2022年新高考Ⅰ卷第21题的解法与推广

李小华　吴伟鸿　许如意

【摘要】本文探究一道2022年新高考Ⅰ卷解析几何题目21题的解法，并将此类问题推广为一般情况，得到相关的结论，对教师的解题教学有很好的借鉴作用.

【关键词】解析几何;齐次化;直线参数方程

解析几何是利用代数方法研究几何问题，高中数学的重要内容.高考中解析几何试题综合性强、应用面广，对学生的推理论证能力、运算求解能力要求较高.  由于解析几何蕴含了函数与方程、数形结合、化归与转化、分类与整合、特殊与一般等数学思想，所以解析幾何试题可以有效地考察学生的直观想象、数学运算、逻辑推理、数学抽象和数学建模等数学核心素养[3]. 本文以2022年数学新高考Ι卷第21题解析几何题的解法探究，谈谈在高三阶段如何对解析几何进行复习.

1试题再现

2解法探究

3结论推广

4解析几何复习备考策略

从近几年全国各地的高考数学试卷来看，解析几何考査知识内容覆盖了直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等，突出考察学生的理性思维、数学应用和数学探索等学科素养，通过对近几年各地高考试题分析，现给出如下备考建议：

（1）回归教材，注重基础，建构知识网络. 高考试题中对解析几何的基础知识进行了全面考查，如圆锥曲线定义、焦点三角形、抛物线焦点弦等几何性质以及直线与曲线的位置关系等，而且不回避热点，如求圆的方程问题、椭圆和双曲线离心率问题、弦长问题等，仔细对比可以发现，每年的高考试题很多都是由课本习题改编而来，比如2019年全国卷Ⅱ理科第21题第1问源于人教A版教材41页例3，2017年全国卷Ⅱ理科第20题源于人教A版教材41页例2，这些高考试题源于课本，又高于课本，因此高考复习要回归课本基础知识，使学生了解知识的发生、发展和应用过程，夯实学生的基础知识，使学生掌握解决问题的工具.

（2）重视圆锥曲线的几何性质，切实提升学生利用数形结合思想、化归与转化思想解决问题的能力. 坐标法是解决解析几何问题的通性通法，但是解析几何问题的本质是几何问题，利用题目图形的几何性质解答，往往能避开繁琐的代数运算，起到出奇制胜、事半功倍的效果，纵观近几年的高考试题，很多题目都离不开图形分析，例如2016年全国卷Ⅰ理科第20题第1问，利用平行直线同位角相等和等腰三角形底角相等的几何性质，在解题过程中需要学生自己画图. 因此在平时的教学中，要训练学生多画图，培养学生数形转化的意识，提升学生解题能力和效率.

（3）多角度审视，注重一题多解，把握问题的本质. 计算能力是学生解决解析几何问题的一个拦路虎，解析几何往往伴有繁琐的代数运算，导致“会而不对”，学生望而生畏，但解析几何的试题不同解法之间运算量的差异很大，有的是“可望而不可及”，比如2022年新高考Ⅰ卷21题第1问中，思路1比较容易上手，但计算量比较大，思路2从点入手，利用这些点满足的几何特点，抓住用坐标刻画运动，用代数方法来研究几何问题的本质，与思路1相比，思路更自然，计算量更小，思路3在思路2的基础上利用参数方程，将复杂的代数运算转化为三角函数化简问题，从而大大减少了该题的计算量，思路4通过重构双曲线方程和巧设直线方程，进一步整合代数与几何的关系，避开了解决圆锥曲线综合问题常用的“设直线、联立方程、消元、根与系数的关系、根的判别式”解题策略，简化计算.  为此，在复习过程中要特别注重对不同方法的分析、比较，要研究图形的几何特征、掌握处理代数式的一般方法，知道不同方法的差异，要达到这样的目的，关键是对问题本质的把握，只有多角度审视，看清了问题的实质，才能发现最佳的突破口.

（4）夯实基本技能和基本方法，提升学科核心素养. 从2022年新高考Ⅰ卷试题发现，在高三专题复习中不能仅是简单地题海战术，应该引导学生分析图形特征，用恰当的代数形式表达题目中的几何关系，深化对问题的分析，回归解析几何的本质. 高三专题复习的重点应放在对典型例题的讲解，体会解题中所蕴含的思想方法，加深学生对概念的理解、基本方法和基本技能的掌握上，引导学生学会思考，而不是简单的机械模仿，避免导致学生缺少对解析几何本质、基本方法和基本思想的理解与掌握. 例如圆锥曲线与方程这一专题的基本技能和基本方法主要是借助坐标系用代数方法表示和研究曲线，同时要注重几何直观的作用，用到的知识技能方法包括数形转化以及向量转化等.

（5）加大训练力度，培养学生逻辑思维能力和运算求解能力. 根据高考评价体系的整体框架对高考数学学科提出了逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力等关键能力. 解析几何问题是中学数学的综合应用问题，对于逻辑思维能力和运算求解能力要求较高，好的思路是通过一定的运算、推理等数学语言表达出来的. 因此在平面解析几何专题复习过程中，提升学生的逻辑思维能力和运算求解能力尤为重要，因此平时要引导学生进行以运算为主的练习和规范严密的思维分析训练.

参考文献

[1]吴志雄.用直线的参数方程探究圆锥曲线中的定点问题[J].中学数学教学参考，2019（07）：44.

[2]李小华.新高考背景下高中学生发展指导的实践与探索[J].学苑教育，2021（35）：38.

[3]中国高考报告学术委员会.高考试题分析.数学[M].北京：现代教育出版社，2021：212.

作者简介李小华（1981—），男，福建三明人，中学高级教师;主要研究高中数学教学.

吴伟鸿（1973—），男，福建晋江人，中学高级教师;主要研究高中数学教学.

许如意（1986—），女，福建晋江人，中学二级教师;主要研究高中数学命题研究.