一道行程问题的解法探究

王文慧

【摘要】通过一道行程问题的原题重现，考查和提升学生的建模思想 ，综合应用方程，函数等方法解决问题.

【关键词】行程问题;建模思想;应用方程

原题重现：

某体校派两辆小汽车（速度相同）同时送1名领队老师和7名参赛学生到郊外参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机）. 其中有一辆小汽车在距离运动场15km的地方出现故障，此时离截止进运动场的时间还有42分钟.若小汽车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h，（上，下车的时间忽略不计）请你设计一种运送方案，使他们能在截止进场时刻前全部到达运动场，并通过计算说明方案的可行性.

分析 若正常行驶的小汽车先送4人到达运动场，然后再回到故障处接其他人，则所需时间为4560×60=45>42分，故不能在截止進考场时刻前到达考场.于是有以下两种方案：

第一种方案 先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后立即返回到与另外4人相遇处再载他们到考场

解法1 算术方法

3065+15-3065×560=613+1152=3552

≈40.4min<42min.

解法2 利用方程

如图1：设人走了xkm，则人走的时间等于车1加车2的时间.

15+15-x60=x5.

解得x=3013

30135+15-301360=3552h≈40.4min<42min.

解法3 构造函数

设他们出发的时间为xh，他们离开故障点的距离为ykm，图2中折线O—A—B—C表示小汽车离开故障点的距离y车与时间x的函数关系 线段OB表示步行的学生离开故障点的距离y步与时间x的函数关系.

解 线段OA所在直线的函数关系式为y=60x，

设线段AB所在直线的函数关系式为 y=-60x+b过A（14，15），

则AB：y=-60x+30，

y=-60x+30，y=5x，解得x=613，y=3013，

点B坐标为（613，3013），其实际意义是在613h时，车在距故障地3013km处接到步行的学生.

则a=30135+15-301360=3552h≈40.4min<42min.

第二种方案 将8人分成甲，乙两个小组，先将甲组用车送往考场，乙组同时步行前往考场，在离开考场某一地方放下甲组，甲组继续步行，汽车立即返回与乙组相遇处再载他们赶往考场，结果甲，乙两组同时到达.

解法1 利用方程

画出线段图分析：

设第一批被接走的人后来走xkm.

车2+车3的时间=人1时间=x5h.

车2+车3的路程为x5×60=12xkm.，

车2路程为（12x-x）2=11x2km，

则车3路程为11x2+x=132xkm.

人2时间=（车1+车2）时间，

则15-13x25=15-x+112x60，

解得x=2.

13+12×260=3760h=37min.

所需时间比方案一更短！

解法2 建立函数模型

设他们出发的时间为xh，他们离开故障点的距离为ykm，图4中折线O—M—P表示小汽离开故障点的距离y与时间x的函数关系.

OM： y=60x，

ON：y=5x.

设N（a，5a）易证四边形OMPN是平行四边形，则MF=NE，所以M的纵坐标为15-5a，

所以M（14-112a，15-5a）

设MN：y=-60x+b将M，N带入

则15-5a=-60（14-112a）+b，5a=-60a+b，

解得a=25.b=26.

设NP：y=60x+c代入N（25，2），

则c=-22，

则NP：y=60x-22P为（3760，15）.

所以3760h=37min<42min，为最短时间.

解法3 综合利用函数方程

设N（m，5m），

因为MF=NE=5m，

所以O—M—N的时间可表示

15-5m+15-10m60=m，

解得 m=25，

则N（25，2），

于是，求出NP：y=60x-22P为（3760，15），

所以3760h=37min，即为最短时间.

【南京市教育科学“十四五”2021 年度立项课题 课题编号：LZ/2021/035】