消元法解题初探

山东省平原一中 (253100) 张传民

消元法是指将关系式中的若干个元素，通过有限次的变换消去其中的某些元素，从而使问题获得解决的一种解题方法.消元的目的是减少变量的个数，简化形式，便于计算.消元法在函数、导数、不等式、解析几何、向量、三角函数等知识中经常用到.消元法与其说是一种解题方法解题技巧不如说是一种思想方法更确切些.在中学阶段常用的消元方法有：代入消元、加减消元、整体消元、同构消元、常数消元等.

1.代入消元法

2.加减消元法

例3 已知cosA=cosxsinC,cosB=sinxsinC，求sin2A+sin2B+sin2C的值.

3.整体消元法

例5 已知a,b,c均为正数，且ab=1，a2+b2+c2=4，求ab+bc+ca的最大值.

4.构造消元法

例6 若实数m,n,l满足m-n=8，mn+l2+16=0,求证：m+n+l=0.

证明：将已知条件转化为m+(-n)=8,m·(-n)=l2+16,故m,-n是一元二次方程x2-8x+l2+16=0的两根.所以△=(-8)2-4(l2+16)=-4l2≥0.从而只能是l=0,△=0,所以方程有两个相等的实根，即m=-n.因此m+n+l=0.

图1

5.常数消元法

6.换元消元法

7.主元消元法

8.齐次消元法

例11 若不等式x2-2y2≤cx(y-x)对任意满足x>y>0的实数x,y恒成立，求实数c的最大值.