浅语的艺术：启动系统思维，透析数学本质

樊无双

[摘  要] 小学數学教材是依据儿童的年龄特征，在量力性的原则基础上进行编写的，它取材于学生当前的生活实际，注重直观，诉诸感性，由浅入深，难点分散。部分教师在解读小学数学教材的核心概念时，存在含糊、片面和碎片化的问题，容易满足于学生在具体直观层面的理解，忽视教学内容的整体性和系统性，忽视学生对概念本质的理解，从而影响学生对概念价值的体会和数学素养的培养提升。因此，小学数学教学应坚持浅而不错，分而不碎，从整体的角度进行设计和思考。

[关键词] 小学数学;数学概念;核心价值;生活;知识脉络

小学数学姓“小”但不小。张奠宙教授的力作《小学数学教材中的大道理》，所给予我们的最大启示就是不要“小看”了小学数学[1]。在面对小学数学教材时，在解读教材的过程中，一线教师很容易出现含糊、片面甚至碎片化等诸多问题。我们需要警觉的是，小学数学教材中的核心概念绝不因学段低而小，教学概念时可以浅但绝不能错，可以分但专业性和系统性不可或缺。

一、追溯“算理”：正本清源不含糊，厘清本质来构建

1. 质疑运算的“结果论”

张奠宙教授在《小学数学教材中的大道理》一书中用浅显的语言提醒我们：在小学数学教学中，只关注到运算的结果就行了吗？运算过程的差异无关紧要吗？在教学加法与乘法交换律时，笔者就有这样的疑惑：交换律需要教吗？用一些算式来验证，利用不完全归纳法得出交换律，这样教行吗？在这个过程中，我们究竟教给了学生什么？

2. 清晰过程的“区别度”

我们只是在学生已知交换两个加数（乘数）的位置，和（积）不变这一规律的情况下，再进行了一次毫无深度的总结罢了。正如张教授所说，“交换律只能说明交换两个数的次序后结果相同，而过程是有区别的”，这过程中的区别恰恰就是我们需要深入挖掘的地方。从本源上说清为什么可以交换，比我们用很多例子来验证交换律要有意义得多。

加法的本质就是“数数”，在a的基础上接着数b，和在b的基础上接着数a，是两个有区别的添加或合并活动。我们在教学加法时，是否注意并区别了呢？只有追溯加法的本质，才能真正说清楚交换两个加数的位置和不变的道理。

乘法是相同加数和的简便计算。我们在一开始教学乘法时就直接告知学生：a个b相加可以用a×b或者b×a两个算式来表示，并不利于学生对乘法意义的理解，甚至会间接导致乘法交换律的说理也出现问题。因为这样的教法在告诉学生：两个算式都可以表达a个b相加的和。那交换两个乘数的位置，积不变不就是很显然的事情了吗？此时再列举诸多a×b=b×a的例子又是何意呢？追溯乘法的意义，我们应当将a个b相加与b个a相加两者区分开来，从而在两种不同的数数方法中明确乘法交换律之所以成立的道理。这并不是因为a×b和b×a都可以表示a个b相加的和，所以a×b=b×a，而是因为a个b相加与b个a相加数数的方法不同，结果相同，所以a×b=b×a。

3. 追溯运算的“大道理”

正本清源，摒弃学生在算理不清的前提下进行猜想和验证，利用“数数”活动让学生从本源上理解交换律成立的道理，体验数学方法，感悟数学思想，逐步构建起数学知识体系。同样，在教学其他运算律和性质时，也应当追本溯源，从加减乘除的运算本质上展开探究，让学生不仅知道规律，而且能从本源上理解之所以有此规律的原因。

在苏教版教材中还有一些因学生群体理解能力和思维水平的限制，无法深入展开或直诉根本的问题，对此我们应当结合学生的认知水平，利用基本的数学活动，在学生已有的知识基础上，为他们讲清他们能够懂的道理，而不能含糊。

二、还原“概念”：意义建构不片面，核心价值要凸显

1. 关注姓小的“准概念”

张教授在书中提醒我们：小学数学姓小，许多概念都是临时性的、准逻辑性的。事实上，考虑到小学生的认知发展规律，教材的编辑采用了简化、儿童化的表达方式。那么，问题就来了：小学阶段的一些概念严格来说并不具有严谨的逻辑，像这样的阶段性定义是否需要反复强调，甚至背诵以加强记忆呢？

2. 强化精准的“内价值”

比如方程在教材中的定义是这样的：“含有未知数的等式叫方程。”张教授指出应该用这样的定义来替换：“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。”两相比较，我们发现，教材中的定义并不严谨，因为并不是所有含有未知数的等式都是方程，比如描述运算律的字母式，用字母表示的公式、函数等在意义上与方程是不相同的。更重要的是，对方程的理解，不能停留于它的外在表现形式，方程思想的本质以及它的意义和价值才是我们需要把握的东西。的确，方程不是“花架子”，不是为了让未知数华丽出场而产生的形式，是因为有时用算术方法求解未知数，该过程是逆向思考数量关系，理解起来较困难，此时可以先构建出未知量和已知量之间的等量关系，从而将对数量关系的逆向分析转化成顺向分析，简化分析过程，再求解未知数。这才是在教学中要让学生体会到的方程的意义和价值。

因此在方程概念教学中，我们要避免形式化，不能仅仅抓住方程的外在形式做文章，而要紧紧抓住方程的实际意义，从厘清数量关系的核心价值方面进行探究，将方程思想的解题价值凸显出来。

3. 打开后续的“校准器”

再如比的定义：“两个数相除，又叫做两个数的比。”其实，在刚开始学习比时，学生是比较模糊的，并不能对这一定义产生认同感。学生认为赛场比分也是比;几比几并没有写成几除以几的样子，为什么要说是两数相除呢？我们已经学过两数相除的运算，为什么还要用比号替代除号呢？比究竟有什么价值呢？

在后续的练习中学生积累了一定量的相关素材，慢慢体会到比的本质意义不在于两数相除的运算，而在于它能够表示两数间的份数关系。学生此时才真正理解和接受数学上的比和生活中的比大不相同，即赛场上的比分不是看倍比关系，而是看得分的分差，也能理解为什么要学习比：比并不仅仅是除法的另一种表示，它的内涵价值并不是片面理解定义所能得到的。

总之，在理解数学概念时，不能止步于表面，滿足于当前的“准概念”，因为对这些数学概念进行生硬的解读和形式上的辨析并不能让学生得到真正意义上的理解和有意义的建构。教师应当追寻数学概念的核心价值，在理解概念本质意义的基础上实现对概念的意义建构。

三、数化“抽象”：源于生活不止步，高于生活是数学

1. 区分“数·生活”

数学与生活有着紧密的联系，学生的生活经验也是我们组织有效教学的重要考虑因素之一，然而数学绝不能与生活混为一谈，必须加以区别和提升。

2. 提升“数·高度”

以用数对确定位置这一教学内容为例，张教授希望教师能够在教学中不局限于生活实际，提升数学的高度，在和直角坐标系的对照中走向数学化。的确，生活习惯和数学规范之间存在着差异，生活习惯无法则，难统一，但是数学规范、严谨并且系统。

用数对确定位置的教学，要有从生活直观到数学抽象的过程，在抽象中体会数学表达的准确、简洁。在教学确定位置前，有少部分学生直接使用第几排第几个这样的说法来表达小军在教材图中的位置。大部分学生对此持怀疑态度，因为究竟先数横排再数竖排还是先数竖排再数横排，从哪个方向开始数，表达前并没有加以说明，此时这样的说法不便于与他人交流，或者可以说并不准确。于是学生对位置的表达进行了完善。然而想要准确表达位置，可以使用日常生活的不同说法：横行、排、竖列……也可以选择不同的方向：从左往右、从后往前……还可以选择不同的顺序：先说横行再说竖列、先说竖列再说横行……表达多样不统一。最终统一规则，学生就能够用第几列第几行准确表达小军的位置。前后对比，说法差不多，为什么说一开始的第几排第几个不准确，而现在的第几列第几行是准确的呢？原来准确简洁表达位置的前提是数学规则的统一。

用数对确定位置的教学，还要有数形结合的对照，在对照中体会点的位置规律，初步感知函数。当我们能够用数对来确定位置时，那么位置的特殊性和规律性就从数对中体现了出来。在数对与位置规律的找寻中逐步渗透函数的思想，让学生不再仅仅着眼于生活中具体的位置，而放眼于数学二维平面中抽象的位置。

用数对确定位置的教学，更要有数学规范和生活习惯的对比提升，在对比中明确数学规则的严谨性，从而构成严密的位置系统。学习数对后，我们再回头审视电影院座位、高铁座位等生活中简洁的位置表达，在对比中再次升华，感受数学表达在规则统一之下的简洁性、统一性、唯一性和系统性。

数学源于生活，但高于生活。数学知识可以从生活中来，但更要走到数学中去，从学生熟悉的生活素材出发，将新知和学生的经验、已知对接，再逐渐抽象走向数学。在数学与生活的区别、对比、提炼中，学生真切感受数学的准确、简洁、规范、系统……

四、编织“数网”：知识脉络在心中，贯通融会知本源

1. 长线关联，摸清“数脉”

张教授指出：“我们必须坚持浅而不错、分而不碎，着眼于数学素养的养成。相应的教材设计则要避免零敲碎打、随意编排，忽视教学内容的整体性与系统性。”[2]是啊，如果教师只盯紧所教的一知识点、一课时、一单元、一学期、一学年、一学段，只看当下，不看长远，那么何谈提升学生的数学素养呢？

2. 顶层设计，绘制“数图”

以图形与几何的维度概念为例，教师的教学设计应当注重“顶层设计”，将图形与几何概念间的联系有机地整合贯通。点动成线，线动成面，面动成体;体上有面，面上有线，线上有点;线是一维的，面是二维的，体是三维的;一维的长度单位相邻进率为10，二维的面积单位相邻进率为102，三维的体积单位相邻进率为103;测量线段的长度是用短线段量有几个长度单位，测量面积的大小是用小面量有几个面积单位，测量体积的大小是用小物体量有几个体积单位·····图形与几何的维度概念仿佛是一座金字塔，概念上下贯通，横向间又衍生出其他几何概念，形成了纵横交错的几何概念体系。

当然几何概念也不是独立的，图形与几何、数与代数、统计与概率都是互融相通的。比如对等差数列计算方法的理解可以与梯形面积公式相结合;先求和再计算平均数的方法可以与移多补少相结合;对可能性相等的理解可以与统计图折线的波动幅度相结合;对长度、面积、体积单位进率的理解可以借助一维的线、二维的正方形面，三维的正方体……

3. 系统思维，编织“数网”

数学概念绝不是孤立存在的单项知识，或是由单项知的简单组合而成的高层次知识。教师只有将前后左右的相关概念了然于心，才能将分学段教学的知识点灵活地贯穿成线，交织成网，从而进行结构化、系统化的教学，让学生从局部认识整体，在整体中加深对局部的认识，真正做到融会贯通。

读完《小学数学教材中的大道理》一书，笔者深刻体会到小学数学教材不容小觑，它其中隐藏着诸多大道理等待我们去探索挖掘。对于教材，我们不能低估其中的含金量;对于概念，我们要厘清本质不能含糊，关注其内在意义和价值;对于数学，我们要用高于生活的眼光看待它，看到其中庞大的内在系统。笔者深刻认识到自己对数学概念的认识有着很大的不足，张奠宙教授对小学数学教材的潜心研读让笔者深受感动与鼓舞。作为一线数学教师，笔者将响应张奠宙教授的号召，关注对数学核心概念的理解和对数学概念本质的研究，为提升学生的数学素养而努力。

参考文献：

[1]  冯桂群. 言语与符号：培育数学思维的重要表征[J].教学与管理，2019（20）：34-36.

[2]  沈利玲. 数学思维可视化工具的类型及其应用[J]. 教学与管理，2020（17）：48-51.