高中生数学问题提出和问题解决能力间的关系研究

【摘要】本研究选择上海市某市属重点中学高一年级学生进行调查，使用相同情境不同要求的3对任务组成数学问题提出和数学问题解决测试卷，测量学生的数学问题提出和问题解决表现.研究发现，学生数学问题提出表现整体一般，提出了一定数量的合理性问题，但提出的拓展性问题较少;学生问题解决表现整体良好;学生问题提出和问题解决表现具有一定相关性.

【关键词】问题提出;问题解决;问题提出和问题解决间的关系;高中生

1引言

爱因斯坦（Einstein）曾说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”.作为数学教育界的两大研究热点，数学问题提出和问题解决两者相互联系、相互作用，二者之间关系的研究也受到学者们的关注，蔡金法总结了问题提出领域的十大研究主题，其中第五个主题就是“问题提出和问题解决有何关系”[1]，但是数学问题提出和问题解决間的关系目前尚无定论，需要结合具体情境具体分析[2].

本研究主要围绕以下三个问题：高中生数学问题提出能力的表现如何？高中生数学问题解决能力的表现如何？高中生数学问题提出和问题解决能力间的关系如何？尝试测量学生数学问题提出和问题解决的表现，并进一步深入挖掘两者之间的关系，以期为未来的研究与实践提供一定的参考与启示.

2研究设计

2.1研究对象

本研究选择上海市市级重点高中Y中学高中一年级学生作为研究对象.具体选取2个平行班（记作A班和B班）和1个文科实验班（记作C班）进行了正式测试，其中高一A班有效被试包括男生11人，女生15人，高一B班男生12人，女生15人，高一C班男生16人，女生18人.

2.2研究工具

本研究设计了相同情境不同要求的3对任务组成高中生数学问题提出测试卷、数学问题解决测试卷作为研究工具.其中问题提出测试卷要求学生根据问题情境提出难度较低、中等、较高的三个问题;问题解决测试卷要求学生根据问题情境回答三个难度不同的数学问题.为减少问题提出对问题解决的影响，问题解决测试在问题提出测试之后两周进行.

本研究所选择的自由、半结构化、结构化三种情境，皆参考改编于已有的成熟研究，这些情境经历多次学生测试，本身可靠性较高，具体见表1.

2.3数据编码与分析

如图1，参考以往的分析框架[3，4]，将学生提出的数学问题分为非合理性问题和合理性问题，合理性问题分为拓展性问题和非拓展性问题，其中非拓展性问题包括记忆与操作、理解与联系两个水平，分别赋值1分与2分，拓展性问题包括反思与拓展水平，赋值3分.

对于学生的问题解决评价，借鉴QUASAR项目上计算得分的方法[5-6]，对学生问题解决的整体过程进行评估，按照学生的思维过程和综合表现进行赋分，而不是单指某个踩分点，每道题目分为5个得分等级，具体评价标准见表2.

3研究结果

3.1问题提出表现分析

3.1.1问题提出合理性表现

由图2可见，全体学生提出了一定数量的合理性问题（75.30%），约占提出全部问题的四分之三.究其原因，本研究所选择的研究对象其数学基础较好，上海市基础教育水平处于全国教育的高地，Y中学为上海市市级重点高中，办学成绩优异，通过与Y中学多名班主任和数学任课教师的交流，该学校学生兴趣爱好广泛，思维活跃，并开设多门数学拓展类课程，具有较为良好的数学基础，因此提出了较多的合理性问题.

全体学生在半结构化情境“铃声任务”中问题提出合理性的表现明显好于其它两个情境，具有统计学意义上的显著差异（x²=68.495，p<0.05）.结构化程度过高或者过低都会对学生的问题提出的合理性产生一定的限制，题目结构化程度过低学生会无法补充合适的条件，导致无问题可以提出;题目结构化程度过高学生会受已有完整题目结构的限制，导致学生无问题可以提出或提出与原有题目结构相冲突的错误问题.

由图3可见，无论是全体学生还是具体到各个班级，男生提出问题合理性的占比都高于女生，尤其高一A班最为显著.使用SPSS对学生问题提出合理性表现和性别进行卡方检验，得到全体学生x²=11.391，p<0.05;高一A班x²=15.423，p<0.05;高一C班x²=6.459，p<0.05，不同性别学生提出合理性问题的表现存在统计学意义上的显著差异，而高一B班x²=0.187，p=0.665>0.05不存在.

3.1.2问题提出拓展性表现

由图4可见，学生提出的拓展性问题较少，全体学生提出的拓展性问题，约占提出全部问题的五分之一，约占提出合理问题的四分之一，学生所提出合理性问题大部分为非拓展性问题.

由图5可见，全体学生在自由情境中提出拓展性问题无论是占总问题还是占拓展性问题的比例明显高于其它两个情境，学生在自由情境、半结构化情境、结构化情境三个情境中提出拓展性问题在总问题中的占比分别为21.4%、14.0%、13.0%，拓展性问题在合理性问题中的占比分别为32.2%、15.0%、19.9%.使用SPSS对在总问题中的问题提出拓展性表现和班级进行卡方检验，得到x²=6.048，p<0.05，对在合理问题中的问题提出拓展性表现和班级进行卡方检验，得到x²=19.902，p<0.05，可见不同情境中学生提出拓展性问题的能力存在不同，具有统计学意义上的显著差异.

究其原因，自由情境是开放性的，虽然所提供的信息并不充足，并不包含一个完整的问题结构，但是给学生提供了非常大的自由空间，学生可以在进行数学问题提出时展开丰富的联想，对情境中的信息进行适当的补充与拓展，从而提出更多的拓展性问题.

由图6可见，无论是全体学生还是具体到各个班级，男生提出问题拓展性的占比都高于女生，尤其高一A班最为显著，其中男生提出问题拓展性的占比为32.4%，女生提出问题拓展性的占比只有8.3%.使用SPSS对全体学生及各个班级学生的问题提出拓展性表现和性别进行卡方检验，得到全体学生x²=11.879，p<0.05;高一A班x²=18.359，p<0.05;高一B班x²=2.134，p=0.144>0.05;高一C班x²=2.753，p=0.097>0.05，可见高一A班男女学生提出合理性数学问题的能力存在不同，且具有统计学意义上的显著差异，而高一B班和高一C班不同性别学生提出合理性数学问题的能力并不具有统计学意义上的显著差异.

与问题提出合理性与是否有性别上的差异一样，不同性别学生提出拓展性问题的能力是否具有差异并没有统一结论，随着研究对象的不同研究结果可能存在差异.

3.2问题解决表现分析

由表2可见，学生的问题解决表现整体良好.全体学生在整张问题解决测试卷的平均分为25.09分，学生完整且正确解答一道题目得分为4分，平均每位学生完全作对6道题目.具体到每道题目，随着问题难度的上升，学生在每道题目上的平均分相应降低，学生在难度较高的拓展性问题上表现相对较差.

对不同班级在每道题目上的平均分进行F检验，结果发现，三个班级在9道题目的平均分都未存在显著性差异.究其原因，根据已有的经验，学生的问题解决表现与其学业成绩相关性最大，即数学学业成绩好的班级其问题解决表现应当更好.如研究设计中所介绍，高一A、B两班为普通班，两个班级数学学科由同一教师任教，C班为文科实验班，三个班级数学学业成绩未呈现显著差异，因此三个班级的问题解决得分未出现显著差异.

对不同性别学生在各题目上的平均分进行独立样本t检验，检验结果显示，不同性别学生在各个题目上的得分表现不存在显著差异.

3.3问题提出和问题解决之间的关系

使用SPSS对全体学生和不同班级学生问题提出得分和问题解决得分做Pearson相关性分析，得到结果如表3.全体学生数学问题提出成绩和问题解决成绩的Pearson相关系数为0.616，在P<0.01水平上呈显著相关，说明学生问题提出能力与问题解决能力是正相关的，统计学上具有显著意义.

换言之，问题解决能力强的学生往往提出更多的合理拓展的数学问题，问题提出能力强的学生其问题解决表现往往也更好，这个结论支持了大多数问题提出和问题解决间关系研究的结论，进一步拓展了该主题的研究.

具体到各个班级，高一A班、B班、C班学生数学问题提出和问题解决得分的Pearson相关系数分别为0.674、0.766、0.481，都在P<0.01水平上呈显著相关性，说明三个班学生问题提出能力和问题解决能力都是正相关的，具有统计学意义上的显著相关性.

另外，对三个班级数学问题提出得分和问题解决得分的Pearson相关系数进行比较可以发现，高一C班学生Pearson相关系数明显低于其它两个班级，表明文科实验班C班学生数学问题提出能力与问题解决能力的相关性较其它两个班级相对较弱.

使用SPSS对全体学生在不同情境中的问题提出得分和问题解决得分做Pearson相关性分析，得到结果如表4.

由表可见，学生在自由情境、半结构化情境、结构化情境中数学问题提出得分和问题解决得分之间的Pearson相关系数分别为0.447、0.304、0.614，都在P<0.01水平上相关性显著，说明学生无论是在自由情境、半结构化情境还是结构化情境中，问题提出和問题解决能力都是正相关的.

另外，通过对三个情境数学问题提出和问题解决得分的Pearson相关系数进行比较可以发现，结构化情境其Pearson相关系数最高，说明学生在结构化情境中数学问题提出与问题解决能力展现出较强的相关性，而在半结构化情境和自由情境中问题提出和问题解决间的相关性会相对较弱.

无论全部班级还是具体到各个班级，不同性别学生问题提出得分和问题解决得分都呈正相关性.使用SPSS对不同性别学生问题提出得分和问题解决得分做Pearson相关性分析，得到男生问题提出和问题解决得分之间的Person相关系数为0.635，在0.01水平上显著相关，女生问题提出和问题解决得分之间的Person相关系数为0.628，在0.01水平上显著相关.

4结论与建议

整体来看，学生数学问题提出能力一般，研究对象提出了一定数量的合理性问题，但提出的合理性问题大部分为非拓展性问题;学生数学问题提出表现存在情境上的差异，研究对象在半结构化情境中提出了更多的合理性问题，在自由情境中提出了更多的拓展性问题.

学生数学问题解决能力整体良好，在解决拓展性问题上的表现较差.学生数学问题解决能力未发现具有性别、班级上的显著差异.不同性别、班级的学生，无论是在总分还是具体到各个题目的平均分并不具有统计学意义上的显著差异.三个班级数学学业成绩不存在显著差异是三个班级问题解决得分未出现显著差异的原因.

学生数学问题提出和问题解决能力具有一定的相关性，数学问题提出表现好的学生，其数学问题解决能力往往更强，数学问题解决能力强的学生，其数学问题提出表现往往更好.

参考文献

[1]CAI，J.，HWANG，S. & JIANG，C.，et al. Problem-posing research in mathematics education：Some answered and unanswered questions[M]. New York，NY：Springer，2015：3-34.

[2]郑雪静，汪秉彝，吕传汉.中小学生提出数学问题能力评价探究[J].数学教育学报，2007（03）：49-52.

[3]斯海霞.高中生数学问题提出能力发展进程研究[D].上海：华东师范大学，2014.

[4]Cai，J. & Hwang，S. Generalized and generative thinking in US and Chinese students' mathematical problem solving and problem posing[J]. Journal of Mathematical Behavior，2002，21（04）：401-421.

[5]LANE，S. The conceptual framework for the development of a mathematics assessment for QUASAR[J].  Educational Measurement：Issue and Practice，1993，12（02）：16-23.

[6]宋乃庆，胡睿，蔡金法.用问题提出和问题解决测试小学生对平均数的理解[J].数学教育学报，2020，29（03）：1-8.

作者简介朱树金（1997—），男，山东滨州人，华东师范大学教师教育学院硕士研究生，杭州高级中学钱塘学校教师;主要从事数学课程与教学论研究.