导数视角下双变量问题的多角度处理方法

浙江省杭州学军中学海创园校区 (311121) 陶勇胜

在近些年高考压轴题中，以导数为背景的双变量问题一直是导数题中的热点和难点[1].这一类问题因含两个变量，其解法众多且技巧性强，常以压轴题形式出现，对学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养有较高的要求.本文从一道2021年全国高考题说起，对导数视角下双变量问题进行多角度探究，以期优化解决此类问题的思维策略.

一、构造函数角度

证明：(1)f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，过程略.

下面证明：2

证法1：(利用对称，构造函数)令F(x)=f(1+x)-f(1-x)，其中00，所以F(x)在(0，1)上单调递增，因此F(x)>F(0)=0，从而f(1+x)>f(1-x).令x=1-x1，代入不等式f(1+x)>f(1-x)中，得到f(2-x1)>f(x1)，即f(2-x1)>f(x2)，又因为f(x)在(1，+∞)上单调递减且x2>1，2-x1>1，所以x2>2-x1，即x1+x2>2.

评注：证明不等式x1+x22的过程有较大不同，原因是函数g(x)=x2-2xlnx在(0，+∞)上有单调性，而函数h(x)=x2-exlnx在(0，+∞)上不是单调函数，因此，利用函数的单调性无法直接证明h(x2)f(x)，当1

二、数形结合角度

“数少形时少直觉，形少数时难入微”，数形结合是解决函数及导数问题的重要思想方法，下面从数形结合角度谈谈处理双变量不等式问题.

1.以直代曲

图1

图2

评注：2015年天津理科卷第15题用双切线代替曲线[1]及2021年全国新高考Ⅰ卷第22题(例1)用切线、割线代替曲线[5]证明双变量不等式，说明以直代曲的方法是处理双变量问题的有效方法之一.

2.以曲代曲

这是一道双变量不等式证明的经典题，可以通过齐次化、比值代换、比差代换、增量法[2]-[5]等方法求解，下面从数形结合角度，以曲代曲的方法进行探究：

图3

图4

三、不等式放缩角度

例5 题目同例1.

(Ⅰ)不等式x1+x2>2的证明.

(Ⅱ)不等式x1+x2

证法2：因为00，得到f(x1)=x1-x1lnx1>x1.所以x1+x20，所以G(x)在(1，e)上单调递增，从而G(x)

分析：(1)略；(2)本题是以导数为背景的双变量不等式问题，涉及函数、不等式和导数等众多知识，看似变量较多，实质是极值点偏移问题.欲证不等式2(x2-x1)>x5-x3，采用分析法，将目标进行等价变形，即要证明2x2-2x1>(x5+x4)-(x3+x4)，只要证明x3+x4>2x1，x4+x5<2x2即可.

四、主元角度

数学解题中，有些题目按常规解法较难，若更换观察角度，一动一静，主客换位思考，往往有“出奇制胜”的效果.

五、结束语

双变量不等式的证明是考查导数部分内容的一个重要抓手，导数与不等式等知识综合对学生的思维能力有很高的要求，深刻考查学生的综合能力和核心素养，通常以压轴题出现，因此，导数及其应用的处理应重视直观，数形结合，突出本质，关注过程，归纳通性通法，这就要求教师精选例题、习题，通过对典型例题进行多角度探究和适当变式，让学生深刻领悟问题的本质，掌握解决问题的一般方法和规律，体会其中蕴含的数学思想.