层推进. 学生利用直观感知、类比等手段，掌握研究几何对象的基本“套路”，体会知识的产生发展自然而然.

4 创设自然而然的问题情境，推进数学性质探究

很多数学性质的获得，需要经历猜想、验证、归纳等探究过程. 探究过程必须是自然推进的，要立足学生的认知基础、遵循学生的认知规律、符合数学特点，要让学生明确“为什么有结论”和“有什么样结论”. 大多数的数学探究过程就是问题的解决过程，设计自然而然的问题情境，是探究过程自然、顺利推进的保证. 下面以沪科版八年级数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教学为例，阐述设计怎样的问题串，自然推进数学探究.

问题1请大家各自写出一个一元二次方程，并用求根公式求解.

问题2求根公式揭示了一元二次方程系数与根之间的关系，本质是通过一元二次方程系数的运算求出方程的根. 解下列方程并观察所得根与方程系数有何关系？用自己的语言叙述出来.

（1）x2－5x+6=0 （2）x2+2x－24=0

（3）x2+6x+8=0

问题3若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠1)有解，那么你在问题2 中所发现的关系对于它是否仍然成立？举例说明.

问题4若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2，则该根与方程系数的关系是怎样的？并证明.

问题1 的设计意图是通过利用求根公式解一元二次方程，促使学生意识到一元二次方程的系数与根有关系，激发学生探究这种关系的欲望，解决“为什么有结论”的问题.

问题2 的设计是从特殊到一般，通过根的运算获得“若方程x2+px+q=0 有两实数根x1、x2，则x1+x2=－p，x1·x2=q”的结论，体现由简单到复杂，由具体到一般的研究思路，也是符合学生认知规律的.

问题3 的设计目的是让学生产生认知冲突，问题2 所获得的关系是有局限性的，对于二次项系数不为1 的一元二次方程不适用，很容易举例说明，新的问题也随之自然产生：二次项系数不为1 的一元二次方程，若有根，则根与方程各项系数有什么关系呢？学生的思维很自然地被引导到更一般的研究对象.

问题4 的设计目的是帮助学生获得一元二次方程的根与系数的关系，有了问题2、3 的结论，一元二次方程的根与系数的关系就水到渠成、自然而然，解决的是“有什么样结论？”的问题. 证明结论，目的是引导学生利用逻辑推理来说明结论的正确性，培养严谨的思维习惯，也更有利于对数学结论的理解和把握.

上述探究过程是在学生已有的认知基础上，对“一元二次方程”的性质进行探究，“为什么有关系”、“有什么样的关系”等问题都是学生在探究过程中自然发现并解决的，也是数学自然性的体现.

总之，数学是研究数量关系和空间形式的科学，它有着自身的发生发展规律，数学教学要遵循这个规律，设计出既符合数学学科发展的逻辑顺序，又符合学生心理发展特点的问题情境，发展学生学科核心素养，真正落实立德树人根本任务.