联结思维导学教学模式在高中数学教学中的应用

【摘要】本文论述认知心理学中联结思维理论在高中数学教学中的应用，阐述基于高中生数学理解的联结思维导学教学模式的内涵及本质特征，以“双曲线的第二定义”一课为例，呈现联结思维导学教学模式的“创设情境，引出问题→探究提炼，解决问题→强化应用，深化理解→总结梳理，拓展升华”等4个教学环节，以及提问质疑、问题导思、新旧知识关联、知识表征及转换、变式巩固、应用迁移、思想方法归纳、思想方法再认知等8个操作要素。

【关键词】联结思维导学 高中数学 数学理解

【中图分类号】G63 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2022）11-0113-05

学生数学理解能力较差，问题解决能力较低，是长期以来困扰高中数学教师的难题。在多年高中数学教学实践中，笔者发现，造成这些难题的主要原因有如下3个方面：一是教师忽视学生在学习过程中的主体地位，没能从学生认知角度出发，用联系的观点看待数学，数学教学只着眼于具体问题，没有做适当的外延，致使学生的思维无法发散;二是教师忽略学生已有的知识体系，没能在教学过程中引导学生完成新旧知识的同化或顺应;三是忽视学生对知识表征的认知，无法完成知识表征呈现及表征方式间的转化。为此，笔者在高中数学教学中引入了联结思维理论，通过实践研究构建了联结思维导学教学模式，有效解决了上述问题，取得了突出的教学效果。

一、基于高中生数学理解的联结思维导学的内涵及本质特征

联结思维是认知心理学的研究范畴，其本质特征是根据人脑的神经生理特性研究人脑的活动。该理论认为事物之间是相互联系的，学习是不断调整知识联结网络中知识点联结权重的过程，通过联结权重的改变可以得出符合期望的结果。数学理解是指在学习过程中针对某个数学概念、原理，建立起有效的认知结构，并使其融入个人知识体系。通过对二者概念的分析，可见二者之间存在紧密的契合点。基于此，笔者积极探索基于高中生数学理解的联结思维导学教学模式，这一教学模式的具体内涵是：以联结思维为基本载体，从高中生的学习状况及特点出发，以提升学生在学習过程中的数学理解层次及水平、提高学生的学习效率为目的，以优化联结学习的教学设计为策略，在学生头脑中建立起相应的认知范式，使新旧知识发生关联、问题表征得以转换，以实现知识的迁移与创新，以及数学学科的深度学习。基于高中生数学理解的联结思维导学教学模式具有如下两大特征。

一是联结思维能够促使新旧知识发生关联，实现知识的同化与顺应。在数学学习过程中，联结思维能够帮助学生调动个人认知体系中的旧知识去认识新知识，或通过认知新知识反过来加深对旧知识的理解，使旧知识产生变化进而得到扩张和延伸。如在进行等比数列概念时，笔者首先通过联结思维引导学生认识等差数列，然后抛出问题：如果将一张A4纸对折，再对折，再对折……依次对折50次，你能用数学式子写出对折的层数的规律吗？如果让你写出第50次折叠的层数呢？根据问题，学生很快写出了等差数列的式子，笔者继续提问：除了等差数列的规律，你还发现了什么其他的规律？应该用什么式子表达？通过如上关联性的问题，学生总结出了“2，22，23，24…2n”的规律，认识了等比数列的数学递推关系，进而对等比数列的一般规律有了初步了解。在此基础上，笔者进一步让学生将等比数列和等差数列进行关联性学习，引导学生利用等差数列知识探究等比数列知识，并完成下表（如表1所示）。

在本环节教学中，笔者首先带领学生回顾与等比数列有联系的等差数列概念，让学生认识等比数列与等差数列的联结关系，让学生经历从旧知识到新知识的学习过程，完成了从旧知到新知的关联性学习，帮助学生在头脑中形成关于等比数列的知识结构网络。这不仅加深了学生对等比数列概念的理解，同时发展了学生的知识迁移能力、联结思维和创新思维。

二是联结思维能够促进问题表征方式的转换，实现知识理解的深化。数学知识的表征有语言叙述、图形表达、数学符号表述、实物演示等多种方式。在学习过程中，联结思维是问题表征转换的纽带和桥梁，通过不同问题表征的展现和互相转换过程中不断加深学生对数学知识本身的理解。如在引导学生理解函数的表征形式时，笔者给出了这样一个任务：画出函数y=2x和y=（[12]）x的图象并观察两个函数的区别和联系，找出两个函数的不同表征形式。在此过程中，笔者首先让学生画出二者的函数图象，运用联结思维对两个图象进行对比观察和分析，然后得出二者均可用文字表述、符号表述、图形表述等3种方式进行表征的结论。如函数y=2x的文字表述为“某种生物细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂x次后，得到细胞分裂个数为2x”，符号表述为“y=2x”。如此教学，通过采用数形结合、符号与文字相互转化的联结思维，学生了解了函数的不同表征方式，加深了对两个函数的图象与性质的理解（如表2所示）。

二、构建基于高中生数学理解的联结思维导学教学模式

近年来，笔者基于本班学生的认知水平、学习特点，结合数学学科特点，将联结思维作为一种学习方法、策略和工具引入数学教学，调整、优化了教学各个要素的组合方式，使之在整个教学过程中发挥出最大的育人功效，帮助学生深化数学理解的层次，并进一步实现对数学知识的迁移应用。通过多年的教学实践，笔者探索出了基于高中生数学理解的联结思维导学教学模式（如图1所示）。

在采用联结思维导学教学模式进行教学实践的过程中，笔者探索出了以学生为主体、教师为主导的“四个教学环节”和“八个操作要素”，其中四个教学环节为“创设情境，引出问题→探究提炼，解决问题→强化应用，深化理解→总结梳理，拓展升华”;八个操作要素为“提问质疑、问题导思、新旧知识关联、知识表征及转换、变式巩固、应用迁移、思想方法归纳、思想方法再认知”。在实践操作中，四个教学环节具体为：第一环节“创设情境，引出问题”，即依据情境教学法原则和问题中心原则，利用SOLO分类理论提出问题，创设问题情境，激发学生学习兴趣、启迪学生思维;第二环节“探究提炼，解决问题”，即依据生长原则和多通道原则，通过新旧知识的联结类比，引导学生将新知识或问题与旧知识或问题关联起来，同时对新知识或问题进行多元表征及表征方式转换，加深学生对知识或问题的理解，并抽象形成新知识，同时解决问题;第三环节“强化应用，深化理解”，即引导学生对新知识进行辨析和巩固，通过知识表征方式的不断转换加深学生的知识理解层次，实现知识的迁移应用;第四环节“总结梳理，拓展升华”，即引导学生在知识体系内不断构建新知识或问题的解决思维，归纳出数学方法、形成数学思维，实现知识的创新应用。在教学过程中，笔者让学生采用联结思维、合作探究，不断提出问题、解决问题，然后完成知识应用及知识创新，让学生在教师不断点拨、矫正的过程中形成完整的知识结构。

三、联结思维导学教学模式在教学中的应用

下面，笔者以“双曲线的第二定义”一课为例，具体阐述联结思维导学教学模式在数学教学中的应用。

（一）创设情境，引出问题

在本环节中，笔者首先投放例题：点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线x=[12]的距离之比是常数2，求点M的轨迹方程。根据例题，笔者引导学生自主推导点M的轨迹方程，然后上台演示解题过程并归纳思路：第一步，设d是点M到直线l的距离，根据题意，所得轨迹就是集合P=[MMFd=2]，即[（x-2） 2+y2x-12=2]，通过化简得x2-[y23=1]，所以点M的轨迹是以点F（2，0）为右焦点，实轴长、虚轴长分别为2，[23]的双曲线;第二步，让学生根据第一步的分析画出轨迹图象，同时抛出“所求的轨迹方程中的a，b，c与例题所给的各数量间有什么关系”的问题，引导学生对例题进行联结性思考。

在本环节中，笔者通过问题情境导入，激发了学生的学习兴趣，然后引导学生运用学过的求点的轨迹方程的方法解决实际问题，从而将实际问题数学化。教学中，笔者首先让学生理解例题的文字表述内容，然后让学生将文字转换为图形、符号，完成了问题表征的转换;接着利用一个启发性问题，引导学生将图形表述、符号表述转换为文字表述，进一步加深了学生对双曲线定义及标准方程的理解。

（二）探究提炼，解决问题

根据上一环节的教学情况，笔者进一步对上一环节的例题做出改造，引导学生完成从特殊到一般的联结性学习过程。例题改为：点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到定直线lx=[a2c]的距离之比是常数e=[ca]>1，求点M的轨迹方程。教学过程中，首先由学生自主推导，再进行小组内合作交流。通过问题的解决，学生总结、提炼出双曲线的第二定义：当动点M（x，y）到定点F（c，0）的距离和它到一定直线lx=[a2c]的距离之比是常数e=[ca]>1时，这个动点M（x，y）的轨迹是双曲线，其中定点F（c，0）是双曲线的一个焦点，直线lx=[a2c]是双曲线的一条准线，e（常数）是双曲线的离心率。

在本环节中，笔者通过引导学生完成从特殊到一般的推导学习过程，然后联结学生此前学习的椭圆的第二定义及相关概念，学生很快理解了双曲线的第二定义及相关概念。采用这种联结类比的教学方法，有助于学生构建完整的知识体系和发散思维的培养。

（三）强化应用，深化理解

为了深化学生对双曲线的理解，提高应用知识的能力，笔者继续对上述例题进行改造，例题改为：点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到定直线lx=[165]的距离之比是常数[54]，求点M的轨迹方程。学习过程中，首先由学生自主完成解题，然后让学生上台板书讲解，教师针对学生存在的问题进行讲评、点拨。

在数学学习中，完成知识的纵向变式和深化是学生掌握新知的一个重要方式，尤其是对数学概念的学习，由于概念是比较抽象的，所以教师应通过问题的多元表征及表征方式的不断转换加深学生对概念的理解。在本环节教学中，笔者不仅对例题进行了深入讲解，还引导学生认识例题的另外两种表征方式：①已知双曲线[x216-y29=1]上的一点P到右焦点的距离为5，则点P到右准线的距离是多少？②已知点A（6，1），F（5，0），在双曲线[x216-y29=1]上求一点P，使得[PA]+[45][PF]的值最小，并求出最小值。

在本环节教学中，笔者通过不断改变问题的表征方式深化学生对知识的理解，让学生在对新知识进行巩固和辨析的过程中，完成知识的迁移应用。例题的两个变式都是围绕双曲线的第二定义设计的，层层递进，不仅充分体现了转化与化归的数学思想，更深化了教学内涵。

（四）总结梳理，拓展升华

本环节教学中，笔者首先抛出“我们都学到了哪些内容？主要包含哪些知识？运用了哪些思想方法？”等问题，引导学生回顾知识点，进行知识点梳理，并总结出相应的学习方法：一是学习双曲线的第二定义及应用，应从具体例子出发，完成从特殊到一般的认知过程;二是通过回顾椭圆的第二定义，通过联结类比探究双曲线的第二定义。

在这一教学过程中，笔者首先抛出问题，引导学生做联结性思考，将各有关知识点关联起来，形成了知识网络结构，并总结出相应的学习方法，完成了联结性学习。这既可以使学生进一步明确分析问题、解决问题、迁移问题的思路，又能让学生在数学思想、数学方法的不断归纳总结中实现能力、思维的提升。

“双曲线的第二定义”一课的教学，笔者首先通过数学知识的联结，让学生经历解决从具体实例到特例再到一般例子的学习过程，从椭圆的第二定义入手，灵活地将语言文字、图形进行相互转化、联结，让学生更加深刻地理解双曲线的第二定义;紧接着，引导学生利用新知来解决数学的相关问题，在学生自主构建数学知识中，学生进入了独立思考状态，而变式的提出更是加深了学生的独立思考能力和构建能力，从而更好地掌握新的知识，充分体现了数学联结思想在数学教学中的重要地位。

四、运用联结思维导学教学模式应遵循的原则

基于高中生数学理解的联结思维导学教学模式和认知负荷理论，笔者提出了运用该模式应遵循的6条拓展性原则：一是先行组织及联系原则。在教学过程中，教师应首先开展学情调研工作，在学生已有知识的基础上开展相关教学活动，使新的学习活动处于学生的最近发展区，以便进行新旧知识的联结，从而将新知融入个人知识网络结构，实现知识的同化或顺应。二是生长原则。每一个数学知识都有其产生根源和发展轨迹，在实际教学中，教师应该引导学生将新的问题与学生已掌握的旧知识联系起来，形成知识的新生长点。三是多通道原则。在学习数学知识的过程中，教师应根据学生认知水平和联结思维，运用多种方式展现知识的外在表征形式，使每一名学生都能根据自己的知识结构获得新知识，深化学生对知识的理解层次，同時减少认知负荷。四是简练性原则。在数学教学过程，教师应根据教学实际进行适度的知识表征及适度的新旧知识联结，不宜过于烦琐、艰深，以减轻学生的学习负担，实现学习过程的简单与有效。五是问题中心原则。在数学教学过程中，教师应该以问题的提出及解决为中心，围绕问题的发现和探索展开教学，并引导学生用联系的观点看待问题，寻找问题解决的突破口。六是情境原则。在数学教学过程中，教师要将数学问题与生活实际场景联系起来，让学生在真实情景中感受数学问题，激发学生学习数学知识的兴趣，并达到学以致用的目的。

为了深化联结思维导学教学模式的效果，笔者同时提出了4条操作原则：一是教师应遵循以学生为主体的思想。教学前应充分掌握学情，从学生熟悉的知识出发引出新知识、新问题，引导学生完成新旧知识的联结，使整个学习过程都处于学生的最近发展区。二是对数学知识的讲解应提供多维度的感性认知。数学知识大多以抽象的符号进行呈现，往往缺乏感性的成分不便于学生学习，而丰富的感性材料，如数学模型、数学实验、数学情境等有利于学生完成图形、文字、符号等表征方式的相互转换，有助于学生顺利完成新知的学习，教师应在教学中更多地提供学习的感性材料，提高学生的学习兴趣。三是教师要有意识地对问题进行变式，提高学生的知识理解水平。变式是知识表征的一种体现，教师应引导学生从文字、符号、图形等方面去学习知识，然后进行表征方式的转换，从而进一步深化学生对知识的理解。四是强化对知识的梳理与拓展升华。教师要引导学生进行知识的梳理与归类，完善个人的知识体系，同时教师要引导学生总结、提炼数学方法、形成数学思想，实现知识迁移应用与创新。

总而言之，进行基于高中生数学理解的联结思维导学教学模式的探索，是一次改革高中数学教学方法的有益尝试，是“三新”（新课程、新教材、新高考）改革的题中之意。在此背景下，教师要坚持教学服务于学生的理念，以学生发展为中心，紧抓课堂教学主阵地，通过创新教学方法和教学模式，推动教学结构、教学效果的优化，不断激发学生的学习兴趣和探究热情，从而促进学生数学学科核心素养的发展。

参考文献

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作者简介：李朋（1980— ），陕西武功人，硕士研究生学历，高级教师，主要研究方向为高中数学课程与教学理论。

（责编 蒙秀溪）