对一类中考最值问题的深入探究

李加禄

【摘要】 本文尝试通过利用托勒密不等式解决费马点最值问题，实现通性通法，从多角度进行深入剖析并进行推广，得到了一般化的结论，同时也为解决此类问题提供了更为广阔的思路.

【关键词】 费马点最值;托勒密不等式;通法;推广

近年来，以数学文化为背景的试题己成为中考命题的热点和新亮点，费马点最值问题受到命题者的青睐.图形的旋转变换是解决“费马点问题”非常重要的一种工具，通过旋转或放缩进行线段转化，从而达到解决问题的效果.但是，当所求最值中三条线段的系数有不为1时，旋转中心和旋转角就难以确定，学生感到束手无策.鉴于此笔者进行了深入研究，发现利用托勒密不等式可以快速找到解决费马点最值问题的突破口，突破思维障碍，实现通性通法，并进行推广得到一般化的结论.

1 费马点简介

费马点定义：法国数学家费马曾提出一个数学名题： 在三角形所在平面内求一点， 使该点到三角形三个顶点的距离之和最小，称此为费马点问题.该点也称为这个三角形的费马点.

费马点的相关结论：

（1）对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是各边的张角都是120°的点.

（2）若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点.

2 预备定理

托勒密不等式：在任意凸四边形ABCD中，两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，当且仅当四点共圆时取等号.图1

（即AB·CD+AD·BC≥AC·BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号）

证明 如图1，设∠CAD=θ，∠ACD=β，作∠BAE=θ，∠ABE=β相交于点E，连接DE，易证

△ABE∽△ACD，

于是ABAC=AEAD=BECD，

得AB·CD=AC·BE，①

又因∠BAC=∠DAE=∠θ+∠EAC，

ABAC=AEAD，

所以△ABC∽△AED，

于是ACAD=BCED，

得AD·BC=AC·DE，②

由①+②得

AB·CD+AD·BC=AC·BE+AC·DE，

即AB·CD+AD·BC

=AC·（BE+DE）≥AC·BD

（當且仅当B，E，D三点共线时取等号），

此时，A，B，C，D四点共圆（AB·CD+AD·BC=AC·BD）（如图2）.托勒密不等式可以简记为“左右积+上下积中间积”.

3 托勒密不等式应用

3.1 系数比都为1的费马点问题

例1

如图3是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AC=4，BC=5，∠ACB=30°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC.求PA+PB+PC的最小值.

分析 如图4，由于PA，PB，PC三边前的系数之比为1∶1∶1，进一步联想到需要构造的三角形是等边三角形，进而在四边形APCD中利用托勒密不等式进行转化PA+PB+PC的最小值为BD的长度，易得∠BCD=90°，则在Rt△BCD中利用勾股定理求得BD的长度.

解 如图4，以AC为边向外构造等边△ACD，在四边形APCD中，由托勒密不等式PA·CD+PC·AD≥AC·PD，设CD=x，则CD=AD=AC=x=4，进而PA·x+PC·x≥PD·x，PA+PC≥PD，不等式两边同加PB，得PA+PB+PC≥PB+PD，所以PA+PB+PC≥BD（当且仅当B，P，D三点共线且A，P，C，D四点共圆时取等号），即PA+PB+PC的最小值为BD的长度.在Rt△BCD中利用勾股定理求得BD=42+52=41，故PA+PB+PC的最小值为41.

例2 如图5，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=42.点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是.

解 类比例1，易知OM，ON，OG三边前的系数之比为1∶1∶1，以MG为边向外构造等边△MGA，进而在四边形MOGA中，由托勒密不等式将OM+ON+OG的最小值转化为AN的长度，以AN为斜边构造Rt△ABN，易得∠BMN=45°，BN=BM=32，AB=72，则由勾股定理求得AN=229，故OM+ON+OG的最小值为229.

3.2 系数比为勾股数的费马点问题

例3

如图6，在△ABC中，∠ACB=60°，BC=3，AC=4.在△ABC内部有一点P，连接PA，PB，PC，则12PA+32PB+PC的最小值是.

分析 观察到三边的权重系数之比不为1，于是将12提到括号外得到

12（1PA+3PB+2PC），

即PA，PB，PC三边权重系数之比为1∶3∶2，只需以AC为边构造一个△ACD，使得三边之比为1∶3∶2，易知△ACD为直角三角形，那么怎样确定直角呢？其实仔细观察不难发现PC前面的系数为2（系数比中最大），根据大边对大角可知AD边所对的角为直角，进而在四边形APCD中利用托勒密不等式进行转化求解.

解 如图，以AC为直角边向外构造Rt△ACD，在四边形APCD中，由托勒密不等式PA·CD+PC·AD≥AC·PD，设CD=x，则AD=2x，AC=3x=4，

解得x=433，

进而PA·x+PC·（2x）≥PD·（3x），

PA+2PC≥3PD，

不等式两边同加3PB，得

PA+3PB+2PC≥3PB+3PD，

所以PA+3PB+2PC≥3BD

（当且仅当B，P，D三点共线且A，P，C，D共圆时取等号），

即12PA+32PB+PC的最小值为32BD的长度，再以BD为斜边构造Rt△BDE，易得

∠DCE=30°，CE=2，DE=223，

进而利用勾股定理求得

BD=2373，

故12PA+32PB+PC的最小值为792.

3.3 系数比为任意三角形的费马点问题

例4

如图7，在△ABC中，∠ABC=15°，BC=52，AB=5.在△ABC内部有一点P，连接PA，PB，PC，则PA+3PB+PC的最小值是.

分析 考虑到PA，PB，PC三边权重系数之比为1∶3∶1，显然三边系数之比不构成直角三角形，而是等腰三角形，以AB为边向外构造等腰△ABD，由3·PB可知PB所对的边为AD=3x，则BD=BA=x，利用锐角函数易求∠ABD=120°，进而在四边形APBD中利用托勒密不等式将最小值转化为线段CD的长度，再构造直角三角形求解CD.

解 如图8，以AB为边向外构造等腰△ABD，在四边形APBD中，由托勒密不等式

PA·BD+PB·AD≥AB·PD，

设AB=BD=x=5，则

AD=3x=53，

PA·x+PB·3x≥PD·x，

PA+3PB≥PD，

不等式两边同加PC，得

PA+3PB+PC≥PD+PC，

所以PA+3PB+PC≥CD

（当且仅当C，P，D三点共线且A，P，B，D四点共圆时取等号），

即PA+3PB+PC的最小值为CD的长度.

利用锐角三角形函数易求∠ABD=120°，

∠DBE=45°，

BE=DE=522，

CE=1522，

在Rt△CDE中利用勾股定理求得CD=55，

故PA+3PB+PC的最小值为55.

总结 通过以上几个例题解析，我们发现利用托勒密不等式解决费马点最值问题的核心方法就是先找出三边权重比例系数，再构造一个三边之比恰好是权重系数的三角形，进而在四边形中利用托勒密不等式和两点之间线段最短将最小值转化为某条线段的长度，本质就是转折为直，最后构造直角三角形求解线段的长.

4 推广

如图9，在△ABC内部有一点P，连接PA，PB，PC，则xPA+yPB+zPC的最小值是.

结论1 若以x，y，z为边不能构成三角形，则P为系数最大的那项的顶点.

证明 不妨设x>y>z，则

xPA+yPB+zPC≥（y+z）PA+yPB+zPC≥y（PA+PB）+z（PA+PC）≥yAB+zAC

（当且仅当P与A点重合时取等号），

故此时P为A点.

结论2 若x，y，z能构成三角形的三边，则xPA+yPB+zPC的最小值为

a2y2+b2x2-2abxycos（θ+β），

（其中cosθ=a2+b2-c22ab，cosβ=x2+y2-z22xy，）

证明 如图9，以AC为边向外构造△ACD，使得CD=xm，AD=zm，AC=ym，在四边形APCD中，由托勒密不等式得

（xm）PA+（zm）PC≥（ym）PD，

即xPA+zPC≥yPD，

不等式兩边同时加上yPB，

xPA+yPB+zPC≥yPB+yPD，

则xPA+yPB+zPC≥y（PB+PD）≥yBD

（当且仅当B，P，D三点共线时取等号）.

为了便于计算BD，将图9分解为以三个图形（图10），不妨设∠ACB=θ，∠ACD=β，

则∠BCD=θ+β，

在△ABC和△ACD中，由余弦定理得

cosθ=a2+b2-c22ab，cosβ=x2+y2-z22xy，

在△BCD中，

BD=a2+（xm）2-2a（xm）cos（θ+β），

而AC=ym=b，则m=by，

BD=a2+x2b2y2-2axbycos（θ+β），

两边同乘以y，

yBD=a2y2+x2b2-2abxycos（θ+β），

xPA+yPB+zPC≥

a2y2+x2b2-2abxycos（θ+β），

故xPA+yPB+zPC的最小值为

a2y2+b2x2-2abxycos（θ+β）

（其中，cosθ=a2+b2-c22ab，cosβ=x2+y2-z22xy）

特别地，当△ABC是边长为a的等边三角形时，PA+PB+PC的最小值为3a.

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