梅森质数大搜索

赵新胜

2018年12月，人们用计算机成功发现了第51个质数，是当今已知最大的质数.这个质数是2的82589933次方减1，即282589933-1，拥有24862048位数字，如果用普通字号将它打印下来，其长度将超过100公里！

我们都知道质数是只能被1和本身整除的数，例如，2，3，5，7，11等.2300多年前，希臘数学家欧几里德证明了质数是无限的，并提出少量质数可写成2P-1的形式，这里的P也是一个质数.此后许多数学家曾对这种质数进行了研究.起先，人们很容易找出了前四个符合这种形式的质数，那就是3，7，31，127（当P分别为2，3，5，7时）.同学们不要以为这种数很好找，当人们找到五个这种质数时已过去了一千多年.一千多年才艰难地跨出一步，可见发现这种质数是多么的不容易！

那为什么这种质数又称为梅森质数呢？原来，在17世纪的法国有个教士马丁·梅森 ，他花费了很大的精力，对形状如2P-1的数进行了研究.他发现，如果P是合数，2P-1肯定不是质数.例如P=4时，24-1=15=3×5不是质数;当P是质数时，2P-1是不是质数呢？他惊喜地发现：

当P=2时，22-1=3;

当P=3时，23-1=7;

当P=5时，25-1=31;

当P=7时，27-1=127.

这里的3，7，31，127都是质数，于是梅森在1600年提出了一个猜想：当P是质数时，任何形如2P-1的数都是质数.

这是数学家研究问题常用的方法：先对这个问题找到一个或几个特殊解，进而从各个方面反复地考察这些解，从中找出问题的一般规律.当然，这样得到的规律或提出的猜想还有待证明，并不一定正确.同学们都知道肯定一个猜想，需要对问题的各种情况进行论证;否定一个猜想，却只需要一个反例.梅森猜想提出后，不少数学家认为当P为质数时，2p-1不一定都是质数，但都没有找出具体的反例来说明其是错误的.

1903年10月，哥伦比亚大学教授科尔应美国数学协会的邀请，在纽约作学术报告.科尔从容地走上讲台，却一言不发，只是转身在黑板上写出了这样一个算式：267-1=193707721×761838257287，便默默地回到了自己的座位上.到会的数学家们很快“听”懂了报告的含义，会场上立刻爆发出经久不息的掌声.科学家们明白了他已证明267-1是一个合数，而不是梅森所说的质数，解决了三百多年来没有解决的难题.梅森的猜想是错误的.

尽管如此，他给数学家们指明了寻找最大质数的一个方向.人们对梅森的探索精神和在这个问题上所做的贡献，还是给予充分的肯定，把形状如2P-1的数叫“梅森数”，形状如2P-1的质数叫做“梅森质数”.

不难看出，随着P的增大，梅森质数增大的十分迅速，要找出梅森质数所需要的计算也迅速增加.多少年来，数学家们沿着梅森开辟的道路，争夺发现已知的最大质数的荣誉一刻也没有停止过.

1772年，瑞士数学家欧拉在双目失明的情况下，以顽强毅力靠心算发现了第8个当时最大的梅森质数（P=31），它的记录保持了一个多世纪.在“手算笔录年代”，人们历尽艰辛一共才找到12个梅森质数.1964年伊利诺大学的数学家在计算机上算出了第23个梅森质数，这时的P=11213，它有3376位数字.当时让全世界都羡慕这一成就，在该校数学系寄出的每一封信上都印上了这个巨大的梅森质数.随着互联网的发展，电脑的智能化，人们探索梅森质数的步伐有所加快.美国密歇根州立大学一位26岁的学生迈克尔·谢弗他志愿参加“互联网梅森质数搜索计划”（GIMPS），他才花了19天就发现了第40个梅森质数，成为全球几十万名志愿者中发现新梅森质数的幸运儿.

梅森质数在当代具有重大的理论意义和丰富的实用价值.它是发现已知最大质数的最有效途径，促进了计算技术、密码技术、程序设计技术的发展.由于梅森质数的探究需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家认为：梅森质数的研究成果是一个国家科技创新能力的重要标志之一.

人们到底能找到多少个梅森质数？自然数是无尽的，人类的智慧也是无尽的.