米山国藏如是说数学的精神、思想和方法

张露露　代钦

【摘要】日本著名数学家和数学教育家米山国藏的著作《数学的精神、思想和方法》，在中国数学教育界尽人皆知.米山国藏基于数学发展史的观点，结合数学基础、数学悖论、数学素养、数学与自然科学、数学与文学创作等之间千丝万缕的关系，深入地阐述了数学的精神、思想和方法.同时，在他的论著中蕴含着大众数学思想、正确认识数学的学术形态和教育形态的辩证关系对数学教育产生积极作用等深刻思想.自1986年中文第一版至2019年中文第二版的三十多年中，《数学的精神、思想和方法》对中国的数学教育产生了积极影响.

【关键词】米山国藏;数学精神;思想;方法;數学教育

在数学教育领域，当我们提到数学的精神、思想和方法时，就会想到日本著名数学家和数学教育家米山国藏的《数学的精神、思想和方法》一书，自从该书中文版于1986年出版，就成了中国数学教育界的“良师益友”，带来了丰富的思想和观点.仅在中国知网上可以查到参考米山国藏文献的论文就超过了一千篇.从小论文到著作都参考该书，甚至数学课程标准中亦出现“数学精神”的表述，其非凡的学术造诣不言而喻.米山国藏数十载耕耘于数学之精神、思想与方法的钻研之中，加之当时日本在很长一段时间以来，还没有一本论述这方面的书籍，于是，他便着手编写《数学的精神、思想和方法》.米山国藏站在跨学科的立场上，对从古至今渗透在数学领域的精神真谛、重要的数学思想和诸多应用于实际的研究方法与证明策略提出了独到见解.与此同时，针对如何引导学生领悟这些精神、思想和方法，给予了诸多具有启发性的建议.

自1968年《数学的精神、思想和方法》在日本出版以来，便被翻译成多种文字出版，在中国就有两种不同版本.尽管该书已成为中国数学教育者的备读之书，但至今未出现对该书的评介.故写作本文旨在对该书进行深刻剖析，追溯著名数学家、数学教育家米山国藏的学术精髓，并结合米山国藏的其他学术成果，加深对数学精神、数学思想和数学方法重要性的认识，进而认真思考如何在新时代有效运用和发展米山国藏的数学教育思想.这对当今数学的继续发展以及教给学生数学本质、培养其核心素养有着重要意义.

1米山国藏生平简介

米山国藏，日本著名数学家和数学教育家，1877年1月1日出生于神奈川县平冢市的真壁家，1889年3月27日从神奈川县师范学校毕业，经历了中学教师工作之后，1903年毕业于东京高等师范学校，1908年获京都大学数学系理学硕士学位，1910年6月，任该校数学教授.1918年获东北帝国大学理学博士学位，他的博士论文《连续的集合论》对当时日本数学界产生了极大影响，具有划时代的意义.米山国藏在从事数学教学工作之余，还十分关心教师教育.1922年创设福冈高等学校任该校教授，他还担任九州帝国大学工程系教授.其微分方程和复变函数理论课程被称为“对教育倾注热情，被公认为名课”[1].米山国藏还兼任文部省视学委员、文部省中等教员讲习会讲师及培训专家，积极参与教师教育.1926年学术访问德国，并于1930—1931年留学德国.他不断丰富教育经验，逐渐形成了独特的教育理念.1937年退休后兼任福冈高中数学教授.多篇论文发表在日本著名数学杂志《东北数学杂志》上，其位相几何学系列论文多达240页.1917—1918年间学术成果尤为突出，产生了国际性的影响，被多种论著引用.如被R.L.拉姆的“Theory of Set Points”“Enzyklopadie”等引用[2]. 另外，还著有《数学的精神、思想和方法》《数学基础》（全3卷）、《实变量函教论》[3]等.他认为应改革当时日本的教学方法，分清数学的学术形态和教育形态之间的联系与区别，例如将几何学以严谨的学术型知识教给学生是困难的，要发挥教育上的优势，使其变为适合学生思维发展的形式教授，并就社会动向阐述了教法改革的必要性.他于1968年9月1日卒于京都，享年91岁.

2数学的精神、思想和方法

《数学的精神、思想和方法》是米山国藏多年来数学教育实践和研究的结晶.他从始至终坚信数学的精神、思想和方法是数学发展经久不衰、勇攀高峰的基石，也是教育教学的中流砥柱.出于对数学精髓的敏锐察觉，米山国藏着手写作此书.该书自1968年出版以来，受到广泛欢迎，在日本多次再版，八年印行了十次（图1）.1986年《数学的精神、思想和方法》中译本首次出版（图2），第二版于2019年10月出版（图3）.

《数学的精神、思想和方法》的内容，顾名思义，便是以数学之精神、思想和方法为基础拓展开来，为说明其重要性，米山国藏还介绍了因为它们的存在而使得数学发展的情况，即现代数学的面貌.数学的精神、思想和方法得以经久不衰，得助于数学工作者和发现者，随后便谈及从事数学工作的人应该具有的素质.基于传统数学和数学发展的关系，米山国藏着重介绍了数学进步的来源——数学基础，数学就是伴随着这些基础问题的解决历程而不断发展和进步的.

2.1数学精神

1986年，“数学精神”一词随着《数学的精神、思想和方法》一书的中译本首次传入中国而备受关注.米山国藏并没有给出数学精神的精确界定，但在描述数学精神活动时，米山国藏指出，如果我们能熟练地运用数学，它将对解决数学以外的问题非常有效.这一观点与英国经验主义哲学家和教育家洛克的观点不谋而合，洛克指出：“在心智之中养成一种连贯推理的习惯.……学了数学的人遇到机会，就能把这种推理方法迁移到知识的其他部分中去.”[4]米山国藏阐述了七种主要的数学精神，为了更好地探究这些数学精神，笔者做了逻辑图，如下图4所示.

根据《数学的精神、思想和方法》，米山国藏从数学的本质、发展、性质、作用与优势等方面将数学精神总结为七个方面.

应用化的精神使得数学得以产生并运用在生活的方方面面.数学从为数不多的公理开始，通过符合逻辑的组合、推导和证明导出更多的定理和公式而去解决问题.在人类、自然界、社会中的应用表现出其普遍的意义.数学向前发展，就需要不断发现与创新，这便是致力于发明、发现的研究精神的体现.它在数学上必不可少，要靠后人不断探索.其中蕴含着米山国藏对数学教育研究工作者的殷切希望.在学校数学教学中，米山国藏强调要将其植入于数学教科书等载体之中，由老师将其提炼出来，以增强学生敢于探索和勇于实践的能力.

数学各部分内容与方法发展的主要方式体现出扩张化、一般化的精神和组织化、系统化的精神，它在数学发展的历程中随处可见.例如几何学的建构过程，最初由不同的人独立发现几何学各种定理，通过欧几里得首次整理，将几何学组织起来并系统化，从而导致了一门科学的诞生.又如函数概念的一般化，函数基本概念通过七次扩张，最初由莱布尼兹引入“函数”一词，经过约翰·伯努利、欧拉、傅里叶、柯西、黎曼、狄利克雷、维布伦及伦内等数学家地不断更正与改造，由最初的定义、“解析函数”、重新规定对应关系、概念扩广、自变量变域限制的取消、利用变量定义函数到由集合定义函数的扩张等一系列过程，时至今日已经演变为应用广泛的函数概念.数学研究者和数学教育者的常态化奋斗精神对于数学甚至整个科学的发展具有举足轻重的意义.整个数学大厦的发展展现了统一建设的精神，当我们以较高的观点去审视数学，就能发现这种精神的广泛性.小到初等数学，大到高等数学，这种精神随处可见.当正自然数、零和负自然数被我们统一建立起来时，整数数系就应运而生了.解决代数和几何应用题时，我们总是倾向于找出复杂情形中相对简单的一般化思路将问题简化.正是这种精神的助推，统一建设起来的数学才愈加牢固.毋庸置疑，数学是伴随着正确的知识系统逐步发展与进步的.

作为一名现代数学家，米山国藏不仅对数学有较深的研究，而且还涉猎哲学、艺术和文学等广泛的领域.数学讲求人们思考问题时思维的经济化，就是花最少的思维去解决问题.这不仅是数学的作用和优势，更是数学作为一门基础学科持续发展的动力.在大多数人看来，数学是难学的，因为如果不按照数学的逻辑一步一步地学习，你就会因为中途缺少的那几步而使前进的道路困难重重.这里的“思想”，实指“思维”.然而，米山国藏用“思想的經济化”的精神告诉人们，数学是好学的，数学讲求思维的经济化，它是由简单明了的思维与逻辑推理的结合逐步构成的.只要踏踏实实地逐步理解，便可掌握数学的全部内容.循序渐进，才是学好数学的捷径.数学思想的经济化精神源在于奥地利哲学家恩斯特·马赫（Ernst Mach，1838—1916）、法国数学家、哲学家昂利·彭加勒（Jules Henri Poincare，1854—1912）和法国数学家雅克 ？偊b 阿达马（Jacques Solomon Hadamard，1865—1963）等人的思想.正如彭加勒所说：“著名的维也纳哲学家马赫曾经说过：科学的作用在于产生思维经济，正像机器产生劳动力经济一样.”[5]马赫曾经也说过：“一个精选的名词就能使思维有多么经济.……数学是把同一名称给予不同事物的艺术.”[6]数学思想的经济化精神，对数学研究和数学教学具有重要的启发作用.

最后，我们将谈到数学的严密化的精神.众所周知，数学的发展不同于其他学科，不是通过推翻先前的理论而发展，而是通过在前人理论的基础上不断创新，具有逻辑的成长.而使数学大厦变得坚固不可动摇的，便是数学自古以来严密的性质.同时，米山国藏重视数学的学术形态与教育形态的关系.他指出，当数学作为一种教育材料时，我们应考虑适合学生心理发展水平的严密性，即教育的严密性.如我们所学的函数概念，就是随着年级的增加而逐渐加深的.

2.2数学思想

米山国藏认为，数学工作者以严密伟大的精神开拓了无限深远广大的思想空间，他们在其中寻求自己信念的满足和人间的真正幸福[7].书中论述了十种重要的数学思想，如图5所示.

融通数学思想，锻炼思维能力.数学思想是人们对成百上千年来数学发展历程的分析总结得到的，它是使数学无止境地向前发展的精神动力.米山国藏建议数学教师在教学时向学生渗透数学思想，锻炼学生的思维能力.数学的本质在于思考的充分自由，要多鼓励学生勇于探索的精神，培养学生一题多解的能力和习惯，使他们的开放性思维得以提升.就像米山国藏对待传统数学思想与数学进步的关系那样，教师要引导学生正确对待传统数学与数学进步的关系，传统数学于数学的进步犹如双刃剑，既是后者的来源和动力，又可能对数学的发展产生阻碍.对此，在尊重传统数学的基础上，不断对它们去粗取精、去伪存真的加工提炼，使正确的部分得以进一步发展[7]81，才能使数学得以进步.他倡导中小学数学教师在教书时要意识到数学的极限思想，例如在利用“路程时间=速度”这一公式解题时，教师要清楚这里算出来的速度只是平均速度，想要弄清楚每时刻的确切速度，就需要微积分等极限工具.在讲授用“数学归纳法”作为工具解题时，让学生认识到数学公理的不证明性，体会“不定义的术语组”和“不证明的命题组”的思想，等等.

法国诗人诺瓦利斯认为，数学是一门科学，同时也是一门艺术.数学教学中最重要的是让学生体验数学的美，米山国藏赞同诗人诺瓦利斯的观点——数学是科学，同时又是艺术，它是用美的法则形式，去表现其天才的活动的，而且它是靠理性去造就和改善自然[7]238.在教学中，教师的首要任务就是培养和陶冶学生对数学美的感受性和创造力，启迪学生的数学直观与直觉.数学美无时不刻都在体现：图形之中的对称美，在定理公式之中的简洁美和整齐美，以及整个数学所体现的严密美等等.数学又是神秘的，因为它总能在千变万化之中得到亘古不变的数学定律，而数学并不是唯美地追求美，而是在逻辑的真假判断与实践的价值判断的统一中追求美[8].例如，就公理体系来说，19世纪以后，罗巴切夫斯基几何学的创立及其后在数学中掀起的公理化运动.有的数学家就认为，只要任意改变几条公理，就可以自由创造出新的公理系统、新的数学理论，数学就可以脱离实际而发展[9].这显然是一种没有实践价值的理论，脱离了理论或者实践任一方面，都无法体现数学的魅力.法国科学家庞加莱曾说过：“能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人”[7]105.所以，在数学教学的实践操作中，要注意培养学生理论与实践相结合探求真理的能力，感受到数学的神秘美和形态美，加深对数学的兴趣.

2.3数学方法

数学方法作为数学精神和思想的延续，具有重要的实际意义.正如米山国藏所言，通过精神活动产生思想，为了实现思想而研究出方法，作为其结果，就得出了许多数学定理、法则和公式[7]135.这本书介绍了贯穿于整个数学中最广泛的研究方法和证明方法，关注点不仅在上述方法所得的结果上，并且还详细阐述了方法的内涵与具体应用，对如何学数学和教数学提供了有益的借鉴.

在学校的数学教学中，找出对学生所提出的问题的解决方法或证明方法的方针、方法[7]102.教师要明白所教内容蕴涵的原理，以及在其背后庞大的知识系统，做到胸有成竹.作为一名数学老师，看问题要举一反三，了解与题目有关的定理法则，针对学生所提问题，给出全面的解答.例如诸种方程解法的发现就是运用了这种思想方法.

在解决一般问题之际，一般问题包含了多种情形时的解决方法[7]105.对于相对复杂的数学问题，就会包含很多种不同的情况.此时，首先需要从相对简单的特殊情形出发，疏通问题的命脉，然后去解决一般情形以及整个问题.例如对复变量线性函数几何意义的研究，就是通过第一个简单情形Z=f（x）=z+b、第二个简单情形Z=az与第三个简单情形Z=1/z，将这三种简单情形结合起来，就能推出一般的线性方程Z=az+b/cz+d，并对论证方法的本质与推理方法进行了说明.可见，这些常用的方法是推动数学勇攀高峰、蓬勃发展的指明灯.

3米山国藏的数学教育思想

米山国藏凭借数十载数学教学、和科学研究的深厚经验和长期的深思熟虑，凝结成了这本非常有影响力的、不断启发后人的佳作——《数学的精神、思想和方法》，其中蕴含着其丰富而独特的数学教育思想.

3.1理解数学之能，则易贯穿百家

米山国藏认为艺术家、科学家和数学家素质是具有一致性的. 这一点可从德国著名思想家、作家和科学家歌德（Johann Wolfgang von Goethe，1749—1832）的身上体现出来.作为伟大的艺术创作家，他在自然科学所做的贡献同样令人吃惊，他发现了上颚骨片、发现并使用了比较研究法和发生学研究法、研究了“色彩论”等，同时还在地质学、气象学等方面造诣颇深.可以看到，发明与创造新事物的人，不仅在数学创造方面，而且在其它领域，其所具有的素质在本质上是相同的.正如当有人就科技工作者的必修学科向著名的X射线的发现者伦琴请教时，伦琴说了这样一句话：“对科学工作者必不可少的，第一是数学，第二是数学，第三还是数学.”[7]13由此可见，于己于他，数学都发挥着不可替代的作用.所以，理解数学，感受数学之美，则易贯穿百家.米山国藏认为，在数学中运用、训练并得到精炼的精神活动，同时亦是人类的精神活动，会渗透到其他事物中去.实际上，对解决数学以外的问题，若巧妙地应用数学，会非常奏效[7]3.正如米山国藏感慨：如果伟大的发明家爱迪生再有相当程度的数学知识和数学训练的话，不难想象，这会给他的事业带来非常多的好处[7]250.

数学的真谛在于思维的自由开阔，这是数学思维的的奠石之基，使人们打破眼前事物的束缚，调动自己的发现、发明的精神，推动着数学不断发展，人类的精神活动和思维活动亦有了长足的进步，这种精神不断激励着数学家们，才使得他们建立起远远超越现实的思维能力.米山国藏坚信，这种思想，直到遥远的未来，都将永远促使数学与其他科学技术无止境地向前发展[7]69.

3.2培养数学素养，才能终生受益

总结多年的数学实践经验，米山国藏领悟到：“学生们接受的数学知识，毕业进入社会后几乎没有什么机会应用，所以通常出校门不到一两年，很快就忘掉了.然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学的精神、思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等（若培养了这方面的素质的话），却随时随地发生作用，使他们受益终生.”[7]序而数学的精神、思想和方法，对于学生来说，即使今后不再学习和钻研数学，对他们产生的潜移默化的影响也会长久存在，即培养了数学的素养.

米山国藏还在“数学的实验的、直覺的和心理的基础”章节中，通过数概念产生的不同观点阐述自己对直觉与直观的认识.他认为，在教育上看，那些认为数概念的构成与空间概念有密切关系者，就会成为直观主义教授[7]339.这与当今中国培养学生直观想象核心素养有着共通之处，《普通高中数学课程标准（2017年版）》在直观想象核心素养中指出，要提升学生的数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力;增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识;形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的本质[10].研究米山国藏的数学教育思想对现今的数学教育仍然具有重要的借鉴作用.

在传统的教学过程中，研究正面问题往往大大多于研究反面问题及其原因，米山国藏亦认识到了这一点.正如希腊大哲学家苏格拉底“产婆术”讲学方法，首先重视的就是让受教育者察觉自己原来间接的错误或不足，从而使虚心受教育者能够对事物得到正确的认识[11]那样，米山国藏强调了数学悖论在数学中的重要地位，正是因为这些问题使数学家日积月累地开动脑筋去钻研，进而促进了数学的发展.那么在教学中，教师要循着悖论在数学中产生和解决的历史脉络，意识到从反面的问题出发引导学生，进而提高学生的反思能力.

数学是锻炼思维的体操，为教师将数学的思想、方法和法则传授给青少年提供了无数良好的知识和材料.但是，如果只让学生学会书上的知识点、理解课本上呈现的内容，那么，在一段时间之后，学生学到的数学知识将会被遗忘.如果学生头脑中只是对数学有知识层面的认识，学生学到的则是微乎其微的东西.正如米山国藏强调：“若数学教师以及数学书的作者，不去把教材中潜藏的这种精神、这些方法提炼出来，使之表面化，那么，就不能发挥它们应有的效果.”[7]32因此，他建议数学教师将数学知识中蕴含的精神、思想和方法提取出来并加以整理，然后以恰当的方式教给学生，才能令学生受益终生.由此可见，对于教育工作者而言，重要的是多探求蕴含在数学知识之中的思想方法，只有自己先将它们弄清楚，才能够正确地传授给学生.要注重培养学生数学素养的策略，让学生即使忘记了数学知识，但是数学的精神、思想和方法也将深深地铭刻在他们的脑海之中，这才是最好的教育.

3.3善于总结探索，促进与时俱进

从古至今，数学从被发现开始就马不停蹄地向前发展，主要归功于那些数学教育和研究工作者以及热爱数学的人们，是他们发现新的数学定理，并将原有的概念不断地补充和扩张，才有了现代数学的庞大体系.因此，他们拥有着怎样的素质，成了米山国藏主要研究的内容.这种研究为今后数学的发展提供了强大助力.扩张法即数学发展的一般化方法，很多数学的基本概念都是通过一般化而得以扩张.例如我们熟悉的数的概念，从古至今，它从自然数开始，逐步拓展其范围，从而发展到整数、有理数直到超复数，未来也许还会以同样的步伐发展下去.发现法，就是发现原本未被发现的定理和概念等.就像函数概念的发展，傅里叶创造性地发现了关于函数的传统观点从根本上是错误的，经过他的修正，才使得函数的发展走上了正确的道路，为后人的继续研究扫清了障碍.与此同时，要领悟数学发现的两大理论要素——数学发现者的出发点和辅助学科的发展.做数学研究的人还要注意数学以及其它学科的研究动向，对其了然于心，必要时进行应用.

对于数学研究工作者，米山国藏强调了刻苦努力的重要性.只有努力探索，才能给予我们发现的灵感，并将发现归结为“努力—灵感—努力”的过程.数学发展的与时俱进离不开数学研究者的努力.所以，善于总结数学发展的精神、思想和方法，并不断探索新的发展领域，勇往直前，孜孜不倦，就显得十分珍贵了.米山国藏建议数学工作者：“不要局限在过去唯一的几何学、唯一的代数学的狭小范围内，而是从今天无比广阔的数学领域中，去挑选对自己的研究工作最方便的工具，借以建立起比过去更进步、水平更高的学说，创造出应用方面的伟大成果来.”[7]412

3.4尊重学术形态，认识教育形态

米山国藏于1925年之前，在讨论纯粹的学术性数学和大众数学教育的基础上，提出了数学的学术形态和教育形态的观点，并系统地论述了两者的区别与联系，进而给出实现数学教育形态方面的建议.

他认为，要严格区分数学的两种不同形态——纯粹数学和学校数学.与数学家所研究的纯粹数学相反，学校教数学的目的，不仅是培养数学研究者，更多的是培养具有数学素养的公民[12].由此可见，使数学大众化更为重要，使数学大众化就是将数学的学术抽象转化为教育大众化的问题.概其要义，是使数学的学术形态转化为教育形态的问题.因此，他首次提出了数学学术形态的几大优点：（1）从传统数学和现代数学的发展看，要保持数学的绝对的严谨性;（2）学术的数学追求其基础的牢固性;（3）学术的数学有着显著的一般性;（4）学科之间的逻辑关系的明确性;（5）抽象的科学研究的结果，一个学科中定理之间的逻辑关系的明确性.这些优点在与现实发生关系时才能充分显示.米山国藏用德国著名数学家F·克莱因（C·F·Klein，1849—1925）的观点进一步论证了自己的见解.F·克莱因认为，数学的生命在于与现实社会的交流和其应用的丰富性中.抽象的数学犹如学问的枯骨那样，将数学对象仅作为空洞的符号來研究，等于送葬枯骨的钟声那样[12]329.

另一方面，米山国藏用西方的贵族政治和庶民政治的关系来比喻作为学术研究的纯粹数学和民众所使用的数学的关系.这种比喻不一定恰当，但是说明了学术的数学和非学术的数学并非势不两立，而是从它们的起源发展上看，他们彼此之间具有密不可分的关联性.在他看来，现代数学是在欧几里得千辛万苦、殚精竭虑才建立起来并在《几何原本》公理系统基础上发展起来的，而且在两千多年的历史发展中，无数个数学家付出劳动和智慧才能形成的[12]338.因此把这种学术的知识原原本本地教授给青少年是不合适的，无论是在他们的心理、智力和时间等诸方面，都是不可能实现的[13].因此，基于大众数学的观点，将学术的数学内容进行改造，把数学教学方法进行改善，这样才能有效地实施学校数学教育教学[14].换言之，进行大众数学教育的根本在于教材的选择与教授法的改善.

以上所述，是米山国藏的数学之学术形态和教育形态的梗概，他在其多部论著中不同程度地阐述了这一观点.我们再另撰文介绍，兹不赘述.

4结语

米山国藏将自己的一生都献给了数学教育事业，他刻苦研究，一心做教育，培养了无数优秀的数学教师，他的成就不言而喻.为了让自己的数学教育思想指导后世，他留下了这本数学名著，书中包含了大量的数学教学建议与实例.虽然我们无法得到他的亲自指点，但是通过品读他的这本代表作，我们就能够受益良多，他的谆谆教诲，体现出了对数学教育研究工作者和学生的殷切希望.书中对数学本质的论述、学生如何学好数学方法的阐明、数学教师正确教导学生的阐述等都具有重要的启发作用.

（1）理论与实际结合教学，培养数学眼光.

纯数学与数学教育不同，前者是理论研究，而后者则是教授数学知识，需要数学教师知识上的充实以及在实践中的不断探索.数学的教学要传授知识，更要培养学生的应用数学的意识与能力.米山国藏强调数学教育中要理论和实践兼顾，并区分数学的学术形态与教育形态的关系.正如米山国藏所言，日本的教育以实践性教学著称，他们善于发现生活中数学的应用，并在其教科书中体现出来.例如，在三角函数的图象与性质课后延伸中展现了斜切萝卜皮就会得到漂亮的正弦曲线[15]，十分生动，尤其能激发学生的动手制作的兴趣.章末还展示了研究耳机消除噪音以及避免声音泄露的方法，其中的核心技术就以三角函数为模型原理进行.基于此呈现数学与现代科技的密切关系，不失时机地培养学生爱科学、用数学的志趣，进一步启发学生用数学眼光观察世界，值得借鉴.

（2）由简入繁讲数学，培壅数学思维.

米山国藏突出教师在指导学生自己解决问题时的方法，对于抽象的问题，解决它是困难的，应该首先尝试解决同类的简单具体问题，这是研究问题最有效的途径.例如在解决N边形内角和问题时，先引导学生从三角形、四边形、五边形等的内角和开始研究，进而得出答案.在解决问题和发现事物时，从简单推及复杂，从特殊推介一般是米山国藏特别重视的发现法则，也是学习数学的一种思维，通过这种方法更好地引导学生用数学的思维思考世界.

（3）从教育角度教书，体悟数学之美.

米山国藏着重论述了与其教授数学问题本身的知识，不妨利用教育的角度传授给学生数学的精神、思想和方法.例如高中的弧度制，作为课程标准与教师和学生公认的重点内容，弧度制的作用不仅仅体现在作为度量角度的单位上，随着数学学习的深入，因为有了弧度制，使得解决数学问题更加简洁与自然，弧度制因此体现了数学简洁美与自然美.同时作为难点内容，教师可以在弧度制课堂中渗透三角函数的数形结合思想，加强理论与实践的结合.如为学生安排视觉观察和探索的活动，让学生注意到使用半径作为长度单位沿圆的外侧测量弧.使学生了解在杂乱的自然界中，存在着具有美感的数量关系，从而培养学生对数学的真正兴趣.[7]10提高对数学学习的求知欲，才能向着课程标准中的使学生用数学语言表达世界的目标迈进.

《数学的精神、思想和方法》蕴含着丰富的数学思想，其内涵之丰富，对当今培养学生数学素养亦起到重要的指导性作用.米山国藏提出的独到的数学思维道路网，并指出学习数学实则是学习数学所蕴含的精神、思想和方法，它们才是数学炽热的灵魂，学到了就会受益终生.他是日本数学家，但他以勤勉严谨的治学精神和孜孜不倦的教学研究，为世界的数学教育做出了巨大的贡献.我们要铭记米山国藏思想之精髓，并将其运用在教学之中，为数学的发展与进步奉献出自己的一份力量.

参考文献

[1]根生.数学者·米山國蔵の教育観について[M].清水：東海大学 課程資格教育センター論集，2003：12.

[2][日]日本の数学100年史編集委員会.日本の数学100年史（上）[M].东京：岩波書店，1983：265.

[3][日]日外アソシエーツ.20世紀日本人名事典[M].东京：日外アソシエーツ株式会社，2004.

[4][英]约翰·洛克.理解能力指导散论[M].吴棠，译.北京：人民教育出版社，2005：22.

[5][法]昂利·彭加勒.科学与方法[M].李醒民，译.北京：商务印书馆，2017：18.

[6][法]昂利·彭加勒.科学与方法[M].李醒民，译.北京：商务印书馆，2017：22.

[7][日]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛中正，吴素华，译.上海：华东师范大学出版社，2019：110.

[8][日]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛中正，吴素华，译.上海：华东师范大学出版社，2019：81.

[9][日]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛中正，吴素华，译.上海：华东师范大学出版社，2019：238.

[8]代钦.数学教学论新编[M].北京：科学出版社，2018：189.

[9]林夏水.数学的对象与性质[M].北京：商务印书馆，1996：193.

[12][日]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛中正，吴素华，译.上海：华东师范大学出版社，2019：105.

[13][日]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛中正，吴素华，译.上海：华东师范大学出版社，2019：135.

[14][日]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛中正，吴素华，译.上海：华东师范大学出版社，2019：102.

[15][日]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛中正，吴素华，译.上海：华东师范大学出版社，2019：105.

[16][日]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛中正，吴素华，译.上海：华东师范大学出版社，2019：13.

[17][日]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛中正，吴素华，译.上海：华东师范大学出版社，2019：3.

[18][日]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛中正，吴素华，译.上海：华东师范大学出版社，2019：230.

[19][日]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛中正，吴素华，译.上海：华东师范大学出版社，2019：69.

[20][日]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛中正，吴素华，译.上海：华东师范大学出版社，2019：序.

[21][日]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛中正，吴素华，译.上海：华东师范大学出版社，2019：339.

[10]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2017：8.

[11]代钦，李春兰.初等几何问题解决教学研究[M].陕西：陕西师范大学出版社，2010：147.

[24][日]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛中正，吴素华，译.上海：华东师范大学出版社，2019：32.

[25][日]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛中正，吴素华，译.上海：华东师范大学出版社，2019：412.

[12][日]米山国藏.数学之基礎（下巻）[M].大阪：積善館，1925：327.

[27][日]米山国藏.数学之基礎（下巻）[M].大阪：積善館，1925：329.

[28][日]米山国藏.数学之基礎（下巻）[M].大阪：積善館，1925：338339.

[13][日]米山國藏.数学の発達及び発見に就いて[J].東京物理学校雑誌，1926（420）：399.

[14][日]米山国藏.純正数学の発達変遷と其数学教育に及ぼす影響[J].東京物理学校雑誌，1934（506）：119.

[15]高橋楊一郎等.《数学Ⅱ》[M]. 東京： 啓林館， 2017.

[32][日]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].毛中正，吴素华，译.上海：华东师范大学出版社，2019：10.

作者简介张露露（1996—），通讯作者，女，内蒙古赤峰人，内蒙古师范大学科学技术史研究院博士研究生;主要从事数学史与数学教育研究.

代钦（1962—），男，内蒙古师范大学科学技术史研究院教授，博士生导师;主要从事数学教育、数学史和数学哲学教学与研究工作.