数学核心素养视角下高中解析几何教学的策略探究

夏子伦

【摘要】在核心素养逐渐渗透的背景下，教师要通过对教学过程的改良，帮助学生在获取理论知识的前提下逐步深化数学解题方法和相应的思维能力.而在高中阶段，其发展尚未停止，教师要有意识地结合课程的特征和能够培养的数学素养来确定教学活动的展开形式，进而提升学生的综合能力.本文将以解析几何的教学过程为例，深入探究在不同类型的课程上应当如何达到渗透核心素养的效果.

【关键词】高中;核心素养;解析几何;策略

一、引言

高中阶段的学生、教师都时刻绷紧了一根弦，受到应试教育的影响，没能关注到能力的提升和素养的深化，使得教学过程并不具备高效的特点，因此，教师要致力于对课程教学活动布置的研究.解析几何是高中数学的重要内容，需要教师在不同的课程讲解中渗透核心素养相关的内容，以此保证学生综合能力的提升.

二、高中解析几何教学的基本情况

大量的研究资料表明，学生认为高中解析几何部分知识难度较大，面对综合性问题往往缺失信心，不能达到解析几何学习目标的要求，自然难以渗透核心素养.出现以上情况的原因是教师认知上的偏差，其没能重视能力和思维的培养，对于学生的认知障碍分析不够准确，进而仍旧使用传统的教学手段，机械地开展公式应用和结论内化的活动，不利于学生个人能力的培养[1].

三、数学核心素养视角下高中解析几何教学的策略

（一）概念课程感悟数学思想

在概念课的讲解过程中，教师要通过情境的引入，将学生快速带入到新知的学习中，从而保证其兴趣的产出.兴趣是主动学习的关键点，只有在兴趣被合理激发的前提下，学生才能更好地感知新知识，并形成探究的意识[2].这就要求教师在课前导入阶段密切联系生活实际，说明所学习的解析几何的内容在生活中的展现，为下定义和形成模型奠定基础.同时，教师要借助讨论的方式，不断引导学生自行完成对概念的修正任务，保证表示的图形、符号、语言文字等都能够符合严谨治学的要求.而在概念剖析的环节，教师要有意识地利用辩证的思维，提取关键词，就关键词的指向、内涵等深入研究，从而在相互给出内涵结果的前提下内化本质属性.在设计概念的过程中，教师要秉持着从特殊到一般的原则，对于与其相关联的概念采取辨析的办法，以此区分容易混淆的定理，为学生核心素养水平的提升打好基础.即便是打基础的时期，教师也应当注重学生培养的思维和能力，可适当利用问题情境，间断性地提出问题，这样就会起到回顾之前学习内容的作用[3].

以椭圆的标准方程的教学过程为例，教师在课前导入阶段为学生展示北斗卫星的运动轨迹图、橄榄球或者油储罐的外轮廓线图等，引导学生通过生活中常见的物体和形状了解椭圆的实际应用，以此激发学生学习的热情.教师由此开展新知建构活动，通过设置小组探究活动，给出需要加以探索的主题：（1）椭圆方程的求法;（2）如何建构坐标系才能简化方程的求导过程？（3）椭圆方程的化简变形应当注意哪些问题？等等，使得学生能够参与到新知建构的环节中，从而对概念部分的内容予以深化，进而强化认知.在完成新知构建的活动后，教师还要设计互问互答的活动，这样有利于帮助学生加深之前学习的内容，从而达到夯实基础、体味数学思想的目标.在互问互答环节，教师具体可为学生提供自由询问的空间，主要从标准方程书写、焦点坐标确定的方向给出提问的问题.接着，教师要设置能够检验其成果的题目，一般以基础题为主，目的是引导学生对椭圆的标准方程有基本的认识，进而才能进入到技能和题目解法的研究中.

给出变式训练题目：已知在椭圆x225+y216=1上有一点P，与一个焦点之间的距离是4，求点P与另一个焦点之间的距离.

变式1：同样是这一椭圆方程，现有一点P，其横坐标为4，求出其到两个焦点之间的距离.

变式2：还是这个椭圆方程，此椭圆上有一点P，求出以两个焦点以及该点所组成的三角形的周长.

教师通过题目的设置使学生巩固了知识，并从其回答中得知学生对于概念部分的问题，基于此，完善后续的方法梳理和思想内化的过程.

（二）方程课程培养建模思想

解析几何主要用代数方法研究几何对象之间的关系与性质，具有非常强的抽象性，如果学生不具备基本的抽象思维能力与建模能力，就很容易迷失在解析几何的学习过程中，最终影响高中数学学习效果.教师只有发展学生的建模思想，使其学会从数学的角度思考问题，学会用数学语言描述问题，学会用数学模型解决问题，才能够实现解析几何的教学目标，帮助其又快又好地解决解析几何难题.教师要抓住方程教学的良好时机，在方程课程中渗透数形结合思想，使学生由轨迹方程、联立方程联想到具体的几何问题，在潜移默化的过程中激发其建模意识.同时，教师要注意对学生建模能力的培养，使其学会在阅读题目时抓住关键条件，并根据具体条件搭建出轨迹方程、方程组，构建坐标系，掌握解析几何的学习方法与学习技巧.教师要做好求解方程的课程教学，细心讲解解方程的方法，让学生在解方程的过程中感悟动点满足的几何条件与等量关系，在坐标化操作过程中对问题进行直观判断，从而得出方程，然后化简求得轨迹方程.

以圆的标准方程的教学过程为例，教师在课上复习提问，引入新课内容：“前面学习了曲线方程的关系以及求曲线方程的方法，请你想一下，如何求某种条件的点的轨迹？”在回顾旧知的过程中，教师让学生联想建系、设点、列式、化简四步骤：（1）建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为（x，y）;（2）写出适合某种条件P的点M的集合P={M|P（M）};（3）用坐标表示条件，列出方程f（x，y）=0;（4）化简方程f（x，y）=0为最简形式;（5）证明以化简方程的解为坐标的点都是曲线上的点.接着，教师出示习题：圆心在原点，半径为5的圆的方程为x2+y2=52，即x2+y2=25.如果半径发生变化，圆的方程又是怎样的？你能否写出圆心在原点、半径为r的圆的方程？教师经过引导与启发让学生列出x2+y2=r2这一方程，并引导其对圆上的点的条件进行探究，使其发现以下规律：圆上的任一點到圆心的距离等于半径，即x2+y2=r2.教师继续追问：“x2+y2=r2表示的圆的位置比较特殊，圆心在原点、半径为r，有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至直角坐标系的任意一点C（a，b），方程应是怎样的？”教师以上述方程为基础，引发学生的思考，使其理解圆到点C（a，b）的距离等于半径r的点的几何意义，再对具体内容进行推导，推理出（x-a）2+（y-b）2=r2这一圆的标准方程.这时，学生的建模思想初步形成，教师再导入习题：（1）已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点P（x0，y0）的切线的方程.（2）圆的方程是x2+y2=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程.教师通过出示以上类型的练习题深化学生的建模意识，使其在练习中找到方程的应用规律、解方程的规律，从而提升其建模能力与方程模型应用能力，实现解析几何的有效教学.51956521-FE04-4673-8EA3-369F4F68DA83

（三）方法课程培养逻辑思维

方法课的教学过程要利用具体的题目，借助实践活动来达到自主发现并总结数学解题模型的目标.教师可在题目的讲解中对之前学过的性质、定理等原理的引导和启发，为学生出示相应的题目解决思路，然后通过小组合作或者自主探究的形式培养其分析问题、全面思考的能力.对于有些定理或者解题模型，学生自行发现才可掌握得更牢固，在运用时也能得心应手.这就要求教师将其带入到结论、性质、推论的验证过程，利用设置主题讨论问题的方式，使每名学生都能够感受到自己之于这一学习小组的价值[4].而在这个过程中，教师要做好引导者的角色，参与学生的讨论中，感受其在问题分析过程中所遇到的困难.此时，教师不要急于给出具体的答案，而是要注重引导，利用学生已经学过的知识，建立起题目条件和理论间的联系，从而保证课程推进的效果.解析几何这部分内容要求学生具备较强的逻辑思维能力，而学生更喜欢利用直观的物象说明和记忆某个定理，这就要求教师要有意识地运用信息技术，将作图过程以动态演绎的形式呈现在学生眼前，这样更为直观，也便于加深学生对变量以及不变的量的理解，这样自然有助于学生在感官思维的辅助下逐渐生成抽象认知，以题目为介质，建立起模型，从而提升其核心素养的水平.

以点到直线的距离这一部分内容的讲解过程为例.通过问题情境导入这部分知识，给出题目：在平行四边形ABCD中，已知顶点的坐标为A（-1，3），B（3，-2），C（6，-1），D（2，4），求该平行四边形的面积.结合这一情境，学生对于平行四边形的知识较为了解，此时可通过问题的设置来梳理思路：要想求出面积要知道哪些量？这些量应当如何求出？点到其中一边的距离应当怎么求解？教师以问题链构建思维链，使学生能够加入到自主探究中，有助于培养其逻辑思维，践行核心素养渗透的目标[5].接着，教师给出题目：已知直线AB：5x+4y-7=0，现有一点D（2，4），求其到直线的距离.解答过程不设限，学生可自由发挥，使用自己较为熟悉和能够灵活运用的方法.有些学生应用定义法：其通过作垂线的方式，求出对应的垂线方程，从而将两个方程联立进而得到垂足坐标，运用两点间距离公式说明垂线段的长度.有的学生应用构造法：在点D处作一条平行于x轴的直线和一条平行于y轴的直线，可以发现两条直线分别与原直线交于点M，N，可易求出相应的坐标，根据两点的坐标求出三角形△DMN的三边长，进而应用面积相等的办法解得高的长度.还有的学生利用三角法：其在点D处作垂线，与直线AB垂直，垂足为H，而后取一点N，连接DN，使得|DH|=|DN|cos θ，向量的模即为距离，从而利用向量的数量积解出相应的数值.在完成后，教师提出讨论问题：同学们所演示的解题方法哪一种最为简便？可否总结出点到直线距离求解的一般性办法？以此引导学生自行构建由特殊到一般的解题模型d=|Ax0+By0+C|A2+B2，体现出对总结归纳、模型构建等思维能力的培养.

（四）探究课程培养运算能力

运算能力是高中数学核心素养的基本构成之一，是指运用有关运算的知识进行运算、推理求得问题结果的能力.培养高中生的运算能力对于提升其解决解析几何学习效果有着重要的作用.教師要转变灌输式教学思维，以课堂为互动教学平台引导学生对问题进行探究，使其在师生对话、生生对话的过程中探究问题内涵、探索问题解决流程、探寻问题最终结果，实现对其综合运算能力的培养.教师要将任务教学法、项目教学法融合到探究教学中，在讲解完基础的数学知识后引入具体的探究任务，将课堂归还给学生，让其独立思考问题条件，并应用之前所学知识总结解决问题的规律，促进其问题思维的生成.其间，教师要结合课堂反馈情况适时提出问题，启发学生的解题思路，使其在计算过程中抓住问题的本质，以简略、直接的方式得出运算答案.

以圆与圆的位置关系这一部分的运算教学为例，教师使用多媒体课件出示探究任务：已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.在学生进行任务讨论之前，教师做出一点提示，引导其进行思考：（1）圆C1与圆C2的位置关系是怎样确定的？它们有几个公共点？（2）它们的方程所组成的方程组有几组实数解？（3）如果要借助图形，判断两圆的位置关系的根据是什么？在关键点提示的引导作用下，学生回顾本课所学的判断两圆外离、外切、相交、内切、内含的代数方法和几何方法：（1）代数方法.根据方程组x2+y2+D1x+E1y+F1=0，x2+y2+D2x+E2y+F2=0的解推理两圆的位置关系.如果方程组有两组不相同的实数解，则证明两圆相交;如果方程组有两组相同实数解，则证明两圆相切（内切或外切）;如果方程组无实数解，则证明两圆相离（内含或外离）.（2）几何方法.假设两圆的圆心距为d，半径分别为r1，r2.如果d>r1+r2，圆C1与圆C2相离;如果d=r1+r2，圆C1与圆C2外切;如果|r1-r2|

（五）习题课程内化数形结合

习题课不仅仅是对之前所学知识的检验，更是发现学生不足之处和思维桎梏的有力证明，此时教师要遵循习题课的设计原则，从双基的角度出发，锻炼其运算能力，并以小组汇报的形式说明在题目解答的过程中使用的方式方法，从而完成阐释题目的分析解决过程，提升学生的主体地位.教师切勿代替学生思考，为其预留思考的时间，使其能够在轻松和谐的氛围中展开学习.题目的讲解要确保讲练结合，精讲为主，不可大量设置习题，会步入题海战术的后尘，很容易被学生所厌烦.解析几何的题目基本上都需要画出大致的图形，而给出图形后往往有一定的思路，这说明教师要注重引入数形结合的思想，设计较为开放的问题[6].

题目：已知两点A，B是圆O：x2+y2=1与x轴的交点，现有一点P在圆上，与A，B两点不重合，现有一条直线l，其方程是x=3，其与直线AP交于点M，与直线BP交于点N，证明：以MN为直径的圆必过定点，求此定点的坐标.此题的设计是为了保证数形结合思想的内化，充分借助定点问题的求解方法的整理而提升学生的核心素养水平，进而提升其问题的处理能力.具体讲解过程如下：询问学生：曲线过定点是什么含义？运动的点可以依靠坐标表示，那么运动的圆、直线等可以用什么要素来说明呢？如果想要求出定点关键在于什么？此时学生进入到问题的探究中，对于变动曲线方程的求解和定点之间的关系有了更深层次的认识.此时教师要充分利用信息技术，展示不同圆心坐标和半径下圆的轨迹变化图示，以此将图形与代数信息相结合.教师提出问题后，可设置小组探究活动，让学生说明通过何种方式求出定点的坐标.同学们一般想到的是设点和引入参数直线的斜率.对于引入参数直线斜率的解题过程而言，学生首先要设定直线的斜率为k，结合题目中的已知条件可以得出对应的直线AP的方程，然后根据圆的几何性质，结合教师所给出的标准图形特征，看出直线间相互垂直，进而能够表示出直线BP的斜率-1k，利用点斜式也能够求出直线的方程.之后令x=3，解出M，N对应的坐标，应用圆的直径端点式，求出圆的方程，借助恒成立的理论得到定点坐标.设点的小组的解决过程是：将点P的坐标设置为参数，然后按照与设斜率的解题过程向下捋顺.还可以通过设圆的直径端点坐标M（3，m），N（3，n），借助直径式方程求得圆的方程，进而结合几何性质，表示出参数m，n之间的关系，消去其中一个参数后，求出仅涵盖其中一个参数的结果.

四、结束语

綜上所述，在高中阶段，学生的个人思维和能力发展仍处于上升阶段，要求教师能够结合课程的基本内容，看到其对于核心素养渗透的价值，从而精准设置教学计划.对于解析几何课程而言，需要学生具备问题解决、难点分析的能力，可实现数学式与图形之间的转换，因此，教师要从渗透核心素养的角度设计概念课、方法课和习题课，以此达成教学的目标.

【参考文献】

[1]徐德明.高中解析几何知识中数学思想方法的教学策略研究[D].哈尔滨：哈尔滨师范大学，2019.

[2]雷雪梦.基于“四基”的高中平面解析几何教学设计研究[D].重庆：重庆师范大学，2019.

[3]宋欣然.新课标下高中平面解析几何教学策略研究[D].延吉：延边大学，2019.

[4]陈娜娜.基于高中数学核心素养的教学策略研究：以解析几何为例[D].武汉：华中师范大学，2019.

[5]高建平.折纸在高中几何教学中的应用[D].苏州：苏州大学，2018.

[6]陈天宇.高二学生数学信念研究[D].南京：南京师范大学，2018.51956521-FE04-4673-8EA3-369F4F68DA83