圆锥曲线的一个奇妙性质

江西省抚州一中 (344000) 邹小皓

笔者在编拟试题时，发现圆锥曲线一个奇妙的性质．

图1

①-②得(λ-μ)(b2x02+a2y02-a2b2)=0，又由于点P(x0,y0)不在椭圆上，故b2x02+a2y02-a2b2≠0，因而有λ=μ，从而有AB∥CD．

当y0=0时，结论显然成立．

证明方法与定理1类似，从略．

证明方法与定理1类似，从略．

以上三个定理可以统一表述为:

定理4 已知点P与圆锥曲线Γ，且点P不在Γ上.当点P在Γ的内部(含焦点的区域)时，设以P为中点的弦的倾斜角为θ，以θ为倾斜角作一直线(不过P点)交Γ于A,B两个不同点，连AP交Γ于另一点C，连BP交Γ于另一点D，则AB∥CD；当点P在Γ的外部时，设过P可以作Γ的两条切线，过两切点的直线(切点弦)的倾斜角为θ，以θ为倾斜角作一直线(不过P点)交Γ于A,B两个不同点，连AP交Γ于另一点C，连BP交Γ于另一点D，则AB∥CD．