立足学生认知，彰显知识本色

施家贵

【摘要】学生的认知发展是数学教学活动的基础，立足学生认知的教学才是有效的.笔者以对《复数的三角表示》的教学为例，分析学生的认知基础与认知难点，以四元五环的教学模式展开设计，通过设计合理的问题情境，引领学生经历知识发生与发展的过程，力求凸显知识的本质，以提高学生的思维水平.

【关键词】高中数学;复数;问题情境

1 问题提出

新课标指出，数学教学活动必须建立在学生认知发展和已有知识经验的基础之上[1].有效的教学是要先了解学生原有知识的掌握情况，然后根据学生的知识储备还原学生在学习新知识时的心理建构，使学生能够自发产生学习新知识的驱动力.因此，在数学课堂教学中，教师要灵活地使用教材，创设合适的教学情境，从学生的认知起始点出发，将课堂的教学内容转化为具体的学习任务，时刻关注学生的课堂生成，帮助学生实现对教学内容的感知、抽象、概括、辨析、深化;设计相应的学习活动，让学生能够在课堂上不断积累活动经验，从而使学生的认知逻辑与学科知识逻辑可以达到统一，从而提升学生数学素养.

在新课标改革过程中，虽然很多教师加强对改革理念的学习，并努力尝试在日常的课堂教学中渗透新理念.但在实际课堂中，由于课时的限制以及应试的要求，课堂上教师更注重讲授，忽略了学生的学习和课堂的生成.这一现象的存在，本质上就是因为教师对新课标理念的把握不到位，未能做到以学生为中心、以活动为中心进行教学.教师在教学活动中尊重学生个体，鼓励学生参与课堂，培养学生学习数学的兴趣和习惯，促进教师能够在遵循学生认知规律的基础上更好地进行课堂教学活动，从而实现高效的数学课堂.本文以新教材增加的“复数的三角表示”为例进行基于学生认知的教学设计探究.

2 教学分析

2.1 教材变化

课程标准对课程内容进行了调整，原来复数是选修模块，新教材中复数被调整到必修模块，可见复数在高中数学新教材中的地位得到了提高.在新旧教材中复数涵盖的知识点基本上是相同的，但是在新人教A版中增加了“复数的三角表示”这块内容.复数的三角表示具有比较显著的几何特征，可以帮助学生在掌握复数的表示与运算本质的同时，渗透数形结合的思想.新教材有意按先三角函数、后向量、最后复数的顺序将三者结合在一起，促使学生体会到数与形之间的紧密关系，因此复数的三角表示对提升学生的抽象素养起到了不可小觑的作用[2].

复数的三角形式作为高中数学的选学模块，在学生的知识内容考查上不做硬性的要求，但是这块内容可以给学习能力好的学生做知识拓展，也是培养学生数学素养的典型载体.但是笔者认为教师应该将复数的三角表示当成必修模块进行教学，利用复数的三角表示进行一些复数的乘法和除法运算非常方便，能起到简化计算的作用;另外，在解决平面向量、平面几何和三角公式推导等相关问题时，复数的三角表示也能发挥它的重要辅助作用.基于此，笔者认为教师应重视复数的三角表示的教学，尽量让所有学生都进行系统的学习.在复数的三角表示教学过程中，教师应该从学生的认知视角出发，不断强化复数与向量、三角的联系，完善学生的认知建构，助力提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等素养.

2.2  学生的认知分析

2.2.1 学生的认知基础

学生在学习复数的三角形式之前，已经掌握了平面向量、三角函数以及复数等基本内容，一方面能够正确处理复数与复平面上的点以及向量之间的一一对应关系，教师可以在此基础上从复数的几何意义入手引入复数的三角表示;另一方面学生已经学习了三角函数的定义及基本的三角恒等变换，为学生探究复数的三角表示奠定了扎实的基础.

2.2.2 学生的认知难点

高一年级学生经过一个学期的学习，抽象思维能力有了一定的提升，但是在学习过程中学生对知识的整合能力不强，缺乏应用意识和创造意识，在利用几何图形与三角之间的关系推导复数的三角形式时考虑得不够完善，只是将这种表示形式当成结论记下来，对问题的本质理解得不够透彻，无法灵活地使用复數的三角表示解决问题，主要体现在以下两点：一是复数的三角表示形式较为抽象，学生对复数三角表示的理解往往流于形式，学生没有从形的角度去理解抽象复数的三角表示，导致三角表示的形式已发生混淆，对基本元素的把握容易发生偏差;二是在进行复数代数式转化为复数三角式时，学生只是按部就班地套用公式，不能真正体会复数三角形式的内涵，遇到比较灵活的题目，学生就会无法剖析题目的本质，难以下手.

3 基于学生认知的教学设计

考虑到学生的认知特点，教师从学生的旧有知识出发，用问题情境引领学生经历知识发生、发展的过程，采用四元五环的教学模式进行《复数的三角表示》教学设计.

3.1 数学情境，感知复数的三角表示背景

问题1 我们之前学习了复数的概念与几何意义，那么我们能不能从复数的几何意义进一步来研究复数的其他表示形式？

追问1 复数a+bi（a，b∈R）的几何表示方法有哪些？

复数z=a+bi（a，b∈R）可以用有序实数对（a，b）唯一确定，与平面向量OZ=（a，b）一一对应.

追问2 既然复数可以用向量表示，而向量可以由它的大小和方向唯一确定，那么，我们能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？

设计意图 在该教学环节中，教师围绕着复数的几何意义设置了三个具有启发性的问题，其中前两个问题设置的是旧知情境，从复数的几何表示方法出发，让学生回顾了复数的概念和几何意义，加强学生所学的复数的三角表示与几何图形之间的联系，为新知识起到铺垫或导引作用.接着教师基于学生知识起点设置了问题3，学生无法直接回答从而引发认知冲突，激发学生学习知识的热情，也让学生获得对复数的三角表示的最初感知.

3.2 数学探究，抽象复数的三角表示特征

问题2 向量的大小可以用模表示，那么向量的方向如何表示呢？

由图1看出，向量的方向可以借助角θ也就是以x轴的非负半轴为始边，以向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角来表示向量OZ的方向.

问题3 如何用向量的模和角来表示复数？为什么？

由图1可知，在直角三角形中，a=rcosθ，b=rsinθ，

所以a+bi=rcosθ+irsinθ=r（cosθ+isinθ）.

追问1 若这个角是任意角，这个结论还成立吗？

由三角函数的定义可知，当这个角为任意角时，这个结论仍然成立.

其中r=a2+b2，cosθ=ar，sinθ=br.

追问2 大家能不能用上面的结论来表示点Z在实轴或虚轴上对应的复数？

学生活动：

z=1=1（cos0+isin0）z

=-1=1（cosπ+isinπ），

z=i=1（cosπ2+isinπ2）z

=-i=1（cos3π2+isin3π2）.

设计意图 复数的三角表示特征的探究过程始终围绕着学生的知识起点——复数的几何意义展开，教师在课堂抓住提问的生成资源点进行追问，通过不断完善复数的三角表达形式来进行新知识的建构，让学生能够充分理解复数三角表示的内涵，培养学生思维的严谨性.接着学生用推导出的结论表示特殊位置上的复数，初步感知复数的三角表达形式，这样既尊重学生的认知规律，也使学生在这个活动过程中反复利用几何图形探究复数的三角形式，促使学生养成数形结合的思维习惯.整个教学过程中，教师不以自我传授和教师的经验作为教学的中心，而是用问题作为载体，启发学生学会学习，真正考虑到学生的思维发展.

3.3 数学体悟，概括复数的三角表示要义

问题4 所有的复数都可以表示为z=

r（cosθ+isinθ）吗？

所有的复数都有唯一向量与它相对应，故所有的复数都可以表示为z=r（cosθ+isinθ）.

问题5 这种表示形式中r表示什么？其范围呢？

r表示复数z的模，因此r≥0

问题6 θ的几何意义又是什么？

θ表示以x轴的非负半轴为始边，以向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角.

问题7 那现在大家一起来总结其结构特征，概括复数的这种表示形式？

一般地，任何一个复数z=a+bi（a，b∈R）都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式.其中，r是复数z的模;θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z=a+bi（a，b∈R）的辐角.r（cosθ+isinθ）叫做复数z=a+bi（a，b∈R）的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，a+bi（a，b∈R）叫做复数的代数表示式，简称代数形式[3].

师生活动 教师引导学生概括复数的三角形式要义，得出严谨的定义.

设计意图 教师通过问题4引导学生认识到所有的复数都能用复数的三角形式来表示，体会复数三角表示的普适性;通过问题5、6强化r和θ的几何意义，促使学生更深刻地把握复数的三角形式的基本要素;通过问题7让学生从结构形式上把握事物的本质，概括出简约的文字语言.教师在课堂上留给学生足够的时间去体悟、归纳复数的三角表示的要义，让新知识通过学生的理解纳入认知结构中，而没有直接将结论抛给学生进行记忆，提高学生对知识的探索和理解能力，培养了数学核心素养.

3.4 数学应用，深化复数的三角表示理解

例1 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：

cosπ+isinπ;（2）6（cos11π6+isin11π6）.

例2 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

12+32i;（2）1-i.

师生活动 总结复数的代数式与三角式互相转化的方法与步骤.

共同点：画出对应的向量;

三角式转代数式：熟练掌握特殊角的三角函数值求解.

代数式转三角式：结合三角函数定义，

①利用公式r=a2+b2，求出复数的模;

②利用cosθ=ar，或sinθ=br，结合复数对应点所在位置确定复数的一个辐角.

设计意图 经历前面环节的学习后，学生对复数的两种表示方式的基本要素和结构已经有了较为深入的理解，此时教师根据学生的认知水平设置这两道例题，让学生抓住表示形式的基本要素进行思路探寻，经历并总结复数的两种表示式之間的互化，认识到两种结构形式既有各自的特征又相互联系，并再次感受复数的三角表示的产生发展及应用过程，加深对复数三角表示的再认知.

总之，在课堂教学中需要教师以学生认知作为教学的起点，设计合理的问题情境，不断地用问题驱动促使学生进行积极的思考，彰显知识本色，提高学生的数学抽象水平.

参考文献：

[1]张春莉.学习者视角下的学习历程分析[M].北京：北京师范大学出版社，2019，11.

[2]闰洪德.基于数学抽象过程中的问题驱动探析——以“复数的三角表示（第一课时）”教学设计为例[J].数学通讯，2020（8）：19-21.

[3]课程教材研究所.普通高中教科书 数学必修第二册A版[M].北京：人民教育出版社，2020.