说“怪”不怪 一招化“怪”——对2021 年上海中考试题的几点思考

上海市岭南中学 刘华为 （邮编：200435）

新一轮中考复习即将展开，在研究往年中考题时不少同仁和当年的考生与任课教师感觉一样，认为2021 年上海中考数学部分试题与往年试题相比有点“怪”，且不易入手. 笔者对此有几点不成熟的思考，愿与广大同仁探讨.

1 “怪”在哪里？

1.1 “怪”在个别考点比较“陌生”

例1（2021 年上海第18 题）定义：我们把同一平面内一个点与一个图形上的所有点中最短的距离叫做这个点到这个图形的距离. 如图1，平面内，正方形ABCD的边长为2，中心O与正方形外一点P的距离也为2，则在正方形ABCD绕点O旋转的过程中，点P到正方形ABCD的距离d 的取值范围是 .

图1

显然，本题考查了平面几何最值问题，而这一考点倍受往年上海中考命题者的冷落，从未出现类似题目. 鉴于中考的导向性，教师在中考复习时难免会忽视同类问题的选材，导致学生对处理几何最值问题缺乏基本经验与常规技能，故而感到有点“怪”.

其实本题求解并不难，易知当正方形ABCD绕点O旋转时，其上各点所生成的轨迹是以点O为圆心、该点到点O的距离为半径的圆，故而在正方形ABCD旋转过程中，点P与正方形ABCD上各点距离的最小值就是线段OP的长与对应点轨迹圆的半径之差. 显然，正方形ABCD上各点到点O的距离最大值和最小值分别为 2 与1，所以d的取值范围是2－ 2 ≤d≤1.

1.2 “怪”在个别题型意外“错位”

例2（2021 年上海中考第23 题）如图2，在⊙O中，点E、F分别为弦AB、CD中点，AB=CD，且AB与CD相交于点P，联 结OP、EF.

图2

（1）求 证：OP⊥EF；

（2）联结AF、AC、CE，若AF∥OP，求证：四边形AFEC为矩形.

一般地，上海中考以圆为背景所命制的题常常放在压轴题的位置，重点考查“垂径定理”“直线与圆的位置关系”和“圆与圆的位置关系”等知识，注重能力区分的选拔性，综合性强；或放在21题位置，重点考查“圆心角、弦和弦心距的关系”“垂径定理及其推论”和“正多边形”等知识，注重学业考的界定性，难度稍易. 而今年中考却一反常态地在第23 题位置以圆为背景命制了一道综合题，这不仅是位置的变化，更有难度系数的调整和知识考点的轮动，跳出了考生复习时形成的解决此类问题的思维定势，感到不适在所难免.“平分弦（非直径）的直径垂直于弦”和“同圆或等圆中相等弦的弦心距相等”可知OE⊥AB、OF⊥CD且OE=OF，再由“HL定理”得△OPE≌△OPF，得PE=PF，所以OP垂直平分EF，第（1）小题得证；至于第（2）题，由AF∥OP和OP⊥EF易想到AF⊥EF，故问题转化为证明四边形AFEC为平行四边形. 众所周知，证明一个四边形是平行四边形的方法较多，常为解题带来一定的便捷. 不过就本题而言，较宽入口反倒成为众多考生走不出的心结，因为似乎每种判定方法都可以走得通，但又无法走到底，导致部分心理脆弱的考生未能及时调整思考方向，遗憾入坑. 而基于第（1）小题的证明过程可知∠PAF=∠EPO=∠FPO=∠PFA，得PA=PF=PE，又AE=CF，所以AE与CF互相平分，问题迎刃而解.

例3（2021 年上海中考第25 题）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E.

图3

（1）当点E在CD上，

①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值；

（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的长.

易知△DAC与△OBC均为等腰三角形，又易证∠DCA=∠DAC=∠OCB，故而两三角形相似；至于求两线段比值问题，常规的处理策略是利用比例转化，又比例的来源主要有“平行线分线段成比例（即通常的A型图与X型图）”和“相似三角形对应边成比例”，于是不少考生想到延长BE交AD的延长线于点F（图略），构造X型图求解. 易知AF=BC，所以问题转化为求即的值. 但如何求后两条线段的比值，学生又束手无策，或陷入比例转化的循环求解中，只得放弃. 其实求两线段的比值除了比例转化外，还可通过计算的方法处理（也就是两线段比的定义）. 考虑到条件没有给出任意一条线段的长度，所以应选择适当的关联线段并设为参数t，然后用t 表示出AD与BC，代入求值即可. 而由①知∠ECO=∠BCO=∠CBE，又BE⊥CD，所以这三个角均为30°，故可设OE为t，则OC=2t、CE=得当点E在AD上时，当点E在CD上时，过程略.

2 “怪”因何在？

追根溯源，造成考生普遍对中考题感觉“怪”的主要原因无外乎有两种：一是命题走偏，考了不该考的点，或命了不该命的题（即偏题怪题）；二是复习带偏，教师依赖侥幸心里或凭借个人经验而人为划分非考点或弱考点，导致知识遗漏或理解不透. 从上述分析可以看出，三道例题所涉及的知识点都是教学大纲所规定内容，也未超出大纲要求，而求解策略也属通性通法，所以把怪因归罪于命题者既不科学也欠公平. 事实上，教师在复习时存在的三点“想当然”操作才是学生感到“怪”的根本原因之所在.

2.1 想当然地放大往年中考试卷的导向性

在一次校际间的中考复习专题研讨活动中，某开课教师就选了一道最近网上较为热门的“将军饮马”最值问题（源于课本中的一道例题）引导学生探究变式问题的求解策略，却遭到某资深专家的强烈质疑，并反复强调根据他长年的研究经验，上海中考从来不考平面几何最值问题，一再建议大家要加强对中考试卷的考点梳理与题型研究，以防在中考不考的问题上浪费时间影响复习效果. 不过该观点显然过于极端，过分夸大了中考试卷的导向性，其实，从来不考不等于今年不考，今年还不考不等于以后仍不考，只要是教学大纲规定的知识点都是必掌握内容. 换言之，以往年中考考点为复习范围和以往年中考重点考查的内容作为复习重点，都是没有规律性依据和缺乏科学性的操作，一旦考到复习范围外的知识点（如例1），考生中了“怪”招也就不足为奇了.

2.2 想当然地夸大往年中考试卷的稳定性

毋庸讳言，中考试题确具有一定的稳定性，但这种稳定是指题型题量（6 道选择题、12 道填空题和7 道综合题）与总体难度系数比（基础题、中档题与能力题的占比为8∶1∶1，近年来有调整为7∶2∶1 的趋势）的稳定，而不是考点及其考查要求一成不变的稳定. 遗憾的是，不少教师喜欢根据往年中考题考点所在的位置、题型与难度来设计中考知识点的复习策略，坚持复习知识点与往年相应考点基本一致的稳定原则，并加大针对性地训练强度，以提升学生处理问题的应试能力. 殊不知如此操作却导致学生对处理此类问题的思维形成了固化模式，缺乏应有的应变能力，一旦遇到考点在题型与难度甚至位置上的调整（如例2 与例3），都会引起心理不适，造成题“怪”的认知感与紧迫感，影响了水平发挥.

2.3 想当然地扩大往年中考试卷的模拟性

中考前不少教师喜欢用往年的中考卷作为模拟卷，逐一把近几年甚至十几年的中考卷让学生在规定时间内当堂完成，以引导学生把握中考节奏，以便在考试时间分配、策略调整（如遇卡题如何调整心态，如何弃难做易等）与思维调控（即处理综合题的思维方向切换的技巧）等方面积累实战经验，也希望能适时发现问题并及时纠正.可惜的是，每年中考中有价值的考题学生早已通过各种渠道做过（有的题甚至做过数遍），因此以往年中考卷作为中考模拟不仅很难达到预期效果，而且虚假的高分还盲目增加师生的自信，掩盖了复习中存在的瑕疵，反而为学生在中考实战中埋下了遇挫急躁的隐患，或许有得不偿失之感.

总之，以旧定新是一种缺乏规律的押宝式复习策略，若遇当年中考题稍稍创新（无论是形式还是内容），都会突破教师强加给学生的中考认知框架，考生出现不适的“怪”感也在所难免.

3 以“透”化“怪”

其实，稳中求新是每年中考命题的基本策略，即在保持基本题型、试题总量与三类题分配比不变的前提下，会在考点切换、位置调整和能力题编拟上大胆创新与寻求突破，故而创新是中考命题的常态化行为. 如果老师不能很好地认识与把握这种创新的导向意义与应对策略，必然会引发学生考场上的遇“新”不适的“怪”感，甚至出现思维空白，严重影响真实水平的发挥. 当然，要想杜绝这一现象发生，唯有中考复习时重点突出三个“吃透”.

3.1 回归教材，吃透基本知识

可喜的是，近年来兴起的一种思维导图可有效地将教材所涉及的知识点进行网络化梳理，既有利于学生理清知识间的深层联系，又有利于中考复习时对知识点进行全方向位覆盖. 但基本知识不仅仅是源于教材的概念、公式、法则、性质与判定，还有源于知识生成与应用过程中所蕴含的基本方法、策略与思想，因此回归教材不只回归课本，还需注重对练习册中习题及教材中的例题解题思想的深度挖掘. 如例1 就用到了沪教版九年级（第二学期）练习册第1 页习题27.1 第4 题（如果⊙O外一点P到⊙O上所有点的距离中，最大距离是8，最小距离是3，那么⊙O的半径长等于 .）的解题思想，如果学生吃透了此题，知道“平面内任一点与圆上各点连线中，到过该点与圆心的直线和圆的近交点距离最短、远交点距离最长”，那么处理例1 就胸有成竹了，“怪”的感觉自然也就无从生起. 毫无疑问，注重知识生成与应用过程中所蕴含的思想方法的深度挖掘就是在强调吃透基本知识，发展应用能力.

3.2 注重构图，吃透基本图形

近年来，考查学生的作图能力已越来越受到中考命题者的青睐，也引起了广大教师的重视，正形成良好的中考与教学互动行为. 遗憾的是，与显性的作图操作相比，隐性的构图能力却没有引起足够关注，事实上若能让学生根据题意构出图形，不仅能加深对题意的理解，也更有利于找到解决问题的基本策略. 为了节省时间，中考几何综合题的图形一般直接给出，而要求考生在考试时重新画图也不太现实，因此不妨反其道而行之，在平时教学中不断加强学生从复杂图形中分解与重构基本图形的能力培养，则可起到两全其美之效. 如图2 中在得出AF⊥EF后再结合PE=PF，若能分解出基本图形“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（即Rt△AFE与斜边上的中线FP）”，则自然想到证明PC=PF，使问题迎刃而解；再如图3 中若连接OD，构造基本图形“直角三角形斜边上的高（即Rt△COD与斜边上的高OE）”，利用“母子相似”也可顺利求出还有例3 第（2）题求解过程中就要用到“X型”与“A型”等基本图形使问题化难为易，可见构造基本图形是处理几何能力综合题必不可少的重要环节，理当高度关注. 应当指出的是，培养学生构造基本图形能力必须做到“四会”，即会集（平时注重收集）、会找（从复杂图形中提炼出基本图形）、会补（适当添线补全基本图形）与会用（明析基本图形的显性结论，吃透基本图形的潜在价值）.

3.3 善于归类，吃透基本策略

无论是突破中考能力题，还是解决现实问题，都需要丰富的处理策略与完善的思维方式，因此，在日常教学与中考复习时要从教想法入手，引导学生学会思考，并积极探求类化策略（即把同类问题不同的处理策略适当归类），追求以题会类的教学境界. 实际上，考生之所以觉得解题策略有点不同寻常的“怪”，主要原因还在于对处理同类问题的策略缺少系统梳理，只知其一不知其二，更缺乏不同策略间切换的意识. 如对于求两线段比值问题，教学时教师若能围绕“比例转化（依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质）”“三角形面积比（同底三角形面积比等于高之比与同高三角形面积比等于底边比）”和“定义计算法（直接求出两线段的长或用同一参变量表示两线段，然后计算）”三大策略精选例题，引导学生深入探究与整体归纳，明确三大策略就是解决求线段比问题的思考方向，掌握依据条件适当选择策略或在不同策略间切换思考方向的调控技巧，那么考生还会感到“怪”吗？

总之，当中考题超出教师的预设而引起考生不适时，身为教师不能以推卸责任的方式带风向，把矛头指向命题者，而要反思自己的教学行为，丰富教学策略，从根本上提升学生的综合能力，推动中考与教学的良性互动，充分发挥中考命题的引领性.