复习课的应然选择：从融通到至简

摘    要：复习课既需要把书读薄，融通理解已学知识，又需要在原有基础上，让经验积累更丰厚，让数学思想领悟更深刻，即需要把书重新读厚.这就要求教师必须：立足于查漏补缺，帮助学生串点成线，复习题组要少而精;设置统一的问题情境，搭建合适的脚手架，让学生逐步解决问题;基于学生的个体差异，确定共性学习内容，营造个性化学习的环境.教师要利用好课堂生成性资源，以营造“知识融合、过程圆融、课堂交融”的学习氛围，使学习达到至简境界.

关键词：初中数学;至简数学;数学复习

融通，即融会贯通，“融”是过程，“通”是效果.从“教”的角度而言，教师需要圆融理解知识，并精心预设学习内容，从而让复杂的问题变简单、让零乱的思维成系统，达到把厚书读薄的目的.从“学”的角度而言，学生需要深度参与、积极思考、多方联系，将简单问题拓展开来，创新研究，用系统的思维解决千变万化的问题，达到把书重新读厚的目的.这种“教师的厚→学生的薄→学生的厚”，就是以融通的方法达到至简效果的过程.

至简数学主张“让学生学简单的数学，让学生简单地学数学，让学生学得不简单”[1].复习课既需要把书读薄，让学生完成对基础知识的消化吸收，又需要把书读厚，从数学思想方法的归纳、解决问题的经验等方面让学生的积累变得更丰厚.它是知识融合的主阵地.以下，笔者以人教版义务教育教科书《数学》七年级下册（以下简称“教材”）几个不同章节的复习课为例，谈谈如何为学生创设融通学习环境，以达到至简效果的实施路径.

一、融通学习内容，让学生学简单的数学

知识融通理解的程度取决于能把新知识与多少旧知识关联起来.对同一知识背景，一个人在头脑中建立的连接越多，他对这一知识的掌握就会越扎实，运用也会越熟练，并且在建立知识连接的过程中，对相关联知识的理解也会越深刻.复习课中，学生已经学习过要复习的知识与技能，也积累了许多经验，只是比较散乱，部分细节有所遗忘.因此，教师应立足于查漏补缺，帮助学生串点成线.这就要求承载复习基础知识和技能的题组要少而精.

以教材第十章“統计调查”的复习为例，教师可设计如下选择题.

小明想调查七年级学生的身高情况，他选取了七年级1班作为样本.以下认识正确的是（    ）

A.调查表中需要设计班级、学号、姓名、性别、家庭住址、身高、电话号码等项目

B.被调查的七年级1班学生是样本

C.七年级1班共60人，身高在160～165cm的学生共13人，占样本的比例约为21.7%，由此可得出其对应的扇形统计图中的圆心角度数约为78.12°

D.七年级1班身高的最大值为175cm，最小值为150cm，画频数分布直方图时，确定组距为5cm，则正好可分为5组

E.画频数分布直方图时，身高在160～165cm的学生共13人，则画出来的小长方形面积代表频数13

上述问题分别对应学生的以下认识疑点：1.如何针对需要统计的内容设计一份问卷表？2.在抽样调查的过程中，什么是总体、样本、个体（即到底是应该回答对象还是对象的属性）？3.画扇形图时如何计算圆心角的度数（样本容量设计为50、100这类数据时，计算出来的频率为有限小数，圆心角度数为有理数;但若将样本容量设计为60，仍如此计算，就会因计算出来的频率为无限小数，从而出现偏差）？4.画频数分布直方图时，如何合理设置组距与组数？5.画频数分布直方图时，对纵轴所表示含义的理解（纵轴表示的应是[频数组距]，即小矩形面积对应的才是频数，只是因为所画出的小矩形是等距的，故小矩形面积之比与高之比相同，因此往往将纵轴直接用频数表示）.

上述设计按照章节顺序复习了学生的易错点，教师在讲解点评时，可顺势串联起该章节的知识结构：统计调查的主要过程，如何收集数据，用划记法整理数据，全面调查与抽样调查的基础知识，描述数据时四种统计图各自的适用范围，扇形图、频数分布直方图的画法等.

基础知识与基本技能是浅层次的复习内容，主要是梳理结构和回顾知识要点.因此对应的例题应该既精简又全面，即通过改善教师的教，把复杂的东西讲简单，把杂乱的东西理清楚，以达到“让学生学简单的数学”的目的.

二、融通教学流程，让学生简单地学数学

至简数学主张在数学课堂教学中，聚焦一个对象、遵循一个原则、解决一个问题.学生缺乏数学学习兴趣，往往是因为教师在课堂中设置了大量毫无关联的练习，没有对学习内容形成聚焦.而学生对数学学习产生畏难情绪，则往往源自于问题的梯度设置过大，学生跳一跳仍无法达到其认知的最近发展区.教师如果能设置统一的问题情境，从一个问题出发，在已知与未知之间搭建适当的脚手架，作好铺垫，让学生逐步解决问题，就可以融通教学流程，让学生简单地学数学.

在教材的学习内容中，适合学生解决的实际问题中蕴含的数量关系，可以通过二元一次方程的整数解、二元一次方程组、一元一次方程、不等式（组）等多种途径解决.这种将实际问题数学化的过程就是数学抽象，而合理分析抽象后的数学问题、选择合适模型去解决问题的过程，就是数学建模.解法属于基本技能，既可借助数学运算素养解决，又可借助工具解决，不应该是章节复习课的重点.

基于这一认识，笔者在“二元一次方程组”的章节复习中，以某一方程组为核心，添加实际情境或数学情境，设置“一意性”的问题串，整合整章节内容.

（1）已知落地风扇200元/台，水冷风扇300元/台，小明买了若干台风扇，一共用了2000元，则两种风扇他各买了多少台？

（2）请你添加一个条件，使得小明只有唯一的购买方案，并根据你添加的条件，求出答案.

【设计意图】第一，从基础知识与基本技能层面而言，此情境素材可用于复习二元一次方程（组）的概念、二元一次方程的整数解以及解二元一次方程组的基本方法.第二，对于200x+300y=2000，应该先化简为2x+3y=20，再进行后续运算，这种化繁为简的意识正是数学运算素养的体现.第三，从数学思想方法层面而言，开放型问题更能培养学生的抽象与建模素养.这一例题，从总价的角度可得到一个等量关系，另一个等量关系则可从其他角度来设置，例如总数量、总利润等，具有很强的扩展性，但其核心是找到两个不同的等量关系，并用合适的数学语言表达出来.二元一次方程组就是将两个不同的数量关系抽象化的结果.

（3）已知[x+32y-10]与[x+y-8]互为相反数，求满足条件的x、y值.

【设计意图】这一问题是从纯数学情境的角度，抽象出方程组模型，还附带有对非负数性质的理解.此外，将原方程的系数同除200后，出现了分数，这加大了运算的技巧性.

（4）已知关于x、y的二元一次方程组[2x+3y=5m ①x+y=2m     ②]的解满足3x-2y=4，求m的值.

【设计意图】第一，此题解题方法较多，既可通过原方程组加减消去字母m，又可通过后面的条件代入消元消去x或y，还可将方程①×（-5）、方程②×13，再两式相加，直接得到3x-2y=m=4.而若将三个式子联立，就得到了三元一次方程组.但通法都是应用消元思想，只是首消的元不同而已.这可促使学生对消元思想有更深入的理解.第二，从技能训练的角度来看，可训练学生解含字母参数的二元一次方程组.而为达到训练的目的，还可将条件更改为“满足3x-2y<4”，以加强方程与不等式的联系.

（5）小明从网站上查到，某商家正在开展促销活动，落地风扇199元/台，水冷风扇299元/台，且买满200元减15元，买满300元减30元，小明仍用不超过2000元去购买风扇，则他最多可购买多少台？

【设计意图】学习数学知识的目的是为了解决问题，而不是训练解题套路.开放型问题可让学生从方程、不等式等多种不同的模型中，寻找适合的方法解决问题.此问题并不一定需要建立方程或不等式模型，使用单纯的列举法也能解决问题，但学生对多种方法的尝试正是积累建模经验的过程.

数学思想方法的感悟是在解决问题的过程中逐渐积累的，问题情境的连续性、核心问题的一致性、教学流程的圆融性可加速这一感悟过程.上述设计中的每一个问题均建立在对同一式子进行变化的基础上，每一个问题又代表不同的类别.由此，既能让学生积累更多的学习经验，又能让学生感悟解方程和列方程解决实际问题的通性通法——合理消元、巧妙建模，自然而然地将数学思想方法融入对知识的回顾与巩固之中，从而达到“让学生简单地学数学”的目的.

三、融通主体客体，让学生学得不简单

复习课除了要回顾基础知识、训练基本技能外，也需要对知识适当拓展延伸，還需要对基本数学思想和基本活动经验作适当的归纳与提升.但由于每个学生的经验基础有差异，复习课在确定共性学习内容、整体巩固提升的同时，还必须追求个性化的学习，让每个学生都能有不同的收获.个性化学习必然要求学生积极主动地参与教学，这一过程也是学生融合新老经验的过程.具体做法很多，如教师可让学生自主整理章节思维导图，自主整理笔记本、错题本，自编章节练习题，站上讲台指导其他学生复习等.但由于学生认知水平有限，高效的复习课应该是教师选定主体素材，引导学生积极参与，共同完成复习过程.

以“平面直角坐标系”的复习为例，这一章是函数模块的起始章节，知识点众多，有许多解决问题的经验在二次函数中仍然通用，若让学生自主复习，则会出现类别繁杂且思维含量不够的现象.这就可采用教师选定母题、学生补充完善的方式，师生共同复习.

母题：△AOB位于平面直角坐标系中（图略），且A、O两点的坐标分别是A（1，5），O（0，0）[2].

在实际教学中，笔者提供这一基本图形，让学生补充问题，并在学生的积极参与下，整理出以下问题.

（1）将平面直角坐标系补充完整，写出点B的坐标.

【考查要点】复习平面直角坐标系的基础概念.

（2）将△AOB先向左平移3个单位再向上平移2个单位，得到△A′O′B′，作图并写出这三点的坐标.

【考查要点】复习了“用坐标表示平移”的知识.学生甚至仿效教材第80页第10题，提出了平移[2]个单位的问题.

（3）求△AOB的面积.

【考查要点】复习平面直角坐标系内求三角形面积（母题为教材第80页第9题），主要用“补”的方法，二次函数背景下求三角形面积也常用这种方法.

（4）在x轴正半轴上找一点C，使S△AOC=S△AOB.

【考查要点】仍是复习面积问题，但属于已知面积求点的坐标，涉及坐标与距离的转换.

（5）在坐标轴上找到一点D，使△BOD的面积为5个单位.

【考查要点】虽然仍是复习面积问题，但需要分类讨论.

（6）用合适的方法描述A、B两点间的位置关系.

【考查要点】教材“用坐标表示地理位置”一节，介绍了两种表示地理位置的方法，分别是借助平面直角坐标系和“方位+距离”的方法.此题中点B恰在点A的东南方向3[2]个单位的位置（母题为教材第75页练习2）.

（7）另作一点E，使A、O、B、E四点可连成平行四边形.

【考查要点】复习在平面直角坐标系中形成平行四边形的问题，比较常见的方法是用平移的思想去解决，这也是二次函数背景下综合题的常见考查类型.

由上可知，学生在复习前已经积累了一定的经验，当教师激发了他们的学习主动性时，他们就会迸发出强大的能量.从学生补充的内容来看，这节复习课已经达到了至简数学“让学生学得不简单”的效果.当然，学生提出的问题，大多是他们做过或见过的题目，教师还可在点评复习的基础上，适度补充拓展，丰富他们的学习经验.

（8）经过点B且平行于x轴的直线交AO于点M，求点M的坐标.

【考查要点】在平面直角坐标系中求三角形面积，常用的方法是“割”或“补”，因为学生还没有学习一次函数知识，故此时只能用“补”的方法，但在已知面积和点的坐标的基础上，学生自然也可求得“割”出的三角形的底或高，并将线段长度转化为坐标.

学习过程中，“学”是模仿，“习”是践行.教师融合学习内容、圆融教学流程，可让“学”变得简单;学生主动参与、积极反思，将已有经验连点成线、连线成面，可让“习”变得简明.上述复习过程，就是在教师的引导下，学生主动融合已有解题经验的过程.不管学生能在课堂上补充多少内容，这种从已经做过的习题中收集、整理、遴选问题并融入母题的过程，就是新旧知识融通的过程，就是令已积累的活动经验更清晰简明的过程.

“让学生学简单的数学”解决的是“学什么”的问题，需要教师融通理解教学内容;“让学生简单地学数学”解决的是“怎么学”的问题，需要教师合理预设学习过程;“让学生学得不简单”解决的是“学到什么程度”的问题，需要师生共同参与，利用好课堂生成性资源.只要师生坚持共同营造这种“知识融合、过程圆融、课堂交融”的学习氛围，学习将变成一件简单而快乐的事情，也必然能达到至简境界.

参考文献：

[1]邓凯，张青.由一节公开课管窥“至简数学”的基本理念[J].中学数学（初中版），2021（5）：10-13.

[2]陈春涛.数学的章节起始和章节复习都应融会贯通[J].教学月刊·中学版（教学参考），2019（1/2）：7-10.