构造几何图形巧解最值问题

江苏省兴化市楚水实验学校 (225775) 袁小强

从古至今，不管是西方还是东方，都擅长用几何图形来说明或证明数学问题，例如欧几里得的《几何原本》，赵爽的《周髀算经》等，也都可以看做无字证明，由于高中数学代数研究已相当成熟，从而忽视了平面几何法研究数学问题，其实构造几何图形也是一种重要的解题策略，本文就举例说明运用构造几何图形巧解最值问题的方法和思路.

一、向量问题

图1

二、三角问题

图2

图3

图4

三、解几问题

例3 已知A(0,1)，B(3,2)，点P为x轴上一个动点，求PA+2PB的最小值.

图5

评注：要求PA+2PB的最小值，联想到构造PD=2PB，化归为求PA+PD常见题型，于是利用图形构造相似比为2的两个相似三角形，得到点D都在DF上，从而转化为点到直线的距离最小.

四、函数问题

图6

图7