初中数学教学中函数教学的几点思考

马军帅

【摘要】函数的教学是初中数学教学中的重點和难点，也是历次中考的重要考点.然而，初中数学课堂函数的教学质量和效果都不理想，究其原因是函数是从现实中抽象而来的，外延十分广泛，内涵尤其深刻，要让学生完全理解并掌握确实难度不小.因此，本文从这些年的教学实践和研究出发，对初中数学教学中的函数教学方式做出几点归纳与总结，以期使学生更好地理解和掌握这一数学难点，从而提高数学课堂函数教学的质量和效果.

【关键词】初中数学;函数教学;常量和变量

一、引言

初中数学中的函数教学几乎可以贯串整个初中时期的数学学习，这是函数的本质特征决定的.教师在数学课堂的函数教学过程中要加强对学生进行函数学习的指导，注重对数形结合的分析和运用，让他们对函数的本质有更清晰的理解和认识，而且要摒弃那些只重视知识的特点却忽略了知识的本质的本末倒置的教学方法.

二、掌握相互联系，运动发展的数学理念

从数学特点上进行分析，函数表示的是不同数字之间的变化关系，当一个数发生变化时，数学关系就会不同，另一个数的具体数值也就会随之发生变化.但在实际的数学教学活动中，函数的有关概念与解题要求更为复杂.学生不仅要正确认识函数知识，还要尝试说明函数的内在联系，依靠函数关系解决相关数学问题.对于初中生来说，函数是一个全新的数学知识点，与传统的数学运算之间的区别极大.如果教师采取“平铺直叙”的方式引入数学知识，那么学生很难正确地解读函数的数学意义.

在初中数学中，函数能清楚地把两个变量之间的关系完全表达出来.关于函数的两个变量，一个变量总是跟着另一个变量的变化而变化，它们之间能相互作用、相互制约.因此，在初中数学课堂中进行函数教学时，教师要培养学生基于数学学科的互为作用、互为联络的理念，在对函数开展分析和学习时要运用发展和运动的思路.在数学教学的过程中，教师在讲解函数时可以采用“例如”“比如”等方法，用形象的比喻来向学生表达函数里两个变量之间进行互相影响的关系.在教学活动中，教师可以抓住函数教学的授课要求开展数学教学工作.一方面，教师可以结合基本数学定理确定自变量、因变量等概念，将函数公式与函数关系整理出来，确定数学解题的基本方法.另一方面，教师可以加强对数学知识的综合化应用，尝试利用函数知识进行解题.在生活中、教材上，教师可以将学生搜集到的数学问题转化为函数问题，帮助学生解读函数与其他数学知识之间的关联性特点，厘清学生的数学学习思路.由于函数中变量的关系和其他学科有着很大的关联性，教师引导学生对函数开展深入的学习能提升他们学习其他学科的学习能力，促使他们在多个学科领域的融合贯通，全面提升他们的综合学习能力.

三、深层次了解常量和变量

（一）常量的客观存在

常量是函数教学中的基本数学概念，承担着表达数学关系多、帮助学生正确认识数学知识的重要作用.对于学生来说，常量、变量两大概念相互搭配，共同构成了函数板块的基本教学体系.从字面含义上进行理解，常量属于“维持常态不发生变化的量”.在现实生活中，常量时常存在于每个层面，是在所有行业或领域里都会遇到的一个量.例如，三角形的内角和是180°、任意多边形的外角和都是360°、匀速运动中的速度、圆周率等，这些都是常量.在帮助学生认知数学概念的过程中，教师可以通过概念的代换来加深学生对于数学知识的记忆：在一个圆中，无论圆的面积如何变化，圆周率始终保持不变，请说明圆中的常量.教师通过设计问题，使学生了解基础概念，这样才能尽可能地消除未来教学中的盲区问题.

（二）变量是大量存在的

例如，卫星的飞行轨迹、高铁来往两地的历程、某次数学测试时学生的成绩、每天定时的电视节目等，这些量和上面提到的常量是不一样的.这时，教师可以向学生提出问题：“常量和变量的区别在哪里？”先让学生说出变量的特点，再向学生讲解变量的概念，让学生根据概念说出生活中的实例，让他们意识到生活中普遍存在变量，进而让他们认识到存在变量的必要性，探寻变量之间的相互关系.

四、有效运用数形结合思想

数形结合思想是数学学科的重要思想，也是重要的解题思路，在数学领域得到广泛的应用.教师引导学生有效运用数形结合思想，能进一步提升学生分析问题的敏锐性及解决问题的准确率.教师在课堂教学过程中要意识到函数概念在初中数学中所处的位置，要经常对函数概念进行渗透.实际上，最开始的数轴上和实数的对应关系里就包含了函数的概念.

在学习和理解函数概念之后，学生就能非常明朗化地把函数和不等式、方程的解等密切地联系起来.实数绝对值的意义、一元一次不等式解集的几何表示对于函数的图像和性质的研究发挥着重要的基础作用.函数的关系可以用“形”这个直观形象的方法来体现，如一次函数的图像是直线;二次函数的图像是抛物线，它的变化趋势有升有降;反比例函数的图像是双曲线，它能无限地接近轴;等等.“数”如果缺了“形”，就少了直观;“形”如果缺了“数”，就难以入微.“形”的方式的引进不仅能为研究函数提供直观、形象的感受，最重要的是能让学生对函数有一个十分直接的理性认识.为帮助学生系统地归纳相关数学知识，教师可以尝试针对函数板块的有关教学增加教学难度，如教师可以一次性地展示出所有函数的概念、图像，但不要求学生进行掌握，而是让学生将其作为课外学习材料保存下来，为学生提供自学、比对的机会.配合函数图像与相关的数学公式，学生能逐渐加深对函数知识的理解，如正比例函数中，x的值越大，y的值就越大;反比例函数中，x的值越小，y的值就越小.这两个函数之间似乎是“死对头”.对比记忆能够让学生更为清楚地整理相关知识点，而且教师保留下来的函数图像可以在未来的教学中重新进行利用.需要注意的是，在初中时期，对于学生对函数概念的学习及理解，教师不要有太多过高的要求.按照新教学大纲的要求，学生能把函数关系式与图像进行结合就可以，也就是看到图像就会想到函数关系式.反之，见到函数关系式就能立刻想到图像以及图像所在的位置.A0A7CFF6-7C29-4613-BA6E-9A87051CAEC8

五、反比例函数的应用和求代数式的值或解方程的区别

反比例函数的应用是学生运用数形结合思想进行实际问题解决的，求代数式的值或解方程则需要学生具备一定的计算能力.求代数式的值或解方程和反比例函数的应用之间的区别在于：前者是使用具体的数值代替代数式里的字母来计算，进而求出代数式的值，或者求出方程的解，强调的是一定的解题方法和计算能力;后者主要体现的是用函数的思维来解决实际中遇到的问题，着重体现的是数形结合的思维方式，通过对实际问题中变量之间关系的分析，建立反比例的数学模型，最后达到解决问题的目的.两者之间既有联系又有区别，它们之间的关系是相互依存的.

反比例函数和方程式是初中数学中非常重要的基础知识之一.方程只不过是反比例函数关系式对某个特定函数值求的解.方程是两边相等的，变形可以在等号的两侧进行，但函数关系式的两边是不相等的，函数关系式的变形只能在等号的右边进行.反比例函数都是和实际问题相融合的，教师可以引导学生运用函数图像，充分利用函数的特点和性质解决那些需要解决的问题.在数学教学活动中，教师可以通过不同知识点之间的对比、归纳、总结，帮助学生认识有关数学知识，加深他们对于函数知识的理解.以最为基本的反比例函数为例，部分教师要求学生利用“除法”的方式来记忆反比例函数，即将反比例函数中的k视为被除数，x视为除数，y视为商，这样的概念讲解确实能够减轻学生的学习压力，但是让学生忽视了数学概念与其他知识点之间的联系.因此，在教学中，教师可以要求学生分别画出反比例函数与正比例函数、方程的数学图像，通过观察交点、计算求解等方式对比不同知识点间的差别，避免混淆数学概念.在进行解题的时候，教师一定要引导学生先对题意进行充分的理解，只有这样才能找出反比例函数的关系式，从而有效地解决具体问题.

六、概念要说清楚、讲透彻

对于初中生来说，接触函数是一个全新的领域，入门学习有难度.在最初学习函数时，很多初中生的基础没有那么扎实，对函数的基本定义与概念在思维和理解方面没有搞懂，而随着教学的深入，他们学习起来感觉越来越费力，效果十分差.因此，要想让学生学好函数，教师在教学过程中需要做的第一步也是十分重要的一步就是把概念讲得透彻.学生只有真正地理解概念，才能在后面的函数学习中如鱼得水.函数主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数等，对于这些概念不同的函数，学生要保证能区分开来.随着教师的讲解不断深入，一些学生容易把这些名称接近的概念搞混.为防止出现这样的混淆情况，教师在进行新课讲授时需要让学生将函数概念理解清楚、透彻.例如，定义函数：设非空数集A、B，：x→y是一个对应分组从A到B，则从A到B的映射是：A→B称之为函数，也就是函数关系式y=（x），其中y∈B，x∈A，函数（x）的定义域是象的集合A，函数（x）的值域是象的集合B.

学生对于这样的函数概念会觉得不知所云，理解起来感觉十分困难，这就需要教师把函数的各个概念单独分解出来对学生开展详细的讲解.

1.对应法则：简单地讲就是函数的计算公式.

2.函数的定义域：自变量x的取值范围.

3.函数的值域：与函数定义域的对应法则有很大的关联性.

进一步讲解：

如何确定两个函数是否属于同一個函数？条件是函数的定义域与对应法则都分别是一样的.也可以这样说：

1.如果对应法则不一样，两个函数就不一样.

2.如果定义域不同，两个函数就不同.

3.即使两个函数的定义域和值域都分别相同，也不代表它们就是一个函数，这是因为函数的定义域与值域都不是唯一确定函数的对应法则.

通过这样的函数讲解方式，教师能让学生对函数的基本概念有深入的理解，从而理解什么是值域、什么是定义域、什么是对应法则、如何判断两个函数等问题.在解答函数的有关概念之后，教师可以尝试引入数学计算问题、发起数学实践活动，要求学生利用函数关系式、函数图像来归纳、整理数学知识，解决生活中的数学问题.例如，教师可以“利用函数计算某地的降水率”“利用函数计算商场的折扣力度”等，选择数学话题，加深学生对于函数知识的理解.除了对函数的概念进行分析外，对于反比例函数、一次函数、二次函数的定义，教师都要采取这样的方式进行讲解，争取把每个函数的概念都讲得十分透彻.

七、掌握函数图像的画法

在数学课堂教学中，学生还要具备的一个能力就是掌握函数图像的画法.函数的图像在表达函数的关系式时把抽象的数学概念、符号变得十分直观、形象，不仅方便学生进行观察，而且方便教师进行讲解，对于学生理解函数的性质、解答函数的习题、观察函数的特点都能发挥十分重要的作用.

例如，在学生开始学习二次函数的相关内容时，教师要向学生详细讲解二次函数的图像是如何画出来的，有哪些细节需要注意，哪些是重点，等等.然后，教师要把二次函数的图像展示出来，向学生讲解哪个是纵坐标、横坐标、最大值、对称轴、最小值等二次函数的重要参数.在二次函数的有关教学中，教师可以尝试利用各种数学图像来引入数学问题，要求学生分析二次函数图像的数学特点.随着探究的不断深入，学生对于二次函数图像的认识逐渐加深.在二次函数中，自变量的最大指数幂是2，所以函数图像与x轴有两个交点.以函数图像y=4x2为例，当y的取值是4时，x的取值并不唯一.教师用最简单的数学问题引导学生进行学习，可以帮助学生正确掌握并应用数学知识.在展示函数图像的过程中，教师也要鼓励学生积极地进行提问，以y=4x2与y=-4x2两个函数为例，在x的取值完全相同的情况下，两个函数图像的“朝向”并不相同，由此引出新的数学问题：如何确定函数图像的开口方向？在配合函数图像发起数学教学工作的过程中，教师不必对相关知识点进行“事无巨细”的讲解，适当留白，鼓励学生自由发挥，可能会在课堂上呈现不一样的效果.A0A7CFF6-7C29-4613-BA6E-9A87051CAEC8

八、全面掌握函数关系式求解的方法

在实际运用函数的过程中，函数关系式就是函数中最基本的步骤，再进一步就是把平面几何与函数关系式混合在一起进行综合分析.在关于函数的学习中，对于函数关系式的求解，教师要求学生必须重视，同时要让他們通过全面、深层次的学习进而掌握多种函数关系式解题的方法.函数的关系式有很多求解方法，如换元法、解方程组、待定系数法、相关点法、特殊值代入法等.在初中时期，学生只需要学习并掌握的是解方程组、待定系数法、相关点法、特殊值代入法.下面举例说明函数关系式的解题方法.

例题：江面拱桥涵洞的形状是抛物线.经过测量得知，当江面宽度是1.6米时，涵洞顶点到江面的距离是2.5米.求：在江面达到1.5米时，这时的涵洞有多宽？

例题分析：这是关于求解二次函数的问题，解析如下：

1.画出涵洞抛物线，然后按照给出的条件设x、y轴，以涵洞顶部为二次函数的圆点，然后画出平面直角坐标系就可以求出涵洞的宽.

2.把涵洞地段的江面宽度是1.6米时设为AB，离开江面处的高度设为CD.

3.y轴与AB、CD形成的交叉点是E、F，按照已知条件分别算出E、F的坐标点分别是（0，-1），（0，-2.5）.随后依据这两个坐标点算出二次函数的表达式.

4.最后得到江面达到1.5米时涵洞露出水面的宽度.

这个例题是比较常见的用坐标点来列出函数表达式的问题.对于这种求函数表达式的方法，教师要通过深入细致的讲解，让学生多做同类型的题来深入理解并掌握这种解题方法.

九、结语

综上所述，教师通过掌握相互联系，运动发展的数学理念;深层次了解常量和变量;有效运用数形结合思想;区别反比例函数的应用以及求代数式的值或解方程;对初中数学函数本质的分析，揭示了函数一般规律和特殊规律内在的联系，让学生在实际解决问题中更好地掌握函数的本质和规律，拓展思维，攻克初中数学中的这一难关.

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