初中数学建模思想的类型及应用

陈春梅

摘 要： 初中数学教学的主要任务在于教会学生用所学知识解决生活中的实际问题，而要想解决这些问题，就要拥有建立数学模型的思想，最终使学生具有学以致用的能力。作者结合自己的教学实践和经验谈谈初中数学建模的类型及建模思想在初中数学中的应用。

关键词： 初中数学 建模思想 类型 应用

数学与人类发展和社会进步息息相关，数学来源于生活，又服务于生活，解决生活中的一些实际问题，往往离不开数学建模。常见的数学建模模型类型有：建立“方程（组）”模型、建立“不等式（组）”模型、建立“函数”模型、建立“几何”模型等四种。

1.建立“方程（组）”模型

现实生活中广泛存在数量之间的相等关系，“方程（组）”模型是研究现实世界数量关系的最基本数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更正确、更清晰地认识、描述和把握现实世界。诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题，通常可以抽象成“方程（组）”模型，通过列方程（组）加以解决。

2.建立“不等式（组）”模型

现实生活中同样广泛存在着数量之间的不等关系。诸如统筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题，可以通过给出的一些数据进行分析，将实际问题转化成相应的不等式（组）问题，利用不等式的有关性质加以解决。

3.建立“函数”模型

函数反映了事物间的广泛联系，揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律。现实生活中，诸如最大获利、用料最省、最佳投资、最小成本、方案最优化等问题，常可建立函数模型求解。

二、初中数学建模思想的应用

1.方程（组）模型思想的应用

例题：

用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米。

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？

（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由。

分析：

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟悉矩形的周长与面积的求法，以及一元二次方程的根的判别式。（1）小题，根据矩形的面积公式进行列式；（2）把y的值代入（1）中的函数关系式，求得相应的x值即可；（3）把y的值代入（1）中的函数关系式，若方程有解，则能围成；若方程无解，则不能围成。

2.不等式（组）模型思想的应用

例题：

城西中学七年级学生共400人，学校决定组织该年级学生到某爱国主义教育基地接受教育，并安排10位教师同行。经学校与汽车出租公司协商，有两种型号的客车可供选择，其座位数（不含司机座位）与租金如下表，学校决定租用客车10辆。

（1）为保证每人都有座位，显然座位总数不能少于410。设租大巴x辆，根据要求，请你设计出可行的租车方案共有哪几种？

（2）设大巴、中巴的租金共y元，写出y与x之间的函数关系式；在上述租车方案中，哪种租车方案的租金最少？最少租金为多少元？

分析：

本题是一道抽象于实际生活的应用题、方案题，在解决这类问题时，一定要分析清数量关系。（1）小题中，首先要确立不等式的数量关系，即大巴车载客量+中巴车载客量≥410，根据“学校决定租用客车10辆”可知，大巴车应该在0～10辆的范围内，由此得出不等式进行求解，最后根据得出的自变量的取值范围，判断出符合条件的自变量的值。（2）小题中，根据租金金额=租用大巴用的钱+租用中巴用的钱，得出函数关系后再根据（1）小题的自变量的取值范围和函数的性质判断出租金最少的方案。

3.函数模型思想的应用

例题：

实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=-200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数（k>0）刻画（如图所示）。

（1）根据上述数学模型计算：

①喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？

②当x=5时，y=45，求k的值。

（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路。参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由。

分析：

在解决这类问题时，我们先要观察图像，然后确定函数类型，建立数学模型。最后弄清横轴与纵轴所表示的意义，搞清如何确定函数关系式和求最大利润。

根据题意，（1）解决①小题要应用配方或公式求出二次函数的顶点坐标，再确定最大值；在②小题中将x=5，y=45代入反比例函数解析式，即可求出k的值。（2）此题比较简单，令y=20，求出相对应的时间，再进行判断即可。

总结：数学建模可以叫学生在实际中运用数学，在教学中，引导学生动手操作、探索、互相交流，现实中思考的数量关系和空间关系，从而可以独辟蹊径，有效地解决实际问题，同时数学建模是为了扩充学生的课外知识，教师通过教学主要是培养学生的意识，学生学会方法了以后自己去探索、去研究和创新，让数学进入生活，让生活走进数学。

参考文献：

[1]刘海燕.初中数学建模思想初探[J].现代教育科学，2011，04.

[2]强林科.有效培养初中数学创新能力的方法与途径[J].考试周刊，2010，06.

[3]汪永梅.数学建模思想在初中教学中的运用[J].青海师范大学民族师范学院学报，2011，01.

本文系上饶市市级课题，课题名称《初中学生数学学习方式与习惯养成调查与实践的研究》。