一类带阻尼项和负质量项的波动方程解的破裂

范雄梅， 明 森*， 韩 伟， 苏业芹

(1.中北大学数学系， 太原 030051； 2.西南财经大学证券与期货学院， 成都 611130)

本文在外区域上研究一类带阻尼项和负质量项的变系数波动方程的初边值问题

(1)

其中，

b1(t)∈C[0，∞)∩L1[0，∞)，

b2(t)∈C[0，∞)，tb2(t)∈L1[0，∞)，

b1(t)≥0，b2(t)>0，p，q>1．

近来，非线性波动方程解的破裂及其生命跨度估计被广泛关注[1-9].1981年，Strauss[1]研究了非线性波动方程的小初值问题，得到其解具有Strauss临界指数pc(n) (n≥2)，其中pc(n)是二次方程

r(p，n)=-[(n-1)p2-(n+1)p-2]=0

的正根.当1pc(n)时，问题存在整体解.并且pc(1)=∞.文献[2]在外区域上研究了带小初值的变系数波动方程，其中非线性项分别为|u|p与|ut|p.文献[5]在n维全空间中研究了次临界指数与散射阻尼情形的波动方程，其中非线性项为|u|p.利用检验函数方法与迭代方法得到解的生命跨度的上界估计.文献[6]分别研究了带散射阻尼与尺度不变阻尼的波动方程，其中非线性项为|ut|p.当1

本文拟结合文献[2，6-8，10]，在外区域上研究带阻尼项、负质量项与组合非线性项的变系数问题(1).主要结果如下．

定理1设n≥1.f∈H1(Ωc)，g∈L2(Ωc)为具有紧支集的非负光滑函数.g(x)不恒等于0，

supp(f(x)，g(x))⊂BR(0)∩Ωc，R>2.

假设问题(1)的解满足

suppu⊂{(x，t)∈Ωc×[0，T)| |x|≤t+R}.

若p>1且

则问题(1)的解u会在有限时间内破裂.并且生命跨度T(ε)的上界估计为

T(ε)≤Cε-2p(q-1)/[2q+2-(n-1)p(q-1)]，

其中，C是与ε无关的正常数，

0<ε≤ε0=

ε0(f，g，n，p，q，R，b1(t)，b2(t))>0．

定理2假设n≥2，f，g具有与定理1相同的条件.设问题(1)的解满足suppu⊂{(x，t)∈Ωc×[0，T)| |x|≤t+R}.当p>2n/(n-1)，1

T(ε)≤Cε-(q-1)/[q+1-n(q-1)]．

定理3设n≥1，f，g满足与定理1相同的条件.假设问题(1)的解满足suppu⊂{(x，t)∈Ωc×[0，T)| |x|≤t+R}，则生命跨度T(ε)的上界估计满足

注1文献[8]在Rn中研究波动方程的小初值问题，其中非线性项为|u|p.本文结合文献[2，6-8，10]，在外区域上研究带组合非线性项|ut|p+|u|q的变系数问题.通过引入乘子，将文献[7]中的结果推广到外区域上带负质量项的变系数情形，并且阻尼系数为b1(t)，而文献[7]中b1(t)=μ/(1+t)β(β>1).本文利用检验函数方法与迭代方法，得到问题(1)解的生命跨度的上界估计.另外，可选取具体径向对称检验函数φ0(x)=φ0(|x|)，见引理1．

注2当q>2p-1，

2p(q-1)/[2q+2-(n-1)p(q-1)]> 2(p-1)/[2-(n-1)(p-1)]，

故定理3中的结果优于定理1中的结果.当p=pG(n)=(n+1)/(n-1)时，q>2p-1等价于q>1+4/(n-1)．

下面给出证明定理1～3时需用到的引理．

引理1[2]引入两个检验函数φ0(x)，φ1(x)∈C2(Ωc)，并且

另外，

其中，φ1(x)满足∃C1>0，使得

0<φ1(x)≤C1(1+|x|)-(n-1)/2e|x|，∀x∈Ωc．

现记ψ(x，t)=e-tφ1(x)，其中φ1(x)如引理1中所述．

引理2[2]设p>1，φ0(x)与φ1(x)满足引理1中的条件.则∀t≥0，有

其中,C为正常数．

引理3[11]设b1(t)∈C[0，∞)∩L1[0，∞)是非负函数，且满足

则有

m1(0)≤m1(t)≤1，

m′1(t)/m1(t)=b1(t)，∀t≥0．

1定理1的证明

首先，给出问题(1)弱解的定义．

定义1设u是问题(1)在[0，T)上的弱解，

且满足

(2)

证明记

其中，u是问题(1)在[0，T)上的解.此处ψ(x，t)=φ1(x)e-t，其中φ1(x)如引理1中所述.则有ψt=-ψ，ψtt=ψ=∂j(aij(x)∂iψ).

下面建立F0(t)的估计．

在式(2)中令φ(x，s)=φ0(x)，

(x，s)∈Ωc×[0，t]， |x|≤s+R，

并利用引理1，得到

(3)

其次，建立F1(t)的下界估计．

在(2)中令φ=ψ，并利用ψtt=∂j(aij(x)∂iψ)=ψ，ψt=-ψ，可得

此处已利用

从而

其中，

因此，利用F1(0)>0和F1(t)>0，则有

(4)

现建立F2(t)的估计．

直接计算得到

(5)

利用(2)和ψtt=∂j(aij(x)∂iψ)=ψ，ψt=-ψ，可得

(6)

结合(4)、(5)和(6)，则有

(7)

利用(2)可知

(8)

结合(4)、(7)和(8)，可得

(9)

设

ψ(x，s)dx，

G(t)≥e-2tG(0)>0，∀t≥0.

因此

(10)

即

(11)

运用Holder不等式，引理2及(11)，得到

(12)

其中，

将(12)代入(3)，并积分可得

F0(t)>C3εp(t+R)-(n-1)p/2tn+1，

其中，C3=m1(0)C2/[n(n+1)].利用Holder不等式及(3)，可知

(13)

下面利用迭代方法建立问题(1)解的生命跨度T(ε)的上界估计．

首先，对于t≥0，j∈N*，假设F0(t)满足

F0(t)≥Dj(R+t)-ajtbj，

(14)

其中，Dj，aj，bj将在下文给出其定义，并且

D1=C3εp，a1=(n-1)p/2，b1=n+1.

(15)

将(14)代入(13)中，得到

F0(t)≥Dj+1(R+t)-n(q-1)-qajtqbj+2.

现定义序列{Dj}，{aj}，{bj}，满足

aj+1=qaj+n(q-1)，bj+1=qbj+2.

(16)

则有F0(t)≥Dj+1(R+t)-aj+1tbj+1.利用(15)和(16)得到

于是，

F0(t)≥(t+R)nt-2/(q-1)exp(qj-1J(t)).

(17)

由于t≥R>2，可知

J(t)≥log (D1t1+2/(q-1)-(n-1)p/2)-C6，

其中，

C6=((n-1)p/2+n)log 2+Sq(∞)>0.

由于1

2定理2和定理3的证明

2.1定理2的证明

利用p>2n/(n-1)，结合(3)和引理3，得到

F0(t)≥C9ε(R+t)，

(18)

类似于定理1的证明过程，则有

F0(t)≥C11εq(R+t)-n(q-1)tq+2.

由于1

2.2定理3的证明

结合定理1的证明过程，在(10)中令

H′(t)≥C1-pHp(t)/[2(t+R)(n-1)(p-1)/2]，

(19)

其中，H(0)=[(m1(0)/2)C0，g]ε>0.通过求解不等式(19)，即得定理3中的生命跨度估计．