一类不定积分的两种解法

胡梦薇

【摘要】本文研究了一类不定积分的两种解法：一种是教材常用的分部积分循环解出的方法，另一种是借助于欧拉公式构造复变函数积分的新解法，并且给出了此类不定积分的计算结果.其中第二种方法具有计算简洁的优点.

【关键词】不定积分;指数函数;三角函数;欧拉公式

一、引言

在高等数学教学中，我们经常会遇到计算有关指数函数与三角函数乘积形式

∫eaxsin bxdx，ab≠0（1.1）

的不定积分，此类不定积分计算过程比较复杂，也是教学中的难点问题.鉴于此，本文给出了两种求解方法：一种是教材中常用的分部积分循环解出的方法，另一种是利用复变函数知识，借助于欧拉公式的推广形式，构造一个复变函数积分进行求解.

二、准备知识

定义2.1 如果自变量从初值x0变到终值x，对应的函数值由f（x0）变化到f（x），则称x-x0为自变量的增量，f（x）-f（x0）为函数的增量，分别记作Δx，Δy，即

Δx=x-x0，或x=x0+Δx.

Δy=f（x）-f（x0）.

函数增量又可表示为

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

定义2.2 设函数y=f（x）在点x0及其领域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx时，函数有相应的增量

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

如果当Δx→0时，ΔyΔx的极限存在，则称f（x）在点x0处的导数存在或者可导，这个极限值就称为函数y=f（x）在点x0处的导数，记为y′x=x0，即

y′x=x0=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx.（2.1）

也可以记为f ′（x0），dydxx=x0，df（x）dxx=x0.

如果（2.1）式的极限不存在，则称函数y=f（x）在点x0处导数不存在或者不可导.如果函数y=f（x）在区间（a，b）内每一点都可导，则称函数y=f（x）在区间（a，b）内可导.这时，对于（a，b）内的每一个确定的x，都有唯一的导数值f ′（x）与之对应，所以f ′（x）也是x的函数，称它为y=f（x）的导函数，记为

y′，f ′（x），dydx，df（x）dx.

区间（a，b）称为函数y=f（x）的可导区间，于是导函数的定义为

f ′（x）=limΔx→0f（x+Δx）-f（x）Δx.

下面给出文章中用到的几个基本初等函数的求导公式：

（1）C′=0;

（2）（ex）′=ex;

（3）（sin x）′=cos x;

（4）（cos x）′=-sin x.

定义2.3  设函数y=f（u）和u=φ（x），u=φ（x）的值域或部分值域包含在f（u）的定义域中，则通过u，y与x建立了对应关系，记为y=f[φ（x）]，称此函数是由函数y=f（u）和u=φ（x）复合而成的复合函数，其中u称为中间变量.

定义2.4  设函数y=f（x）在点x0处可导，则称f ′（x0）Δx为函数f（x）在点x0处的微分，记作dy或df（x），即

dy=f ′（x0）Δx，

并且说函数f（x）在点x0处可微.

通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即

dx=Δx.

于是函数y=f（x）的微分又可记作

dy=f ′（x0）dx.

根据微分的定义dy=f ′（x0）dx，再由导数公式，就得到相应的微分公式，这里给出本文用到的几个基本初等函数的微分公式：

（1）d（C）=0;

（2）d（ex）=exdx;

（3）d（sin x）=cos xdx;

（4）d（cos x）=-sin xdx.

定义2.5 设函数f（x）在某区间上有定义，如果存在一个函数F（x），使得在该区间内任意一点都有

f ′（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，

则称F（x）是f（x）在该区间内的一个原函数.

定义2.6 在区间I内，如果F（x）是f（x）的一个原函数，那么函数族F（x）+C（C为任意常数）称为f（x）在I内的不定积分，记作

∫f（x）dx，

即∫f（x）dx=F（x）+C.

其中记号“∫”称为积分号，f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数.

下面给出本文需要用到的有关复数域上的三个定义.

定义2.7 形如z=x+iy或z=x-iy的数，称为复数，其中x和y是任意的实数.i满足i2=-1，i称为虚数单位.

定义2.8 欧拉公式

eiθ=cos θ+isin θ，

这里e是自然對数的底，i是虚数单位，它将函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.

定义2.9 对于任何复数z=x+iy，我们用关系式

ez=ex+iy=e（cos y+isin y）（2.2）

来定义指数函数ez.

当z的实部x=0时，就是定义2.8的欧拉公式，所以（2.2）是欧拉公式的推广.

根据不定积分的定义和求导数的运算法则，可以得到如下不定积分的性质（假设所讨论的不定积分均存在）：

性质2.1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号之外，即

∫kf（x）dx=k∫f（x）dxk≠0.212EC8D5-9D81-4019-B1A6-BCA6F5BCA0BE

性质2.2 两个函数代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，即∫[f（x）±g（x）]dx=∫f（x）dx±∫g（x）dx.

下面给出文章中用到的不定积分的几个基本公式：

（1）∫sin xdx=-cos x+C;

（2）∫cos xdx=sin x+C;

（3）∫exdx=ex+C.

（4）∫kdx=kx+C.

定理2.1 设函数u（x），v（x）在点x处可导，则函数u（x）v（x）在点x处可导，且

（u（x）v（x））′=u′（x）v（x）+u（x）v′（x）.

简记为

（uv）′=u′v+uv′.

定理2.2 （复合函数的微分法） 若y=f（u），u=φ（x），且φ（x）在点x处可导，f（u）在对应点u处可导，则f（φ（x））在点x处可导，且[f（φ（x））]′=f ′（u）φ′（x）.

简记为

y′x=y′uu′x.

例如，下面两个复合函数求导：

（eax）′=aeax; （sin bx）′=bcos bx.

计算不定积分的常用方法：

定理2.3 第一类换元积分（凑微分法）：

设∫f（u）du=F（u）+C，且u=φ（x）可微，则

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（u）du=F（u）+C=F[φ（x）]+C.

定理2.4 （分部积分法）设函数u=u（x），v=v（x）具有连续的导数，由函数乘积的导数公式有

（uv）′=uv′+u′v.

两边取不定积分得∫（uv）′dx=∫uv′dx+∫u′vdx.

移项得∫uv′dx=uv-∫u′vdx，

或

∫udv=uv-∫vdu.

上述公式叫作分部积分公式.

三、问题解决的两种方法

方法一：使用分部积分循环解出法.

∫eaxsin bxdx，ab≠0

=1a∫sin bxdeax

=1aeaxsin bx-ba∫eaxcos bxdx

=1aeaxsin bx-ba2∫cos bxd（eax）

=1aeaxsin bx-ba2eaxcos bx-b2a2∫eaxsin bxdx，

移项，得

1+b2a2∫eaxsin bxdx=1aeaxsin bx-ba2eaxcos bx，

则有

∫eaxsin bxdx=aa2+b2eaxsin bx-ba2+b2eaxcos bx+C.

因为不定积分代表全体原函数，循环解出时，特别注意要加上任意常数C. 可以看出，此法比较烦琐，并且容易出现计算错误，需要寻找更简洁的方法.由于受到相关文章的构造复变函数思想的启发，给出下面的第二种解法.

方法二：构造复变函数积分

∫eaxcos bxdx+i∫eaxsin bxdx

=∫eax（cos bx+isin bx）dx

=∫eax+bixdx

=1a+bie（a+bi）x+C

=a-bia2+b2eaxcos bx+isin bx+C

=1a2+b2eax[（acos bx+bsin bx）+（asin bx-bcos bx）i]+C.

等号两端比较虚部得

∫eaxsin bxdx

=aa2+b2eaxsin bx-ba2+b2eaxcos bx+C.

此方法的解题步骤总结如下：

（1）构造一个复变函数积分;

（2）使用不定积分的性质和定义2.7的有关公式，解出不定积分;

（3）比较式子等号两端的虚部，得到所求的结果.

下面举例说明.

例如 求∫e-3xsin 6xdx.

方法一：分部积分循环解出法

解 ∫e-3xsin 6xdx.

=1-3∫sin 6xd（e-3x）

=1-3e-3xsin 6x+2∫e-3xcos 6xdx

=1-3e-3xsin 6x-23∫cos 6xd（e-3x）

=1-3e-3xsin 6x-23e-3xcos 6x-4∫e-3xsin 6xdx，

移项，得

5∫e-3xsin 6xdx=1-3e-3xsin 6x-23e-3xcos 6x，

则有

∫e-3xsin 6xdx

=1-15e-3xsin 6x-215e-3xcos 6x+C

=-e-3x15（sin 6x+2cos 6x）+C.

方法二：构造复变函数积分

∫e-3xcos 6xdx+i∫e-3xsin 6xdx

=∫e-3x（cos 6x+isin 6x）dx

=∫e-3x+6ixdx

=1-3+6ie（-3+6i）x+C

=-1-2i15e-3x（cos 6x+isin 6x）+C

=115e-3x[（-3cos 6x+6sin 6x）-2（3sin 6x+6cos 6x）i]+C.

等号两端比较虚部得

∫e-3xsin 6xdx

=-e-3x15sin 6x-215e-3xcos 6x+C

=-e-3x15（sin 6x+2cos 6x）+C.

比较上面两种做法，可以得到：第一种方法，使用分部积分法来循环解题，在选择被积函数的部分形式凑微分以及使用分部积分公式时，计算过程比较烦琐，容易出错;第二种使用构造复变函数进行求不定积分的方法思路简单清晰，只须构造复变函数，分解得出其实部和虚部，然后即能比较虚部得出结果.

四、结束语

本文完整、详细地研究了不定积分（1.1）式的两种计算形式，通过对比可以看出，使用复变函数方法计算更为简洁，避免了多次使用分部积分法的烦琐过程.另外，此题的结果可以作为一个通项公式来用，能够提高此类题目的解题效率.

【参考文献】

[1]盛祥耀.高等数学：第4版[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]陶煌.高等數学[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[3]钟玉泉.复变函数论：第4版[M].北京：高等教育出版社，2013.

[4]余家荣.复变函数：第5版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[5]陆光洲.一类函数不定积分的另一种求法[J]. 高等数学研究，2014（6）：36-37，40.

[6]郭国安，宋洪雪.一类不定积分的复变函数解法[J]. 高等数学研究，2017，20（3）：51-54.

[7]郭鹏云，云文在，田强，等.不定积分解法研究[J].大学数学，2012（3）：149-153.212EC8D5-9D81-4019-B1A6-BCA6F5BCA0BE