直角坐标系下图形的面积问题

崔恒刘中学高级教师，在《数理天地》、《中小学数学》等杂志发表文章多篇，其中有两篇论文被中国人民大学书报资料中心编辑出版的《初中数学教与学》全文转载，喜欢研究解题和指导学生数学写作。

坐标确定位置，将图形置于平面直角坐标系中，结合函数图象背景，几何与代数相互渗透，数形结合，共同研究图形的面积是中考数学试卷压轴题中常见的问题，本文在分析2021年全国中考数学卷的基础上，从中提取两题为例，说明平面直角坐标系下图形面积问题的解决策略.

1 面积最值问题

例1 图1

如图1，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为M2，-233，抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），点B（2，23）与点C关于y轴对称.

（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由;

（2）顺次连接AB，BC，CO，判断四边形ABCO的形状并证明;

（3）设点P是抛物线上的动点，连接PA，PC，AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化，请探究S的大小变化并填写表格①～④处的内容;当S的值为②时，求点P的横坐标的值.

直线AC的函数表达式S取的一个特殊值满足条件的P点的个数S的可能取值范围

①64个③

②3个＼

102个④

分析 （1）已知抛物线的顶点坐标为M2，233，

设抛物线表达为

y=a（x-2）2-233，

再由抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），将A（4，0）代入抛物线表达中，得

0=a（4-2）2-233，

解得a=36，

所以抛物线的解析式为

y=36（x-2）2-233=36x2-233x，

由点B（2，23）与点C关于y轴对称，得点

C（-2，23）.

当x=-2时，代入抛物线表达得

y=36（-2-2）2-233=23，

所以点C在该抛物线y=36（x-2）2-233上.

图2

（2）看图2，直觉：四边形ABCO是菱形.有了目标，证明不是问题.

证明 因为B（2，23），C（-2，23），

所以BC∥x轴，

BC=2-（-2）=4，

因为A（4，0），

所以OA=4，BC=OA，

所以四边形ABCO是平行四边形，

因为OC=（-2-0）2+（23-0）2=4，

所以OC=OA，

所以平行四边形ABCO是菱形.

（3）①设直线AC的函数表達式为

y=kx+b，

因为A（4，0），C（-2，23），

所以4k+b=0，-2k+b=23，

解得k=-33，b=433，

直线AC的函数表达式为

y=-33x+433.

图3

②当点P在直线AC下方的抛物线上时，如图3，

设Pt，36t2-233t，过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，

则Ht，-33t+433，

PH=-33t+433-36t2-233t

=-36t2+33t+433，

因为满足条件的P点有3个，

所以在直线AC下方的抛物线上只有1个点P，即S△PAC的值最大，

S△PAC=S△PHC+S△PHC

=12PH·[4-（-2）]=3PH

=3-36t2+33t+433

=-32（t-1）2+932，

所以当t=1时，S△PAC取得最大值932.

③由②知，当0

④因为满足条件S△PAC=S的P点只有2个，而在直线AC上方的抛物线上一定有2个点P，满足S△PAC=S，

所以在直线AC下方的抛物线上没有点P满足S△PAC=S，

由②知，当S>932时，在直线AC下方的抛物线上没有点P满足S△PAC=S，符合题意.

解题经验积累 本题中求平面直角坐标系中三角形的面积问题，在近几年的全国各地中考中经常会出现，值得我们总结积累解题经验：

如图4，过点B作BD⊥x轴，垂足是B1，交直线AC于点D，

过点A作AE⊥BD，垂足是E，过点A作AA1⊥x轴，垂足是A1，

过点C作CF⊥BD，垂足是F，过点C作CC1⊥x轴，垂足是C1，

则AE=A1B1，CF=C1B1.

图4图5

如图4，S△ABC=S△ABD+S△CBD

=12×BD×AE+12×BD×CF

=12×BD×A1B1+12×BD×C1B1

=12×BD×（A1B1+C1B1）

=12×BD×A1C1

=12×（yB-yD）×（xA-xC）.

如图5，S△ABC=S△CBD-S△ABD

=12×BD×CF-12×BD×AE

=12×BD×C1B1-12×BD×A1B1

=12×BD×（C1B1-A1B1）

=12×BD×A1C1

=12×（yB-yD）×（xA-xC）.

这种方法求平面直角坐标系中三角形的面积问题比用割补法在列式上简单一点，因而不易出差错.

2 面积比问题

例2 图6

如图6，抛物线y=ax2+32x+c与x轴交于点A（1，0），B，与y轴交于点C（0，-2），连接AC，BC.

（1）求抛物线的表达式和直线AC的表达式;

（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标;若点D不在对称轴上，请说明理由;

（3）若点P是抛物线上位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求S1S2的值最大时点P的坐标.

分析 第1问直接用待定系数法求函数表达式，热身题，也是为后面的问题作准备;第2问沿斜线段BC所在直线折叠三角形，看上去吓人，其实作图准、几何直觉好的同学一眼可看出△ABC是直角三角形，将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，有了这个感觉，便有了解题的方向.第3问是本题的重点，求两个三角形的面积比，新颖的问题，从图形来看，△BPQ和BAQ如果以PQ，AQ为底计算面积，则它们的高是同一条垂线段，因此两个三角形的面积比便转化为线段的比，而线段的比通常与三角形的相似有关，我们构造相似三角形，直角坐标系中，横平竖直方向利于用点的坐标表示线段的长度.由此构造一对相似△PGQ、△ABQ，利用相似比建立二次函数的性质求最值.

解 （1）因为抛物线y=ax2+32x+c过点A（1，0），C（0，-2），

所以0=a+32+c，-2=c，

解得a=12，c=-2.

抛物线的表达式为

y=12x2+32x-2.

设直线AC的表达式为y=kx+b，

则k+b=0，b=-2，

解得k=2，b=-2.

直线AC的表达式为y=2x-2.

（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是：

由抛物线的表达式为y=12x2+32x-2得點B坐标为（-4，0）.

因为OA=1，OC=2，

所以OAOC=OCOB.

又∠AOC=∠BOC=90°，

所以△AOC∽△COB.

所以∠ACO=∠CBO.图7

从而 ∠ACO+∠BCO

=∠CBO+∠BCO

=90°，

所以AC⊥BC.

因此将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DC=AC，过点D作DE⊥y轴于点E，如图7.

又∠ACO=∠DCE，

所以△ACO≌△DCE（AAS）.

所以DE=AO=1，

则点D横坐标为-1，

因为抛物线的对称轴为直线x=-32.

故点D不在抛物线的对称轴上.

图8

（3）分别以PQ，AQ为底计算△BPQ和△BAQ的面积（同高不等底），如图8，

则△BPQ与△BAQ的面积比为PQAQ，

即S1S2=PQAQ.

过点P作PG∥x轴交直线BC于G，

则△PGQ∽△ABQ，

所以PQAQ=PGAB=15PG，

设过点B，C的直线表达式为

y=px+q，

因为C（0，-2），B（-4，0），

所以-2=q，0=-4p+q，

解得p=-12，q=-2.

所以过点B，C的直线解析式为

y=-12x-2.

设点Pm，12m2+32m-2，则点G的纵坐标是12m2+32m-2，代入直线BC的解析式，得

12m2+32m-2=-12x-2，

得点G的横坐标x=-m2-3m，

所以G（-m2-3m，12m2+32m-2），

PG=-m2-3m-m=-m2-4m，

所以S1S2=PQAQ=PGAB=15PG

=15（-m2-4m）

=-15（m+2）2+45.

由于-15<0，所以当m=-2时，S1S2的值最大，其值为45，此时点P坐标为（-2，-3）.