概念教学应从合理走向自然——以“数列的概念”单元为例

安徽省合肥市第七中学 王世朋 （邮编：230088）

1 问题背景

为了有效推进合肥市普通高中“双新”国家级示范区建设，市教科院组织了面向全地区的基于学科核心素养大单元课堂教学“大练兵、大比武”活动. 数学学科第二轮“大比武”决赛有生上课环节，指定的课题为2019 人教A 版选择性必修第二册（4.1 数列的概念1－2 课时，选手抽签确定最后课题）. 在协助选手备赛阶段，通过研读课标、教材和教师用书，结合听课发现很多教师很难把教材有效使用到位，存在明显的生硬感觉.本文基于理解教材、有效实施教学视角对本单元内容做分析与思考，仅供参考与交流.

2 存在的困惑

2.1 章头图使用

教材上有一副彩图，教师用书[1]对此做了说明. 阐述图的背景是辽阔而波涛汹涌的大海以及远处的灯塔，象征着数学是指引人类文明进步的“灯塔”，沙滩上画出的是毕达哥拉斯学派研究三角形数、正方形数和五边形数时的图形，仿佛古希腊的数学家们正凝视着这些数列，试图发现其中蕴含的规律. 实际教学中，教师们都注意到要用这个图，有的教师把图呈现在课件上，按照教参含义说明，引出本章要研究的对象——数列. 也有的教师对本图做了加工，做成了微课视频，课堂中在三角形数、正方形数和五边形数处作停顿，提出数学问题，引出单元主题数列. 听课中也有教师呈现图形，简单描述，指出要研究的内容为数列.而作为章头图，一方面要让学生了解本章研究的方向，唤起学生的学习热情. 另一方面，也要有助于学生把握知识的整体结构，了解单元全貌为宜.客观上，以上教师的课堂引入中仅仅引起学生注意，结合数学史激发学生的学习兴趣，但从本质上引出本章具体的研究全貌，还显得利用不足.

2.2 情境的分析

在2003 人教A 版教材通过毕达哥拉斯学派研 究 的 三 角 形 数1，3，6，10，… 和 正 方 形 数1，4，9，16，…来引出数列概念. 再利用6 个数列来直观分析递增数列、递减数列、常数列和摆动数列概念. 而在2019 人教A 版中，给出了三个情境（生活情境：王芳的身高值；史学情境：泥板上记录的每天月亮可见部分的数；数学情境的n次幂），通过按照规定的描述形式进行表达，概括三个例子的共同特征，经过总结、提炼，抽象出数列概念. 通过听课观察，很多老师在尊重新教材的基础上，做了修正和补充，如增加老版教材中部分数列：(1) 0，1，2，3，…;(2) 3，3，3，3，…;(3)100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01. 课后通过和老师们交流，他们的解释是课本前两个情境只能体现递增数列和有穷数列，第三个情境只能看出无穷数列和摆动数列，也能延伸到等比数列. 课堂中为了丰富数列背景，契合本章所学内容，所以要增加等差数列、常数列以及递减数列. 结合数列来自生活，所以借鉴了上一版教材中的三个数列来补充. 不能不为善于思考和借鉴的同仁们点赞！细想总感觉什么地方不妥，是原来的惯性思维在指引日常教学？还是对教材理解不透彻导致？教材编写专家是出于什么原因仅仅设置了这三个情境，值得一线教师去作深度的思考.

2.3 概念的生成

作为概念课教学，教师都清楚概念生成的重要性. 事实上，教师课堂中仍较多关注概念的结果与概念的解读. 在本单元教学中涉及这样几个关键概念：数列的定义、通项公式、递推公式和前n项和公式. 通过听课，发现数列的定义大都是教师写在黑板上，然后对关键词进行强调. 缺乏数学抽象的过程呈现和必要的时间投入，把生动的概念生成变成了学生的记忆. 长期以往，学生对概念学习就仅停留在识记层面，缺少了抽象概括能力和主动建构能力. 在类比函数的解析式提出数列的通项公式后，为什么要再研究递推公式和前n项和公式？很多教师在交流中提出了相似的困惑，从通项公式到递推公式以及前n项和公式这条线没有找清楚，也就导致课堂中一个个概念几乎是蹦出来的，而非基于学习的需要自然生成的. 教材中在通项公式后，递推公式前有四个例题，如何发挥例题的功能值得教师进行思考，同样在课本例5 后引出前n项和公式，再利用前n项和公式来推理通项公式. 作为本章要研究的重要概念，在一个单元里全部呈现，教学中需要教师充分理解逻辑线索，增强学生对核心概念产生的顺序把握，要让概念从合理变为自然，学生的学习体验感才强，概念学习的兴趣才浓.

2.4 例题的讲解

本单元设置了5 个例题，依据课时划分，第一课时讲解例1 和例2. 课堂中教师容易把握，通过例1 来熟悉已知an求前5 项与图象表示. 一方面是通过“求函数值”使学生熟悉通项公式的定义，另一方面帮助学生养成用函数的观点与方法处理数列问题的习惯. 而例2 的处理，很多教师采取了不同的处理方式，按照课本方式讲授，有种强加给学生的感觉. 也有让学生自行去发表观点，譬如引入分段函数形式来表达都可以. 但是具体在课堂中发散到什么程度存在把握不精准情况. 对于第二课时的例3，大多数教师认为这是在复习通项公式，只不过换了一种问法，方法未变. 对于例4 要求写出数列的一个通项公式，与例2 相比难度可能更小，教学中教师认为用它来引出递推公式必要性不强. 既然要体现在实际中的应用，有教师利用教材第10 页的斐波那契数列来作为引例可能对学生的冲击更强烈，似乎比教材的处理更有说服力. 例5 作为递推公式的巩固练习，非常有意义，能实现原有通项公式的功能，体现当通项公式得不到时，找递推公式加已知项也能求具体的项. 过渡到数列{an} 的前n项和定义. 教学中一直认为缺少问题的驱动，有为了学而讲之嫌. 纵观5 个例题，自然存在疑问，能否减少例题数量？对于有相似重复的进行合并，对例4 进行重新设计，采用一题多问形式，对数列的前n项和起到一个启下作用.

2.5 小结与练习

做好课堂小结不仅有利于学生对数学知识的认识和巩固，更能开阔学生数学视野，促进学生发展[2]. 实际听课中，发现存在两种现象，一是以学习哪些知识？使用哪些方法？蕴含什么数学思想来总结. 另外一种是呈现一个单元框图，表达学到哪里，下一节学什么. 总体来说，缺乏为什么学，怎么学的说理过程. 更多是学了有什么用或者停留在一些时髦的词上，缺少总结、提炼与升华.

相对而言，课堂的练习受限于课堂用时，教师大都未用，用也仅是课后作业来处理，实际效果甚微. 未能有效把过程评价，尤其是课中诊断利用起来，让课本中原本生动丰富的资源闲置，练习的功能未能真正发挥作用，大家普遍认为甚为可惜.

3 优化策略

3.1 站在高处看导入

中学数学教材主要通过教材中的数学史、阅读材料、所用情景案例、插图等来展示国家的优秀数学文化[3]. 教材的封面斐波那契螺旋线和本章的章头图本身就是很好的数学史素材，教学中不仅要让学生关注到美，更要提出值得研究的数学问题. 在实际教学中，教师能从章头图中通过三角形数、正方形数和五边形数提出研究对象数列. 如果从激发学生兴趣角度，基本能达到效果. 但是从统领本章内容看，这幅图还可以进一步挖掘，设置以下问题引出本章研究对象.

问题1在沙滩上用石子画出这些图形的目的是用来计数的，请你分别写出每张图所用的石子数（定义数学对象，引出数列概念）.

问题2通过观察，每类图形对应的数和序号有一定的关系，你能猜想这种关系吗（引出通项公式）？

问题3除了猜测这种序号和数之间的直接关系，你还能观察出存在什么关系（如前后数的关系，提出递推公式）？

问题4请你算一算画出沙滩上的图形，总共需要多少颗石子（自然提出每个数的和，涉及到数列求和问题）？

作为起始课，如果教师能分析到这个程度，单元知识结构就基本建构出来，有利于学生洞察到需要学习的主线，从整体上把握本章所学内容. 再看本节三个情境导入，为什么不像老版教材那样分类呈现，那样设置是不是更好地起到承上启下作用？本轮课改大的背景是强调基于真实情境提出问题，作为一线教师要基于理解课标要求再去看教材，绝非简单地给几个光秃秃的按照顺序排列的数，来归纳和抽象定义. 所以教材中三个情境是站在现实情境、科学情境和数学情境的视角，表明数列存在于生活的方方面面，是真实的存在且值得研究的数学对象. 当教师本身站在一定的高度看教材导入，就能更加把握教学的度，能坚持正确的育人导向.

3.2 想在深处悟结构

作为教师，要通过不断地理解教材，抓准教学中的逻辑结构，有效设计实施教学策略. 实现在重点处作强调，在难点上有突破，切实以提高教学效益为目的. 对于本单元来说，如何结合教材建构整体知识结构，一方面以知识线索为导向，如先归纳数列的定义，再研究数列的表示，接着提出通项公式，再引出递推公式，最后提出数列{an}的前n项和公式. 另一方面可以从教材中的例题和练习中获得启示，通过例1 掌握利用通项公式求项，例2 可以依据前几项观察、归纳、猜想一个通项公式. 本课时的练习也是紧紧围绕项和通项公式的正反两个角度关系来设计问题. 例3 作为第二课时的引例，目的是复习知识、巩固方法. 在此基础上提出一个实际情景问题例4，利用所学知识解决问题，引出递推公式. 例5 接着给出一个递推公式去求解项，实现用递推公式来代替通项公式的意图. 在数列{an}的前n项和公式出来后，给出一个思考题，实现用数列{an}的前n项和Sn来求通项公式. 对应课时的练习也紧紧围绕给定递推公式来计算项或者再由项来猜想通项公式，还有利用给定数列{an}的前n项和Sn求{an}的通项公式. 通过以上分析，教学中就可以师生合作产生以下知识结构图，帮助理解数列研究的重点.

3.3 做在细处生概念

教授概念的最佳状态是学生体会和总结出关键特征. 教学中要让学生通过情境剖析，体验分析、归纳、概括、数学表达和辨析的完整过程，在过程中建立对概念清晰、准确的认识. 在本单元概念中，数列的概念获得是极其重要的. 上版教材中学生是通过观察给定的几组有序数来抽象出数列的概念，这种抽象概念的过程缺乏细节分析，学生只能体会出是按一定次序排列的一列数，无法让学生对概念的理解更深刻和细致. 为了体现数列是特殊的函数，新版教材中强化了细节处理，以王芳身高数据和月亮可见部分的数为例，用集序号与取值于一身的符号hi，si等刻画数列中的项，这样处理相比之前有利于学生概括“具有确定顺序的一列数”的结论，也让学生充分认识到数列中的数的顺序不可交换. 为了进一步增强学生的抽象思维和数学语言的表达能力，课本中通过一个思考活动设置，再来让学生实践和体验用数学语言刻画这一对应关系，让数学抽象素养的提升有实践的土壤和路径. 同样对于递推公式的出现，一方面利用例题情境来发现相邻项的关系，另一方面课本中也设置了一个阅读材料，给出研究数列的项的取值规律的一般性策略，实现方法的普适性说明. 后面数列{an}的前n项和概念出现，也做了细节的铺垫，通过阅读框中的表述，把学生的注意力紧紧抓住，让学生明白研究对象提出的必然性. 日常教学中，只要教师能着眼于大结构、细逻辑来设计教学，数学的课堂会是优质、高效的，学生的素养落地就能得到落实.

3.4 落在实处促能力

数学教学不仅是传授数学知识，更重要的是发展学生的认知结构、完善学生的认知体系[4].章建跃老师说过“数学育人要依靠数学的内在力量，数学育人要用数学的方式，数学育人要以使学生切实掌握“四基”、提高“四能”为基本之道.”本单元学习中，让学生遵循研究一个数学对象的基本路径，即“事实—概念”来学习数列的相关概念，积累研究套路和基本经验. 在学生经历完整的概念学习中，强化用数学眼光发现问题、用数学思维思考问题和用数学语言来表达问题的能力. 学生通过例题、练习的训练，一方面能巩固数学知识的理解和应用，夯实基础为目的. 另一方面学生的推理和运算能力得到发展和提升，学生的理性思维得到逐步发展，科学精神得到培养.常说教学容不得花架子，需要师生扎扎实实地上好每节课，把数学的思考、思维和表达结合教材的内容，做好有效的呈现和整合，用“数学的方式”来发挥数学的育人力量.

数学概念是数学的灵魂，作为一线教师既要思想上重视，更要行动上重视. 要在理解概念的生成上下功夫，要在教材的理解和理解教学上下功夫，期待师生合作共进，追寻从合理走向自然的概念课堂新样态，让数学育人的力量更有力.