初中数学教学中分类讨论思想的渗透

杨文军

【摘 要】 分类讨论思想是数学学科中一项重要的思想方法，是在解决问题出现不确定性时的有效方法，在探究新的数学知识与解答数学问题方面，均有着广泛而重要的运用.分类讨论思想能够帮助学生有效解决相关数学问题，能培养学生观察能力、数学逻辑思维能力等.中考数学试题中越来越多地渗透了这种思想.初中数学教学中，教师应当明确分类讨论思想的本质内涵，探析分类讨论思想的类型原则，进而构建科学的分类讨论思想渗透的策略.

【关键词】 初中数学;分类讨论;思想内涵

数学思想方法是在数学知识形成、发展、运用中形成的，是对数学知识与方法的高度抽象与概括，需要用到抽象、分类、演绎、归纳、模型、方程等的思想方法.在初中数学教学中，融合了数量关系与平面几何等各类项目的数学知识，对学生的思维能力与学习能力提出了更高的要求，运用简单的思维与单一的方法可能无法解答数学问题，需要运用一定的数学思想方法.因此培养学生数学思想方法显得非常重要，分类讨论思想已经融人到整个中学数学内容中，具有逻辑性强、探究性突出、综合程度高等特点，通过有效培养学生分类讨论思想，可以培养学生条理性、缜密性、概括性等的思维，教师要指导学生观察、分析、综合等，以此运用分类讨论思想解答数学问题.

1 分类讨论思想的本质内涵

当遇到一些比较复杂的数学问题时，我们需要将其分解为若干的小问题，或者分为一系列的步骤，进行分类和分别进行讨论，这种思想方法被统称为分类讨论思想或者分类讨论法[1].分类讨论思想是由于数学本身以及研究过程中自然形成的，主要因素是：一是数学概念往往是分类定义的，数学定理、公式、法则、运算性质等很多都是分类提出的;二是在求解数学问题時，得出的结论往往有多种可能或者多个结论;三是数学问题中含有参变量，参变量的取值会导致不同结果.分类讨论思想是化整为零、积整为零的思想方法与解题方法，能让复杂的数学问题变得较为简单.在分类讨论的过程，可以培养学生多种思维能力.近年来分类讨论思想越来越多渗透到中考数学试题中，所占分值比重通常较大，因此做好分类讨论的教学，培养学生分类讨论思想至关重要.

2 分类讨论思想的类型原则

初中数学解题中运用的分类讨论思想，主要分为以下类型：解答绝对值的问题;应用题中的方案设计;概率统计中的分类讨论;分式方程无解的分类讨论;对于一元二次方程系数的分类讨论;三角形形状不定、等腰三角形、相似三角形的对角线（或边）不确定时等，都需要分类讨论;几何问题中，需分类讨论的有：平面问题中动点问题，一次函数、二次函数与平面图形等组合中动点问题，圆等.

在解答以上相关的初中数学问题时，运用分类讨论思想往往需要遵循一定的原则，主要分为：一是当分类问题中的相关条件时，需要按照统一标准进行;二是需要完整分类，不能重复，也不能遗漏项目;三是分类可能无法一次进行，需要逐级分类，分类不同级，在分类上标准可能不统一等[2].

3 分类讨论思想渗透的策略

通过日常教学中的观察，以及进行问卷调查和文献研究，可以明确学生在解答分类讨论相关问题时，或者遇到需要进行分类讨论的项目时，会出现混淆不清、重复或者遗漏等现象，因此教师应当重视在教学中渗透分类讨论思想，加强分类讨论相关内容的教学，以此启发学生分类意识，培养学生分类讨论习惯，提高学生分类讨论能力等.这不是一蹴而就的，需要在教学中循序渐进渗透.

3.1 加强基础概念教学，启发学生分类意识

初中学生已经具备一定的生活经验，在实际生活中往往会对人物和事物进行分类，结合这个基础，可以迁移到数学教学中.在数学基础概念的课程教学中，无形或者有形渗透分类讨论思想，以此启发学生分类意识，为后续进行分类讨论打好坚实的基础，

数学概念是指人们对现实的数量关系、空间形式以及本质属性，在思维中的一种抽象、概括的反应，需要经过一系列的观察思考、分类比较、抽象概括等思维活动，最终形成相关数学概念.初中数学基础概念中，很多概念是分类定义或者分类讨论后给出的，针对这些数学概念，教师可以指导学生进行分类，进而加深学生对相关概念的理解，提高数学概念教学效果，启发学生分类意识.

例如 人教版七年级上“有理数”的概念教学中，教师通过设置针对性的启发式问题，引发学生积极思考与深入探究，以此启发学生形成初步的分类意识.比如针对有理数的分类项目，在学习有理数、正数、负数等概念后，为更好学习有理数的分类，巩固已学知识，让学生初步体会分类讨论思想，教师提出问题：根据定义分类，有理数可以如何分？引导学生答出按照定义分为整数和分数.为让学生认识O的分界作用，教师可以继续提问：除了整数与分数，还可以怎么分？先让学生思考与探析，之后解答：整数分为正整数、0、负整数，分数分为正分数与负分数，在此之后，教师可以根据符号进行提问：有理数还可以按照什么分类划分？引导学生认识还可以分为正数、负数和0.通过这些方面的设问与启发思考，可以让学生认识到不同的分类标准，有理数可以有不同的分类结果，要做到不重复、不遗漏，最后展示思维导图帮助学生识记有理数的分类.为巩同这些数学基础概念，教师可以引入绝对值的概念，让学生明确：lal，当a>0，|a|-a;当a=0，|a|=0;a<0，|a|=-a，以此让学生进一步认识分类讨论思想，形成分类解答意识.

3.2 汇总分类讨论方法，打好分类讨论基础

对于分类讨论思想，教师应当指导学生分类，根据适当的标准，结合研究对象的属性，以不重复和不遗漏为原则，对其进行分类分析与解答.因此，要想更好运用分类讨论思想解答数学问题，还需要掌握分类讨论思想的基本方法，以此打好分类讨论的基础[3].借助分类讨论思想解答数学问题：一是解答代数式、函数、方程等数量关系的问题，要根据字母不同取值，分别在不同取值范围上进行分类讨论;二是结合几何图形中的点与线出现不同位置情况，分别讨论问题.教师可以结合实际情况，汇总分类讨论方法，更好辅助学生分类与解题.

例如 通过研究分类讨论思想在解答数学问题时的运用，可以明确分类的方法分为：一是结合数学概念分类，有时因为未关注一个可表示不同类别的数而出现错误，对数量关系进行分类讨论可以避免这类错误;二是根据数学性质、法则与其他规定等分类讨论，比如方程问题中常见的结果大于0、等于0、小于0的情况要进行分类讨论;三是根据图形特点与相互问关系分类，比如根据角的分类可以将三角形分为直角、锐角和钝角三角形;根据圆和直线交点个数分为相切、相离、相交.比如，人教版九年级上的“圆周角的概念”，教学目标是让学生掌握圆的基本概念与性质，圆心角概念与性质，探究圆周角等.在证明关于圆周角定理时，教师可以布置小组合作探究任务，让学生利用分类讨论的思想进行分析与探讨，分为三种情况分别讨论证明，教师最后总结：一是证明圆心在圆周角一条边上;二是作过圆周角顶点直径，根据上述证明的结论分别解答在圆周角内部和外部的情况，结合图形点与线不同位置进行分类讨论，体现分类讨论的思想，在弦切角定理证明中，教师指导学生分类讨论圆心在弦切角一条边上、内部、外部三类情况，同样运用分类讨论思想方法.

3.3 指导学生分类讨论，提升解决问题能力

通过结合初中数学的定理、公式、法则等内容，渗透分类讨论思想，能够启发学生分类意识，让学生掌握分类讨论的基本方法，从而为运用分类讨论思想解答综合的数学问题打好基础[4].在过去的初中数学习题讲解中，不少教师多是就题论题，无法对问题进行深入剖析，較少渗透分类讨论的思想方法，根据这个基本情况，教师要结合这些类型的数学习题讲解：代数式或函数或方程，结合字母不同取值情况，在不同取值范围内讨论;几何图形中点与线出现不同位置的情况.先进行总体的思想方法讲解，之后出示题目让学生解答，最后讲解与训练.

例如 教师可以借助图文并茂的教学课件，先讲解关于分类讨论思想在解答数学问题时的运用策略，包括：一是确定分类讨论的对象，主要是确定分类讨论的范围、对象的性质等，根据一定的属性进行分类，不能重复且不能遗漏，按照统一标准进行科学划分;二是明确分类讨论的标准，根据具体情况进行分类讨论，关于运用分类讨论思想的习题，教师先引人类似题目：点C为线段AB的中点，点D为线段AC的三等分点，如果线段AB=12cm，那么线段BD长度是多少？这道题要根据线段中点定义、线段三等分点定义进行分类讨论，先让学生自主分析与解答，之后再进行展示讲解，

3.4 重视进行归纳总结，内化分类讨论思想

分类讨论思想已经融人到整个初中数学中，要更好培养学生分类讨论思想，指导学生运用这种思想方法分析问题、解答问题，教师还需要根据以往的教学情况，结合学生的实际运用表现等，重视进行归纳总结，有目的、按步骤引导学生参与到分类讨论思想运用数学解题的分析与讨论[5].通过这样的方式，可以有效增强学生对分类讨论思想的运用意识，引导学生更加深入认识这种思想方法，促进学生积极运用它解决相关数学问题，提高学生归纳总结、抽象概括等能力，进而内化分类讨论思想，提高初中数学中分类讨论思想的渗透效果.

例如 经过一定的分析与研究，带领学生分析已经做过的运用分类讨论思想解答的数学问题，经过抽象概括、归纳总结，可以得出关于解答数量关系问题、几何图形问题的四个结论，这些结论包括：一是数学概念与定义中，要掌握数学概念以及定义，重点是绝对值、方程以及根的定义、函数的定义，要明确分类讨论对象和原因，确定存在条件与标准;二是字母取值情况与范围，在函数相关问题中渗透较多，主要考查自变量取值范围的分类，要注意数学定理、性质的运用条件和范围等;三是图形位置关系与形状，需要熟练掌握直角三角形的直角、等腰三角形的腰与角、圆的对称性，要结合图形特殊性质，明确讨论对象进行分类解决;四是图形对应关系的可能情况，一般是融合在三角形的全等或相似等等问题中，会出现关于角和边的可能对应情况，要结合具体情况分类讨论.在做好这些方而的总结后，教师可以再让学生运用分类讨论思想解答相关题目.

4 结语

综上所述，关于初中数学教学中渗透分类讨论思想，教师要明确这种思想方法在初中数学中的地位，认识基本内涵、运用原则等，根据当前初中数学教学状况与基本学情，引入丰富多样的教学资源，构建多元化的教学方法，启发与渗透分类讨论思想，让学生逐步掌握和加以运用，培养学生分类讨论思维，提高学生解决问题的能力，有效达成初中数学教学目标，

参考文献：

[1]刘燕玲.例谈分类讨论思想在数学教学中的渗透[J].中学数学教学参考：中旬，2018（1）：32-34.

[2]袁霞.分类讨论思想在初中数学教学中的渗透[J].202 1（2015-12）：16-16.

[3]马改珍.探究如何在初中数学教学中渗透分类讨论思想[J].文理导航：教育研究与实践，2018（8）：178.

[4]杨文春.在初中数学教学中如何渗透分类讨论思想[J].数学学习与研究：教研版，2016（14）：46-46.

[5]邓凤文，如何在初中数学教学中渗透分类讨论思想[J].2021（26）：6-8.