一类线性抛物型方程组弱解存在性证明

旷雨阳 ， 王太荣， 李兴华

(安顺学院数学与计算机科学学院, 贵州 安顺 561000)

热能的扩散以及布莱克-斯科尔斯模型等演化问题，都是以抛物型偏微分方程形式出现，抛物型偏微分方程更在流体力学、热力学、电磁学以及概率论的解析处理中都有重要应用，因此它在自然科学中有广泛应用[1-2].故而激起了许多研究者的兴趣和重视，经过研究已取得了很多成果，到目前为止，对抛物型偏微分方程解的存在性的研究成果较好，如文献[3]-[8]等.

本文采用Galerkin方法[9]讨论一类线性抛物型方程组弱解存在性证明.此类抛物型偏微分方程组在微波加热系统中应用很广，微波加热主要通过微波渗透到物体内部，微波撞击所加热物质分子，使其运动而产生热量，实现物体加热.物体内部的温度分布通过热传导实现，具体可以用Maxwell方程与热传导方程的耦合系统描述其数学模型[10].

1问题的提出

下面采用Galerkin方法讨论如下一类线性抛物型方程组及其初边值条件问题：

2预备知识

使得

命题1[9]当1

命题2[9]当1

定理2(Poincare不等式)[9]设1≤p<+∞，Ω⊂Rn为一有界区域，

定理3(紧嵌入定理)[9]设Ω⊂Rn为一有界区域，1≤p≤+∞，

i) 若Ω满足一致内锥条件，则当p≤n时，下列嵌入是紧的，

w1，p(Ω)

w1，p(Ω)Lq(Ω)， 1≤q<+∞，p=n；

ii) 若∂Ω恰当光滑，则当p>n时下列嵌入是紧的，

w1，p(Ω)

注1[9]上面所述的紧嵌入是指，对被嵌入空间的任何有界序列，总存在一个在嵌入空间强收敛的子序列，即嵌入算子是紧的．

定理4(存在唯一性定理)[11]设带有初值问题的常微分方程组为

如果A(t)是n×n矩阵，f(t)是n维列向量，它们都在区间a≤t≤b上连续，则对于区间a≤t≤b上的任何数t0及任一常数n维列向量η，方程组x′=A(t)x+f(t)存在唯一解φ(t)，定义于整个区间a≤t≤b上，且满足初值条件φ(t0)=η．

3假设条件

4线性抛物型方程组弱解存在性证明

使它满足

(4)

其中，(·，·)为L2(Ω)3中的内积，注意到

记

则有

(5)

(6)

则方程组(5)与(6)转化为

即

于(0，t)上积分，进而有

(7)

(8)

由Poincare不等式

(9)

对此式两端在(0，t)积分得

(10)

由(8)，(9)及(10)得

由(7)式，即为

将此式整理得

所以，

其中，μ≥0为Poincare不等式中的常数，从而

(11)

于(0，T)上积分，即

进而有

将此不等式移项得

从而有，

(12)

联合(11)与(12)得

(13)

其中，c是不依赖于m的常数.

在该式两端同乘以αjk，并对k从1到j求和，从而有

令j→∞，得

(14)

对此等式两边令m→∞时取极限，即得

从而有

(15)

又因为

将之代入(15)式整理得