忽视等价转化致错两例

朱德云

由命题A可推出命题B，反之，由命题B亦可推出命题A，称为A与B等价.数学解题就是将数学问题不断转化的过程，但要保证问题的等价性，稍有疏忽，往往致错.

例1 若二次方程x2-2ax+a2-4=0仅有一个正根，求实数a的取值范围.

错解 因为二次方程仅有一正根，所以方程另一根必为0或负数，从而有x1·x2≤0.

由Δ=（-2a）2-4（a2-4）w≥0，x1·x2=a2-4≤0.

解得-2≤a≤2.

剖析 当a=-2时，原方程变为x2+4x=0，它的两根x1=0，x2=-4不合题意.错误原因在于x1·x2≤0并不能保证方程仅有一正根.

正确解法 因为二次方程仅有一正根，所以方程另一根必为0或负数：

（1）当方程另一根为0时，有

Δ=（-2a）2-4（a2-4）>0，x1+x2=2a>0，x1·x2=a2-4=0，

解得a=2.

（2）当方程另一根为负数时，有

Δ=（-2a）2-4（a2-4）>0，x1·x2=a2-4<0.

解得-2

综上所述，实数a的取值范围为

-2

例2 定义：若实数x，y满足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M（x，y）为“线点”.例如，点（0，-2）和（-2，0）是“线点”.在直角坐标系xOy中，点P（m，n）是“线点”，试用含t的代数式表示mn.

错解 因为点P（m，n）是“线点”，

所以m2=2n+t，①

n2=2m+t.②

①-②，得 （m+n）（m-n）=2（n-m），

由题意知m≠n，

所以m+n=-2.

①×②，并整理得

m2n2=4mn-4t+t2，

解得mn=t或mn=-t+4.

正确解法

因为点P（m，n）是“线点”，

所以m2=2n+t，①

n2=2m+t.②

①-②，得

（m+n）（m-n）=2（n-m），

由题意知m≠n，

所以m+n=-2.

①+②，得

m2+n2=2（m+n）+2t，

（m+n）2-2mn=2（m+n）+2t，

即（-2）2-2mn=2×（-2）+2t.

解得mn=4-t.

剖析 上述两种解法在推理论证中似乎都正確无误，但为什么答案不同呢？mn究竟有几个结果呢？

错解产生了一个不易察觉的不合题意的解（增解）.

当mn=t，m+n=-2时，代入①得

m2=-n（m+n）+mn，

m2+n2=0.

所以m=n=0.

所以m+n=0，这与m+n=-2相矛盾，

所以满足m2=2n+t，n2=2m+t，mn=t的实数m，n不存在，mn=t不合题意，舍去.

喜欢刨根究底的读者可能会想：为什么正确解法没有出现增解，错解却产生增解，增解从何而来？

原来，由m2=2n+t，n2=2m+t可以推得

m2-n2=2n-2m，m2+n2=2m+2n+2t，

反过来，由m2-n2=2n-2m，m2+n2=2m+2n+2t，也可以推得

m2=2n+t，n2=2m+t.

因此m2-n2=2n-2m，m2+n2=2m+2n+2t与m2=2n+t，n2=2m+t等价，

故正确解法不会出现增解.

由m2=2n+t，n2=2m+t可以推得

m2-n2=2n-2m，m2n2=（2m+t）（2n+t），

反过来，由m2-n2=2n-2m，m2n2=（2m+t）（2n+t），可以推得

m2=2n+t，n2=2m+t或m2=-2m-t，n2=-2n-t（请读者自己推导）.

因此m2-n2=2n-2m，m2n2=（2m+t）（2n+t）与m2=2n+t，n2=2m+t不等价.

当两个不等实数m，n满足m2=-2m-t，n2=-2n-t时，可知m，n是方程z2=-2z-t的两个实数根，于是有mn=t，这正是错解产生的增解.