厘清概念逻辑 注重思维可视 凸显内在关联

郭源源

摘    要：初中数学更加注重知识的整体性和一致性，需要由点串线、由线铺面，形成知识的结构和体系，这就要求学生必须深入理解数学概念.而重逻辑、重思维、重关联的概念教学，虽是提升学生数学理解的有效途径，却受制于学生的知识水平以及思维能力.因此，教师必须对不同学段的课标、不同版本的教材进行对比，紧扣相同课程领域内不同知识之间的逻辑关系和层级关系，以及知识结构之间的实质性联系，从关联知识、关联方法、关联经验、关联思维等视角，通过逐级升阶的问题串，引导学生去理解概念，达成概念的内化.

关键词：初中数学;概念教学;知识关联;思维可视.

数学概念是数学思维的奠基石，是反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式，是形成数学知识结构体系的基本要素，其中蕴含着丰富的教育素材.李邦河院士说：“数学玩的是概念，而不是纯粹的技巧.”在概念教学中，教师要注重梳理概念的来龙去脉，以便让学生不仅能掌握概念的表征，还能理解概念的生成过程和应用形式，既获得知识宽度，又习得思维深度，避免所谓的“概念不牢，地动山摇”现象.就概念而言，越是基础性的概念，其统摄性就越强，应用范围也越广，学生从中领悟到的数学就越本质.但在实际教学中，概念课往往比较沉闷，教师讲得乏味，学生学得无趣，追求“记得就行”.因此，如何顺应学生的认知基础，贴合学段的思维特点，实现目标的高效达成，是教师设计概念课时需要思考和关注的问题.以下是笔者对人教版义务教育教科书《数学》七年级上册“直线、射线、线段”概念课的思考和设计，供同行参考、交流.

一、对比分析

（一）课标学段对比分析

关于这三种线的认识，初中学生在小学阶段已经有了一定的认知基础.

在第二学段（4～6年级），《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“《课程标准》”）对这部分知识的要求是：“（1）结合实例了解直线、射线、线段;（2）体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离.”

在第三学段（7～9年级），《课程标准》的要求是：“（1）会比较线段的长短，理解线段的和、差以及线段中点的意义;（2）掌握基本事实：两点确定一条直线;（3）掌握基本事实：两点之间线段最短;（4）理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离.”

将这两种要求进行对比，可发现两个学段的知识呈现看似重复，目标要求却是螺旋上升的.小学学段的思维特点以感性认识为主，只需能从具体例子中认识线段、射线、直线，知道它们的表示方法，结合图形能说出它们各自在端点、延伸性、度量方面的特点，要求只停留在直观经验层次.而初中阶段要求从“了解、知道”上升到“理解、掌握”，从感性到理性，从具体到抽象.所以七年级该课时的目标应是概念属性深化的教学[1].

（二）不同教材对比分析

为了更好地设计教学，厘清知识点之间的逻辑关系，笔者对人教版、苏科版、北师大版教材作了对比研究.“直线、射线、线段”是后续复杂几何图形的基础，是初中几何的入门，所以各版本教材都排在了七年级上册，且内容都涵盖“三线的表示方法、两个基本事实、线段大小和中点”等，但在内容的编排顺序、表述方法、知识关联上存在着一定的差异，见表1.这是对比研究的重点，教师可从这些差异点上深入理解教学内容，突破教学难点.

从表1可以看出，三版教材各有特点：人教版从“直线”开始，研究直线是继而研究射线和线段的前提;苏科版从“两点之间线段最短”开始，从学生熟悉的经验出发，将这节课的内容进行联系和拓展;北师大版延续了小学的路线，从生活中的例子入手，三线并列呈现，注重概念之间的比较.

二、问题思考

在以上对比中，笔者发现该节内容中的概念特别烦琐，知识关联路线不明显.此外，在实际教学中，大多数教师的教学设计也出入较大.因此，笔者针对这些问题，结合初中的目标定位作了如下几点思考.

（一）教学重点是什么

对于小学有过经验的知识板块，初中教师在教学时，不仅要对初中内容进行全面的解读，也要对小学的已有知识有一定的了解，这样才能更加精准地定位教学的重难点.有的教师将该课时的重点放在了直线、射线、线段的区别上，从端点、延伸性、度量情况去梳理各自的特点，或者将重点放在表示方法上.这些内容人教版、苏科版、北师大版在小学四年级都已全部编排过，初中教学的重点不应是纯粹的回忆和重复.根据小学重直观、重实例、重形象，初中重操作、重探究、重推理的课标解读，笔者认为该课时的重点应放在挖掘其内在的“理”，以实现对三线的再认识上，具体包括：（1）对表示方法中用两个大写字母的再认识;（2）对“确定”一词的再认识;（3）对三线关系的再认识;（4）对几何概念课研究方法的再认识.

（二）逻辑节点在哪里

小学的三线学习都是基于直观，没有逻辑关系，更多的是一种识记层面上的学习，所以它们的顺序也就无足轻重.但是初中几何是重推理的，该块知识与前者最大的不同在于抽象出了一条基本事实“两点确定一条直线”.而有了这条基本事实，就使得直线用两个大写字母表示有了一定的逻辑基础.这涉及对“点在直线上”的认识：从“点”的类型来看，研究点与直线的位置关系就有了逻辑基础;从“直线”的整体来看，直线可以被点分割成几个部分，于是产生了直线的下属概念——射线、线段，使研究射线和线段有了逻辑基础，其表示方法也是基于直线的决定要素.教师只有掌握了这样的逻辑体系，才能对三线的概念有更精准、更深刻的理解，教学设计的线路才会更清晰.

（三）知识关联有何用

《课程标准》指出：“數学知识的教学，要注重知识的生长点和延伸点，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系.”由此可知，初中数学更加注重知识的整体性和一致性，需要由点串线、由线铺面，形成知识的结构和体系.再看直线、射线、线段的内容：从纵向看，是与小学已有认知经验的上下关联;从横向看，是与后续几何概念的左右关联.向上关联，寻根溯源;向下关联，不断深化.如此左顾右盼，建构体系，最终就可形成逻辑连贯、一以贯之的概念教学套路.笔者认为对于概念教学，教师应有更高的立意，要紧扣相同课程领域内不同知识之间的逻辑关系和层级关系，以及知识结构之间的实质性联系，从关联知识、关联方法、关联经验、关联思维等视角去理解概念.

三、教学设计

基于三版教材的对比分析，结合上述的问题思考，笔者经适当的顺序调整，巧设追问，形成了这节课的教学设计.

（一）回顾旧知，关联经验

问题1   观察直线、射线、线段图形（图略），将它们分类并说说特征.

[师生活动]学生按直线、射线、线段将各图形分类，并回顾各图形在端点、延伸性、度量方面的特征.

追问：这些图形在小学都学过，同学们试着结合上一章对点、线、面的认识，谈谈初中几何图形的学习需要研究哪些问题？

[师生活动]回顾上一章，学生说出：点动成线，线可以看成由无数个点组成.教师逐步引导，使学生提出问题：研究点与点、点与线、线与线的关系.然后基于问题，引出课题——再探“直线、射线、线段”.

设计意图：基于小学的图形特征设计问题，让学生在回顾旧知的基础上，顺利地结合上一章的认知经验，提出新的研究问题——“用点刻画线”，明确这节课的研究方向.

（二）注重对比，关联思维

问题2   点是构成图形的最基本元素，直线可以看成由无数个点组成的图形，所以要得到一条直线的位置，理论上需要知道这无数个点的位置.同学们想想，能简化决定直线的点的个数吗？在学习单上画画看.

追问1：过一个点画直线，能画多少条？过两个点画直线，能画多少条？同时过三个点（学习单上的三点不共线）画直线，能画多少条？

[师生活动]学生在学习单上过一个点画出无数条直线，过两个点画出一条直线，同时过三个点（三点不共线）无法画出直线.

追问2：“过两个点画直线”相比“同时过三点画直线”有何不同？

追问3：“过两个点画直线”相比“过一点画直线”又有何不同？

追问4：结合上述活动，说说你的发现.

[师生活动]学生在追问2的对比中得到“有”和“没有”的不同，体现存在性.在追问3的对比中得到“只有一条”和“有无数条”的不同，体现唯一性.在追问4中兼顾“两个不同”的特征，提炼出：经过两点“有且只有一条”直线的基本事实，并用“确定”一词简述成句.

追问5：生活中有哪些实例可以用这条基本事实来解释呢？

[师生活动]学生举出可用这条基本事实解释的生活实例.

设计意图：先让学生操作画图，变抽象为形象，便于学生理解相关知识.然后让学生借助不同情形的比对，挖掘“确定”一词的内涵，凸显“有”和“只有一条”的特征.这样就同时体现了存在性和唯一性，能顺利引导学生突破知识难点，并为后面学习表示方法打下逻辑基础.

（三）逻辑可视，关联概念

问题3   小学学过直线的表示方法，如直线AB，你知道为什么用两个大写字母表示直线吗？

[师生活动]教师引导学生用“两点确定一条直线”解释，使其对表示方法的认识从识记层次上升到理解层次.

追问1：对于直线AB，从“点”看，点除了在直线上，还有别的情形嗎？自主探究点与直线的位置关系.

追问2：对于直线AB，从“线”看，直线被A、B两点分割成了几个部分，这样又产生了哪些图形？

追问3：借助直线的经验，说说决定射线、线段的条件是什么？怎样用字母表示它们？为什么这样表示？

追问4：如何认识射线、线段与直线的关系？

[师生活动]对追问1，学生探究点与直线的两种位置关系，并在教师的引导下学会用语言准确表述这种关系.对追问2，学生从直线分割的角度理解射线、线段，并给出它们的定义.对追问3和追问4，教师引导学生分析梳理、关联比较，形成新的认识.

设计意图：从直线的基本事实出发，着眼“点”和“线”两个维度分析，分别指向点线位置关系和三线从属关系的研究.整个环节都是基于逻辑和直观设计的，教师要引导学生建立概念体系，并最终完成对三线的再认识.

（四）问题辨析，关联方法

例1   已知直线l上有A、B、C三个点（图略）.

（1）判断下列说法是否正确：①线段AB与线段AC是同一条线段;②射线AC与射线BC是同一条射线;③射线BA与射线BC是同一条射线;④射线AB与射线AC是同一条射线;⑤线段AB与射线AB都是直线AB的一部分.

（2）图中线段有几条？射线有几条？直线有几条？

例2   画图与识图.

（1）按要求画图：直线l经过A、B两点，点D不在直线l上，经过点D的直线a与直线l相交于点C，作线段AD和射线DB（图略）.

（2）写出图中能表示的直线、射线、线段，并用适当的语句表述图中点与直线、射线、线段的位置关系.

设计意图：例1是通过对图形“同一条”的理解，凸显直线、射线、线段的决定条件，强化对概念表示方法和彼此关联的理解.例2的读句画图和识图说句，分别从两个方向训练学生几何文字语言、符号语言、图形语言之间的转化能力，目的是提升学生数学语言的准确性和规范性.

（五）基于概念，关联认识

问题4   生活中除了有“直”的线，还有“弯”的线.如图1所示，从A地到B地有3条路，走哪一条路较近？

追问1：从A地到B地能否修一条最短的路？如果能，在图中画出最短路线.

追问2：从A地到B地有几条这样的最短路线，为什么？

追问3：结合上述活动，说说你的发现.

[师生活动]对追问1，学生画出最短路线——线段AB.对追问2，学生思考“最短路线只有一条”的背后道理，并在教师引导下说出理由：因为两点确定一条直线，直线唯一，所以两点之间的部分就唯一，即线段AB唯一.对追问3，学生结合生活经验，提炼出基本事实：两点之间线段最短.

设计意图：将此条基本事实后置，理由有三.首先，它与前面三线的概念、表示方法等主要内容关联不大.其次，它必须基于“两点确定一条直线”的逻辑展开，因为若不能解释两点间线段唯一的问题，何来线段“最短”一词？所以追问2对学生厘清逻辑关系、理解基本事实是有帮助的.最后，此条基本事实涉及线的大小比较，放在最后，为下一课时的研究，既作铺垫，也指方向.

（六）反思小结，关联方向

问题5   学习了这节课之后，同学们注意思考下列问题.

（1）这节课你收获了哪些知识？经历了怎样的研究路径？感悟了哪些思想方法？

（2）在后续的学习中，你还想继续研究什么内容？你要如何研究？

设计意图：从知识内容、研究路径、思想方法三个层面对这节课进行总结，让学生不仅能够关注到三线知识，还能体会到几何的研究路径，并能初步感悟到一些常用的数学思想方法.在此基础上，让学生展望后续的学习，并从知识关联、方法关联、路径关联等方面为后面的图形学习提供路线，让几何学习有结构有体系.这正是几何起始课的价值所在.

四、小结

这节课是基于学生已有的认知水平设计的，从构成图形的基本元素点、线出发，研究了点和直线的种种联系，得到了确定直线的条件，并在这一逻辑基础上认识了射线和线段.第一课时总体来说以定性把握为主，展望后续的教学，需要对线段与线段的关系、射线与射线的关系、直线与直线的关系进行定量研究.第二课时中，线段与线段之间的大小比较的教学，可以将上述问题4中“把弯曲的線拉直比较大小”作为情境引入，然后过渡到叠合法和度量法的定量研究;角的概念教学可以从射线与射线的关系（组成角）引入，研究“角的定义—角的表示方法—角的大小比较与运算”，研究方法一脉相承.平行和垂直是直线与直线关系的展开，教学中研究位置关系和数量关系的转化，亦是定性到定量的体现[2].

笔者认为，重逻辑、重思维、重关联的概念教学是提升学生数学理解的有效途径.概念课的教学设计应从章节整体上把握教学内容，分析知识点之间的逻辑体系，遵从“研究什么—如何研究—为什么这样研究”的逻辑顺序.备课时，教师从全章的视角出发，厘清知识的结构和内在逻辑，这是教师备好课的前提;教学时，教师要以学生已有的认知水平为起点，明确学生学习该课知识还缺少什么，以学定教，顺学而教，并实时关注学生的思维状态，以达成思维可视，这是教师上好课的核心;反思时，教师要感悟内容学习中的通性通法，注重知识的前后贯通，思考其内在关联，并搭建知识的结构与体系，这是教师提升课的关键.

参考文献：

[1]蒋旭凯，吴增生.在理解数学的基础上整体设计教学活动——“直线、射线、线段”教学课例研究[J].中学数学教学参考（中旬），2019（6）：68-70.

[2]杨春霞.基于生长架构教学   深入落实三个理解——“线段、射线、直线”的创新设计与思考[J].中学数学（初中版），2017（7）：12-15.