课程思政融入线性代数教学的初探

官元红 陈丽娟 朱建 陈群 符美芬

【摘要】本文首先分析了课程思政融入线性代数教学的必要性;其次针对线性代数课程的特点，从定义讲解、证明推导两方面挖掘蕴含思政元素的知识点;再次，探讨了含思政元素内容的教学设计;最后进行了初步实践.以期通过探究思政元素融入线性代数课程的教学，加深学生对线性代数知识的理解，帮助他们树立正确的世界观、人生观和价值观，真正实现“立德树人”的目的.

【關键词】课程思政;线性代数;教学设计;立德树人

【基金项目】本文系南京信息工程大学“课程思政”教育教学改革研究专项重点课题（课题编号：2020KCSZJGZX005）.

2016年12月，习近平总书记在全国高校思想政治工作会议中指出：高校教育要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人.由此，课程思政作为一种教育理念，逐步为高等教育领域重视.2018年9月，在全国教育大会上，习近平总书记又强调要把立德树人渗透到基础教育、职业教育、高等教育等各领域.2020年6月，教育部印发《高等学校课程思政建设指导纲要》，再次强调要全面推进高校课程思政建设.课程思政是立足于具体的课程，充分挖掘各类课程中的思想政治教育元素，实现“思政”寓课程，课程融“思政”，共同致力于提高学生的思想水平、政治觉悟、道德品质、文化素养，是高校思想政治工作的一种新理念.因此，想要培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，大力推动以课程思政为目标的教学改革势在必行.

目前，课程思政已受到高度关注，很多高校教师在马克思主义原理、离散数学、概率论与数理统计、高等数学等具体课程中，就如何融入思政元素展开了深入的研究.对于线性代数课程，曹洁等对思政教育融合线性代数的教材建设进行了研究;杨威等针对西安交通大学的线代教学做了探讨.相比大学数学公共基础课中的高等数学和概率论与数理统计，思政元素融入线性代数课程的教学研究还不多见.

线性代数是理、工、经济管理等专业的一门重要的数学基础课程，也是这些专业的学生学习后继课程的基础.该课程不仅在培养学生的逻辑推理、抽象思维、空间想象力方面具有重要的作用，而且在培养具有良好科学素养、创新能力的数学应用人才方面也起着十分重要的作用.在南京信息工程大学，线性代数是70%左右学生的必修课，覆盖面广，且开设时间早（大一下学期或大二上学期），此时正是开展思政教育的大好时机.因此，教师要紧跟时代步伐，立足当代大学生的思想和学习特点，利用好线性代数课堂教学这个主渠道，将课程思政融入其中，这对于学生的未来发展具有重要意义.

一、线性代数课程中“思政元素”的挖掘

针对线性代数课程的概念多、内容抽象、逻辑性强的特点，本文从定义的讲解和证明求解的过程出发，通过引入数学发展史、数学家和企业家的故事及马克思辩证唯物主义思想，挖掘思政元素实现向学生传递爱国主义精神、马克思辩证唯物主义思想，以及培养学生严谨认真的学习态度和坚持不懈的意志品质的目的.

1.爱国主义的教育

教师在上课时可结合数学发展史以及中国数学家、企业家的故事对学生进行爱国主义教育.

挖掘1：矩阵的概念.矩阵虽然是英国数学家凯莱于1855年在《矩阵论的研究报告》中首次提出，但中国古代的数学著作《九章算术》的第八章方程术中就已有利用“数码方阵”解决实际问题的例子.因此，矩阵概念的雏形是我国古代数学家提出并加以应用的，它是我国古代杰出数学家的成就和智慧成果.教师在课件中加入《九章算术》中求解线性方程组雏形的图片介绍相关概念，可通过弘扬中国文化，增强学生的民族自豪感和爱国情怀.

针对不同专业的学生，教师可列举不同的例子，如自动化、电子专业，可引入华为主要创始人任正非;如计算机专业，可引入百度创始人李彦宏，分享他们背后鲜为人知的艰辛的创业故事.一方面可让学生明白成功来之不易，另一方面能够培养学生精益求精的工匠精神，激发他们科技报国的家国情怀和使命担当.

另外，在讲解枯燥的知识点时，教师也可引入我国著名数学家陈景润牺牲个人利益维护祖国尊严的故事.教师在课程中穿插这样的故事，不仅可以提起学生的学习兴趣，还能激发学生的爱国主义情怀.

2.马克思辩证唯物主义思想的引领

完成知识点的讲解之后，教师可做适当延伸，引领学生进一步理解马克思辩证唯物主义思想，如透过现象看本质、事物之间的对立与统一性、整体与部分的关系等.

挖掘2：化二次型为标准形.如用正交变换法求二次型

f（x1，x2，x3）=x21-5x22+x23+4x1x2+2x1x3+4x2x3的标准形，通过计算可得-6y22+3y23，也可写为-6y21+3y23或3y21-6y23.

若不要求正交变换，我们还可以通过配方法将其转换为标准形z21-9z22，虽与正交变换法所得的标准形形式不同，但二次型的秩、正惯性指数和负惯性指数都不变.教师通过以上讨论可类比到做任何事都有很多方法和途径，结果大同小异，反映了马克思辩证唯物主义中事物之间的内在统一性.

挖掘3：极大线性无关组的概念.教师讲解极大线性无关组时可引出马克思主义哲学中的整体与部分的辩证唯物主义思想.

挖掘4：齐次线性方程组的基础解系.在讲解基础解系的概念时，教师可引导学生将其与已学的向量组的秩、向量空间的基进行对比，这三个概念本质上就是极大线性无关组的概念，只是在不同场合冠以不同名称.通过类比学生能够更好地掌握基础解系的定义.进一步延伸，教师可引导学生平时在分析问题时学会透过现象看本质.

挖掘5：线性方程组的求解Ⅰ.如求线性方程组

x1-x2-x3+x4=0，

x1-x2+x3-3x4=1，x1-x2-2x3+3x4=-0.5（1）

的通解.对该方程组，我们既可写成向量形式，也可写成矩阵形式，虽然三种形式的表达不同，但却是同一个方程组.此时教师也可再次引导学生明确解决问题要先看其本质.对增广矩阵进行初等行变换：

1-1-1101-11-311-1-23-0.5→1-10-10.5001-20.500000，

变换后的矩阵对应的方程组为：

x1-x2-x4=0.5，x3-2x4=0.5，（2）

通过矩阵的初等行变换，原方程组中3个方程变成了2个方程，去除了原方程组中的冗余信息，形变而质不变，故方程组（2）与（1）同解.教师要注意强调为什么这里只能初等行变换，引导学生解决问题一定要理解问题本质，抓事物的主要矛盾.

解得方程組（2）对应的齐次线性方程组的基础解系含2个向量，根据解的结构原理即可得原方程组的通解，这种由2个解向量（有限）生成无限个解向量（无限）的方法，实现了由量变到质变的飞跃.线性方程组的这一求解过程也体现了对立与统一的辩证唯物主义思想.

挖掘6：n维向量.在数轴、平面和空间直角坐标系上的点可分别用一维、二维和三维向量来表示.理论上，将三维向量推广到n维向量，由一、二、三维向量对应的几何直观，学生就很容易理解和掌握n维向量.这种从特殊到一般的学习过程体现了认识事物的一般规律.

3.严谨、认真的学习态度的树立

挖掘7：行列式的概念Ⅰ.教师在讲解行列式的概念时，可与矩阵的概念进行对比.通过分析它们形式和本质上的差异，培养学生一丝不苟的学习态度和学习习惯.

挖掘8：线性方程组的求解Ⅱ.挖掘5中求解完方程组后，教师可再强调两点：1）对矩阵进行初等行变换，虽然只是简单的加减乘除，但细心很重要，否则失之毫厘谬之千里;2）求对应齐次线性方程组的基础解系时，是将自由元代入齐次线性方程组后求得，而不是非齐次线性方程组.严谨、认真的态度是解题的关键，态度决定一切，生活中做任何事都应如此.

4.坚持不懈的意志品质的培养

挖掘9：行列式的概念Ⅱ.教师在讲解行列式的概念时，可引入德国数学家高斯、法国数学家柯西、瑞士数学家克拉默等，通过介绍高斯引入行列式的过程、克拉默建立行列式与齐次线性方程组解的联系，引导学生正确面对挫折和失败，敢于探索，刻苦钻研，崇尚科学的精神，还可介绍我国数学家华罗庚，讲述他从初一辍学后成为著名数学家的成长历程，让学生明白任何人的成功都不是一蹴而就的，天才也只不过是99%的努力+1%的天赋，以此培养学生顽强拼搏的毅力和坚持不懈的意志品质.

二、融合了“思政元素”内容的教学设计

蕴含思政元素的线性代数教学内容，不仅包含线性代数知识、数学史、数学思想和方法，还涉及马克思主义哲学.因此，融入课程思政的教学对教师提出了更高的要求.作为教师，首先要进行课程思政理论的学习，提高自身的政治理论水平和人文素养;其次要有热爱教育的定力，加大研究教学力度、做好教学设计、丰富教学手段等;最后才能有效地开展课程思政教育.

1.分析学生、了解学生的基础

结合学生所学专业设置教学内容是教师备课的第一步.针对不同专业的学生，教师需引入不同的专业知识.如我校一流专业“大气科学”，气象上常用“EOF”（empirical orthogonal functions）方法分析某气象要素场多年来的时空变化特征，该方法对应的是矩阵分解;在气象资料同化方法的基本原理中也涉及二次型理论.如自动化专业，电机控制中常用到坐标变换、动态矩阵降维等，其对应的是矩阵的秩、线性变换等内容.再如计算机专业，机器学习、深度学习的算法中涉及矩阵的转置、逆和矩阵的乘法等.教师通过逐步引入专业知识，让学生了解所学线性代数知识的应用，提高学习兴趣，达到学以致用的目的.

2.教学策略、教学模式

替代式教学策略作为常见的传统教学方式，教师多结合板书、多媒体以讲授为主，同时可通过启发式、提问式等问题和学生产生互动，活跃学生的思维，提高学习积极性.此外，教师在每一学期可进行一次翻转课堂，课前学生自行分组，以小组为单位完成布置的学习任务，让他们自己组织教学内容，课上每个小组轮流派一个代表上台讲解，结束后由教师进行答疑、补充和总结.这种翻转课堂也叫产生式教学策略，它一方面能激励学生学习的积极性，另一方面也能培养学生团队合作能力和社交能力.

目前，在线互动的教育平台越来越多，“线上+线下”混合教学模式也可作为现有教学模式的一种补充.教师课上面授，课下利用电脑、手机发布作业、上传课件、给学生答疑等.该模式不仅可以调动学生的积极性，还可弥补教学课时不足的问题.

3.教学方式、时间控制

思政元素融入教学内容，在方式上一定要自然，切忌“贴标签”式的生搬硬套.在讲解蕴含思政元素的知识点前，教师可在课件上展示与知识点相关的思政元素照片或播放短视频，引起学生的兴趣，将思政元素与教学内容进行无缝对接，达到事半功倍的效果.另外，教师需要注意把握思政元素融入的比重，不能占用太多时间而影响了知识的讲授.

三、初步实践的调查结果

我校对大气科学专业20级19～21班共119人进行了课程思政融入线性代数教学的实践，并在学期结束后开展了问卷调查，共收到问卷117份.问卷中设计了11个问题，前10个问题总结为五大类：1）对于在课上引入数学发展史，有93%的同学认为这让他们了解了数学的部分发展史，特别是我国古代在数学上的伟大成就，觉得很自豪;2）对于在课上引入数学家的故事，有98%的同学认为这让他们明白了努力的道理，也增加了学习的兴趣;3）对于在课上引入企业家的故事，有96%的同学觉得这吸引了他们的兴趣和注意力，也懂得了成功离不开坚持不懈的努力和持之以恒的决心，还有91%的同学立志要以他们为榜样，努力学习，实现科技报国的使命担当;4）对于在课上教师将知识点进行类比、总结和延伸，有97%的同学觉得这样能更好地帮助他们掌握所学内容，更重要的是便于以后用数学的思维方式和辩证唯物主义思想去面对实际问题，拓展了解决问题的思路;5）对引入后续专业课程需要的线性代数知识，有92%的同学认为这让他们明确了该课程的重要性.最后1个问题是学习线性代数课程你有什么样的收获，全部的同学都认为通过线性代数课程的学习，不仅学到了线性代数的知识，还学会了很多为人处事的道理，这门课的学习使他们受益匪浅.

四、结论

在高等学校课程思政建设的大背景下，本文首先分析了课程思政融入线性代数教学的必要性.其次从定义的讲解、证明求解的过程中，挖掘线性代数课程含思政元素的知识点.教师通过课程思政融入线性代数的教学，实现向学生传递爱国主义精神，马克思辩证唯物主义思想，以及培养学生严谨认真的学习态度和坚持不懈的意志品质，并探讨了含思政元素内容的教学设计方式.最后还在课堂进行了初步实践，问卷调查结果显示思政融入线性代数课程取得了较好的反馈.“课程”与“思政”有机结合，以立德树人为宗旨，使思想政治教育始终贯穿线性代数课程的教学中，实现知识传授、能力培养与价值引领的有机统一，这与我校的校训“明德格物、立己达人”也不谋而合.在以后的教学实践中，我们将继续尊重教育教学、人才培养规律，进一步挖掘思政元素、改进教学模式、丰富教学手段，不断丰富课程思政内涵、提升课程整体质量，真正实现润物于无声处，育人于课堂中，为培养中国特色社会主义优秀建设者和接班人而努力.

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