把握结构特征 联想公式应用

江苏省溧水高级中学 (211200) 丁称兴

数学是一门充满联系的学科，我们应该抓住一切可能的联系进行联想与转化.引导学生学会联想和等价转化是提高解题能力和认识数学思维特征的重要方法.联想的前提是观察结构形式，把握结构特征，观察是指有目的、有计划、较持久的知觉过程，观察具有目的性、客观性、敏锐性、精细性和全面性.解题分析起步于对问题的有效感知与观察，只要善于变换角度，仔细观察，抓住结构特征，联想大脑里已存在的知识与技能信息，才能较快地形成解题方案.

一、联想直线的斜率公式

函数中的有些恒成立或有解问题若直接解决，思维难度较大，此时应注意观察、联想并及时调整解题思路，特别是要将题中所给出的已知条件中的一些特殊结构与所学内容(公式、法则等)建立联系，借助已有知识，进行合理转化，则可另辟蹊径.

图1 图2

图3

A、{2,3} B、{2,3,4} C、{3,4} D、{3,4,5}

评析：上述两题成功解决的关键是利用所给条件式与斜率式的关系进行等价转化，试题的解决很好的体现了“数形结合思想”在数学解题中的应用.解题时，要善于打破定势思维，善于进行“结构”联想，善于应用公式进行解题.

二、联想点到直线的距离公式

图5

例4 若对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y)，|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x,y无关，则实数a的取值范围为( ).

A、(-∞,-4] B、[-4,6]

C、(-∞,-4]∪[6,+∞) D、[6,+∞)

评析：根据所求表达式中出现的含有x,y的二元一次的线性关系且在绝对值内，此时联想点到直线的距离公式，结合点到直线的距离公式的几何意义，利用图形直观确定两条平行直线在圆的两侧，进而利用点到直线的距离公式建立相应的不等式，得以确定参数的取值范围.

三、联想两点间距离公式

例6 已知实数m,n,p,q满足：

评析：例5，例6的形式简洁，独具匠心，较好地考查了学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力.例6中有4个不同的参数，解决的难点在于找到问题的本质——动点分别在定直线和定圆上运动，则问题转化为直线上的点和圆上的点之间距离的最小值问题，从而可以快速地得出问题的答案.可见，在平常的解题中要注重并善于去寻找数学问题的本质，积极展开联想，进行问题等价转化.

四、联想导数的求导法则

解决导数问题时，常会碰到题设条件中具有“导数运算法则结构特征”的函数问题，由于此类问题考查的对象一般都是抽象函数，而且考查的角度相对隐蔽，一些学生无所适从，望题兴叹.然而数学解题过程的实质就是一个从未知到已知的转化与化归过程，依靠“结构特征”进行有效联想来指导解题，调整思路，实现突破，这是走向成功的一个重要途径，解决具有“导数运算法则结构特征”条件函数问题的关键就在于此.

评析：若问题中的条件具有或可转化为形如f′(x)g(x)+f(x)g′(x)的“和式”结构特征，则可通过构造新函数：F(x)=f(x)·g(x)，从而使问题得以解决.

例8 对任意的x∈R，函数f(x)的导数存在，若f′(x)>f(x)且a>0，则ea·f(0)与f(a)的大小关系为：ea·f(0)f(a)(用≤,≥,<,>之一填空).

六、联想同角的平方关系

图6

评析：同角的平方关系：sin2α+cos2α=1，其结构特征为：平方和为定值1.由于圆与椭圆的标准方程的结构也是“平方和”的形式，为此涉及圆、椭圆上的点的坐标可以进行“三角换元”.上面的两题除了三角换元外，还可以选择数形结合，这两种方法各有千秋，三角换元法需要对换元之后的式子再次变形，挖掘几何意义或进行三角恒等变换后利用三角函数的性质求解.