例谈一类几何最值模型

徐智勇

几何最值计算是初中数学学习中的一项重要内容，涉及到的知识丰富，方法灵活！解题实践中借助一些成熟的最值模型往往可以事半功倍，本文从一个实例开始引入一类简便的最值模型并给出初步应用.

引例 如图1，点C为线段BD上一点（不包括端点），在同侧作等边△ABC及等边△ECD，且BD=2，连接AE.求AE的最小值.

常用解法如下.

解 如图2，分别过点A，E作AF⊥BC，EG⊥CD，交BC，CD于点F，G，再过点A作AH⊥EG，交EG于点H.于是，G四边形AFGH为矩形，

故AH=FG=FC+CG

=12BC+12CD=12BD=1，

且AH≤AE，

进而AE最小=1.

注 容易知道当且仅当点E与点H重合时，AE取得最小值1，此时，EG=HG=AF，即BC=CD，点C为BD的中点.同时，注意到在点C移动过程中，△ACE始终保持∠ACE=60°及AC+EC=BC+DC=BD=2，因此猜想以下结论成立.

结论1 如图2，在△ABC中，∠A=θ及AB+AC=m，则当且仅当AB=AC时，BC最小=m·sinθ2.

证明 如图4，若AB=AC，易知BC=m·sinθ2，故仅需证明AB≠AC时，BC>m·sinθ2即可.不妨设AB

AD=AE=m2，

即BD=CE，

分别过点D，C作DF∥BC，CF∥AD，CF交DE延长线于点G，进而BC=DF，

BD=CE=CF，

且由AD=AE及CF∥AD可知

CG=CE，

进而CG=CE=CF，

则∠FEG=90°，

从而BC=DF>DE=m·sinθ2.

证毕.

由以上构造可以知道，C，E两点越靠近，|AB-AC|越小，结合CE∶CF∶EF为定值（由θ决定），可知EF越小，进而BC（DF）逐渐减小并接近于DE.因此，可以得到一个三角形全等的判定结论，即“两个三角形有一对角及其对边相等，且这对相等角的夹边之和亦相等，则这两个三角形全等”.

下面给出一些基本应用.

例1 如图3，点P为边长为2等边△ABC边AB上一动点，分别过点P作PD⊥BC，PE⊥AC，交BC，AC于点D，E，连接DE.求DE的最小值.

解 由已知条件可知

sinB=PDPB=32，

sinA=PEPA=32，

故PD+PE=32（PB+PA）=32×2=3，

且易知∠DPE=120°，

故满足结论1使用条件，进而DE最小=3·sin120°2=32，此时PD=PE，即点P为AB中点.

注 这种计算最值的方法关键在于找到含有定角且夹边之和为定值的三角形.本例中对使用结论1同样可行，且与一般的利用P，D，C，E四点共圆来解决问题的方法比较也显得更直接一些！

例2 如图4，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，D为AB中点，E，F分别为AC，BC上的动点，且满足DE⊥DF，连接EF.求EF的最小值.

解 如图7，连接CD，则由已知条件易知

△CED≌△BFD，

故CE=BF，

即CE+CF=BF+CF=BC=22AB=1，

且∠ACB=90°，

进而由结论1可知

EF最小=1·sin90°2=22.

注 解决本例的另一方法是由条件先证得△DEF为等腰直角三角形，发现EF与DF存在固定比，即EFDF=2，从而将EF的最值问题转化为DF的最值问题，易知当DF⊥BC时，DF取最小值12，即EF最小=22.

例3 如图5，点O是△ABC边AC的中点，连接BO，且∠ABC=60°，AB+CB=2.求AC+BO的最小值.

解 如图9，延长BO至点D，使得BO=DO，连接AD，CD.

结合条件知四边形ABCD为平行四边形，

进而AB+CB=DC+BC=2，

且∠BCD=180°-∠ABC=120°，

故可对△ABC及△DCB同时使用结论1，即当AB=BC=DC时，AC与BD同时取得最小值，且BO=BD2，

故AC+BO亦取得最小值，即得

（AC+BO）最小=1+32.

注 本例若仅对△ABC使用结论1只能得到AC的最小值，并不能解释AC+BO亦取得最小值，需要借助类似于上述构造方法，得到一个整体最值判断！

再作变式延伸，保持结论1中的定角条件不变，将对边改为定值，则存在关于夹边之和与夹边之积的两个最值结论如下：

结论2 如图6，在△ABC中，∠A=θ及BC=n，則（AB+AC）最大=nsinθ2，当且仅当AB=AC时取得最大值.

证明 如图，若AB=AC，易知AB+AC=nsinθ2，故仅需证明AB≠AC时，AB+ACAC，作△ABC的外接圆⊙O，取弧BAC中点A′，则A′B=A′C，∠BA′C=∠BAC，现在仅需证明A′B+A′C>AB+AC.延长BA′，使得A′B=A′C=A′D，连接CD，再延长BA，交以A为圆心AC为半径的圆于点E，连接DE，A′E，AA′.由点A′是弧BAC中点可知

∠A′AB=∠A′BC，

且∠A′AB+∠A′AE=180°及∠A′BC+∠A′AC=180°，

故∠A′AE=∠A′AC，结合AE=AC，A′A=A′A.可知

△A′EA≌△A′CA，

进而A′E=A′C=A′B=A′D，

即∠BED=90°，从而BD>BE，亦即

A′B+A′D=A′B+A′C>AB+AE=AB+AC.证毕.

结论3 在△ABC中，∠A=θ及BC=n，则（AB·AC）最大=n24sinθ2，当且仅当AB=AC时取得最大值.

可以借助面积法加以解决，具体证明留作练习.图7

练习

1.如图7，△ABC中，∠BAC=120°，AB+AC=23.求△ABC外接圆半径最小值.

2.证明结论3.