指向理解的数学概念教学

福建省上杭一中 (364200) 林金海

数学概念是数学知识的“细胞”，思维教学必须回到概念.它对培养学生数学能力、理性思维和创新能力至关重要，也是提升学生数学素养的必要条件.但在实践中发现，不少教师对数学概念教学过于强化其机械性记忆及性质的程式化操练.这样的做法既让教学错失了“使学习者体验探究一个数学对象的基本过程”的好机会，也浪费了一个发展学生“四基”、提高“四能”、形成“三会”的好素材.学生对概念理解的深度源于教师对教学理解的厚度.教师基于学生深度解读知识理解数学概念的本质，是提高概念教学效果的重要路径.前不久举行的市级优质课比赛中，笔者有幸担任评委，聆听选手教学之后，对数学概念教学多了几分思考.

一、教学片断摘要

环节一：引入概念

问题1：初中数学怎样定义角？

学生思考、回答后教师点评：一是从图形形状静态定义；二是从射线绕端点旋转动态定义，但旋转大小不超过3600.

问题2：播放奥运体操冠军陈一冰的表演视频，请同学们思考“空中转体2周”能用初中所学角来描述吗？

学生思考、回答后教师指出：初中角的定义无法表述所需的角了，有必要将角的范围进行推广.

问题3：教师出示两个时钟，一个快了15分钟，另一个慢了75分钟，如何进行拔针调准？

教师请同学上台实验，并要求同学分析两个时钟在调整过程中，分针转动方向和旋转度数应怎样表述？

问题4：初中怎样用数字表示“向东走3米”与“向西走3米”？不同旋转方向的角也能这样表示吗？

问题5：怎样对任意角进行分类？

学生思考、回答后教师指出：按旋转方向进行分类，用正、负数值表示其数量.

环节二：平面直角坐标系下角的研究

问题6：初中研究三角函数是把角放在哪个图形中？(直角三角形)

问题7：任意角能放在直角三角形吗？该放在哪里才能更好地研究任意角呢？为什么？

问题8：怎样将角放在平面直角坐标系？

问题9：数轴上的点与实数有怎样的对应关系？任意角的终边与平面直角坐标系的象限有对应关系吗？

问题10：任意角还能进行怎样的分类？

学生思考、回答后教师指出：可按终边所在位置分，今后研究角通常都放在平面直角坐标系内.

环节三：终边相同角的集合表示

问题11：在平面直角坐标系内画出下列角，并把终边相同的角进行分类：0°，45°，90°，360°，405°，720°，765°，810°.

问题12：还可以再写几个终边与90°相同的角吗？它们之间有什么关系？

问题13：终边与90°相同的角(连同90°角在内)可以怎样表示？能用集合表示吗？

问题14：会用集合表示终边与45°相同的所有角吗？

问题15：会用集合表示终边与α相同的所有角吗？

环节四：巩固概念

问题16：判断下列说法是否正确

(1)0°～90°的角是锐角；

(2)第一象限的角是锐角；

(3)小于90°的角是锐角；

(4)小于90°的角终边在第一象限；

以下过程省略.

二、基于上例概念教学过程的若干思考

1、创设情境引入，力求自然而然

概念的引入是概念形成的基础，每个概念的产生都有丰富的知识背景，形成准确概念的首要条件是让学生获得十分丰富和合乎实际的感性材料.而教材表达的概念一般做了“去情境化”的处理，只剩下抽象的符号和专业的术语.因此，概念教学要基于学生认知，根据概念特点，借助与新概念有明显联系、直观性强的事例或已有的相关概念，让学生在观察、分析熟悉的现实问题中丰富感性认识，发现知识的生长点，才能从中抽象出数学模型，为学生形成数学概念作好的铺垫.本课通过播放体操运动员表演视频和调整时钟实验，让学生自然接受“为什么要拓展初中0°-360°角的范围？”“为什么要引入正角和负角？”“为什么要学习终边相同的角？”等，使之明白数学概念的由来，体会数学概念引进的必要性和必然性，全过程做到“无痕迹、非勉强”.只有学生内心觉得学习这些新知识、新概念是有必要的，他们才会敞开心扉，乐于探究，主动学习，内化新知识才有可能.

2、探究概念形成，不可惜时惜力

问题是思维的载体,以问题驱动学生去探索和发现是习得知识的好方法.概念教学要慢化概念的形成过程，通过合理地设计问题序列，让学生思维进入一种让知识“重现”向“重演”转变的状态，引领学生发现数学概念形成的轨迹，是帮助学生自主探究，促进学生深度学习的重要手段.本课从学生熟悉的现实问题中提出问题，让学生发现初中角的定义存在局限，激发他们对角的定义进行扩充的欲望，从而获得任意角的概念；在探究平面直角坐标系下研究角的方法中，发现角的终边重复出现的特点后，对任意角进行了二次分类；再由特殊到一般，在解决问题的过程中慢慢领悟终边相同角之间的内在联系，最终获得终边相同角的概念和象限角的表示方法.在各环节的落实上，由浅入深地设置了恰时恰点的问题，逐层渐进地将学生引导到本节知识的核心内容.在经历问题解决的“数学化”的过程中,为新概念的出台扫清障碍，在探究概念形成的过程中，积累基本数学活动经验，提高知识学习的探究能力，也促进了对新概念的清晰理解.

3、诠释概念本质，需要不折不扣

数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是“数学素养”的源泉.概念教学要注重概念获得过程中数学思想和方法的渗透，才能真正达成对概念本质的内化，这才是概念生成的核心.本课类比初中正、负数的引入，时钟调整实验，从数学角度去定义任意角的概念并进行分类；类比数轴上的点与实数的对应关系，把任意角放置在平面直角坐标系，将任意角的“数”量表示转换为“形”，让学生理解象限角定义的思想，渗透了标准化、简单化、对应等思想.最终将角的讨论归结为终边位置的问题，从而让问题得到简化；在终边相同角的集合表示中，先让学生自己画角，从特殊到一般，充分揭示角的终边旋转的“周而复始”性，在慢慢领悟终边相同角之间的内在联系中归纳出概念及表示法.终边周而复始的变化规律也就是终边相同角的概念的本质，也体现了三角函数的周期性.整个教学过程中，周而复始是根，类比化归是本，数形结合是魂.蕴含在概念中的数学思想方法，要不折不扣地渗透和提炼,才能实现概念的教育价值，提升概念教学的高度.

4、拓展概念宽度，不能就事论事

数学中很多概念都有相似性或共同点，因此，在概念形成之后，教师不可因时空限制就嘎然而止，要把所学新概念与已有概念进行对比延拓，把相关概念串联成线，构建概念网络，让所学知识排列有序，从而深化数学的认知结构.即可通过设计“貌似神非”的案例来校正，也可巧设问题链，在对相关问题的辨析中，体验一个自我完善的过程，达到对数学概念的真正理解.本课在终边相同角的概念得出之后，设置了一组辨析题，让学生对锐角、0°～90°的角、第一象限角等相关概念的理解更加清晰，降低了记忆的难度，拓宽知识面和视野，更好地构建学科概念体系，还能唤醒学生的悟性和灵感，有效提升利用概念解题的能力，让概念教学更具有生命力.

数学概念对数学学习起到统领和主导作用，如何提升概念教学的有效性，是每位数学教师必须深思的问题.笔者认为，概念教学设计中以数学概念的抽象过程为载体的学生认知过程分析不可缺少，以数学对象本质属性的揭示过程为载体的思维探究活动也不可缺乏.要在乎知识的关联与结构，在意数学思想的渗透与揭示，在心学生的进步与发展，才能在概念教学中发展思维、增长能力、进而形成数学素养.