依托数学思想方法 统领课堂深度教学

夏玉英

[摘  要] 以结构化教学为准绳，依托数学思想方法，借助不同的分析策略从不同的角度进行探索，寻找到解决分数实际问题的有效途径，提高学生的解题能力，提升数学素养。

[关键词] 分类;转化;类推;数形结合;数学思想方法;结构化教学

（百）分数实际问题的教学，一直以来是小学高年级教学中困扰教师的一大问题，也是学生在小学阶段最难掌握的知识点，同时又是初中学习典型应用题（工程问题、行程问题、百分数系列问题等）的一个重要基础。可以说，分数实际问题的学习，是集整个小学阶段解决问题策略的综合，是培养学生利用数量关系分析问题、解决问题的主阵地。但是在教学实践中，发现很多学生在解题时常常无从下手，凭感觉解题，有的甚至完全靠套例题解答，问题到底出在哪里？经过对这些学生课后作业的反馈以及与他们的交流的分析，发现导致解题障碍的主要原因有：（1）对分数意义的理解仍停留在直观理解阶段，无法辨析一般分数实际问题和典型的分数实际问题的区别与联系;（2）无法沟通典型分数实际问题和旧有知识“倍数问题”之间的联系;（3）对于具体情境中的关键句，不理解分率所表述的意义，无法判断单位“1”的量;（4）数量关系混乱，找不准量率（量额）的对应关系。

针对以上（百）分数实际问题的教学现状的分析，结合本人长期从事高年级的实践教学，笔者试图以结构化教学为准绳，以数学思想方法为导引，对教学策略进行探索，寻找到分数实际问题教学的有效途径，着实提高学生的解题能力，促进学生数学素养的全面提升。

[?]一、分类归档，解决“我是谁”的问题

作为教师，不管教学哪个知识点，都要站在一个制高点上分析教材的知识系统，以知识的结构化进行教学，知识只有系统化、条理化后，才有助于学生形成良好的思维结构，从而更好地掌握知识。分数实际问题具有它独有的解题规律和系统，并不是毫无章法的，所以我们不能以点就点零散教学。在学生学习到一定的阶段后，我们可运用分类思想，帮助他们将一些看似无规律的知识信息进行系统整理、归纳，并按内在联系分门别类，努力引导学生建立一个相对完整的、合理的知识结构，帮助他们形成一个融会贯通的数学认知结构，从而提高学生的系统思维能力。

学生学习了分数意义后，在五年级下册引入相应的分数加减法计算的实际问题，在六年级上册引入简单的分数乘法的实际问题。这时就可以通过以下练习，引导学生对这些分数问题进行分类归档：

【对比习题一】

（1）小明平均每分钟步行千米，10分钟可步行多少千米？1小时呢？

（2）学校食堂计划十月份用煤吨，实际比计划节约了，实际节约多少吨？

（3）学校食堂计划十月份用煤吨，实际比计划节约了吨，实际用煤多少吨？

（4）夏老师的身高是米，李正扬比夏老师矮米，李正扬的身高是多少？

（5）拖拉机耕一块地，每小时耕这块地的，一共工作8小时，耕了这块地的几分之几？

（6）食堂有5吨煤，用去了，还剩几分之几没有用完？

分数既可以表示一个数（即具体数量），又可以表示两个量的倍比关系 （即分率）。它的意义扩展，造成分数比小数和整数难理解，不过，学生在充分理解分数意义的基础上，都能分辨以上实际问题中的数量分数和倍比分数，并能以此分类：

第一类：（1）（3）（4）题，其中的分数作为一个数（即具体数量）存在，与整数和小数是一样的，只是数的形式发生了变化，解答这类实际问题的思考方法与整数和小数一样，都是借助最基本的四大类数量关系来解决。

第二类：（2）（5）（6）题，是有关倍比分數的实际问题。这几题又可以细分为两种情况：

一种情况：（5）（6）两题同属工程问题，解题列式的背后还是以四大数量关系为支撑，不过要注意区分给出的条件是数量分数还是倍比分数，煤的总数所对应的分率就是“1”，明确倍比分数（分率）与数量分数是不能直接相加减的。以上都是五年级下册的知识点。

另一种情况：（2）题，它是本文所阐述的重点。这类的实际问题有三种基本题：①求一个数的几分之几是多少（求分率对应的具体量）;②已知一个数的几分之几是多少，求这个数（求单位“1”的具体量）;③求一个数是另一个数的（百）几分之几（求分率）。这三种基本题是相互联系也可以相互变换的，求解时必须明确倍比分数是一种关系，是占单位“1”的几分之几，是随着单位“1”的变化而变化的，必须借助“单位1”才能算出其对应的具体量。

教师通过以上分类归档的教学，让学生对所学的知识点有了初步的系统认识，初步掌握（百）分数实际问题的整体框架结构和方法结构：对不同的分数实际问题，先分析、判断属于哪类知识点，即归档，再思考需要用哪个对应的解题方法。训练学生的系统思维，培养学生思维的深刻性，使从一开始的“生搬硬套”向“灵活运用”的转化变为可能，为接下来更深入学习典型的分数乘除法做好铺垫，逐步提高学生全面分析、解决分数实际问题的能力。

[?]二、类比对接，解决“从哪里来”的问题

学生对教材知识整体的框架结构、方法结构有了一定的了解，解决了“我是谁”的问题后，接下来就需要解决“从哪里来”的问题，即深入了解知识形成的过程结构的问题。

数学说到底是研究“关系”的学科，从小学教材的编排来看，分数实际问题的本质就是倍数问题的延伸和拓展，它的核心问题就是研究单位“1”、对应量、对应分率，对应着倍数问题中的1倍数、几倍数、倍数，所以只要理清它们之间的关系，解答典型的分数实际问题，无论是解题的步骤还是分析的方法，都是有规律可循的。

学生明白了以上知识展开逻辑顺序后，就可以从起始课开始，不断地提炼、比较、呼应，引导学生主动迁移和应用过程结构，沟通新旧知识之间的联系。在后续的同类课型练习中，可将其转化成新的学习工具和新的认知结构，从而再复杂的分数问题都能迎刃而解。

由此笔者设计以下对比练习，借助线段图，让学生感受量率之间的对应关系与倍数和几倍数之间的对应关系是一致的，打通这两者之间的内在联系。

【对比习题二】

（1）张伯伯家养鸡18只，养的鸭是鸡的3倍，张伯伯家养鸭多少只？

（2）张伯伯家养鸡18只，养的鸭是鸡的，张伯伯家养鸭多少只？

（1）题根据关键句“养的鸭是鸡的3倍”，画线段图，可知1倍数是鸡的只数，3倍这个份额对应的量是鸭的只数，数量关系：鸡的只数×3=鸭的只数。同一条线段，既可以用3份来表示，也可以用鸭的具体数量54只来表示，这就叫对应，是具体数量和份额的对应（图1），即“量”与“额”的对应。

同理，（2）题根据关键句“养的鸭是鸡的”，可知单位“1”的量也是鸡的只数，这个分率对应的量是鸭的只数。数量关系：鸡的只数×=鸭的只数。同一条线段，既可以用来表示，也可以用鸭的具体数量12只来表示，这也叫对应（图2）。逐步渗透每一个具体数量与其分率，即“量”与“率”的对应。

通过再次对比两幅线段图的对应关系发现：1倍数×倍数=几倍数，单位1×分率=分率对应的具体量，此处的单位“1”相当于1倍数，几倍数相当于比较量，分率相当于不满1的倍数。求一个数的几分之几是多少（分数乘法实际问题），其实就是由“求一个数的几倍是多少”演化而来的，所以，求一个数的几分之几是多少，也要用乘法来计算，其数量关系的本质是不变的。

通过以上上下位知识的对比练习，让学生对典型的分数实际问题和倍数问题数量之间的相似性质、陌生的问题与已有的旧知进行比较，找到知识的共性，把新学的、抽象的分数问题与已有的旧知“倍数问题”联系起来，使得原先“模模糊糊，似懂非懂”的认识转变为更清晰、更准确的认识，实现知识结构的迁移同化，渗透类比数学思想，由此得出此类分数实际问题的基本等量关系：单位“1”的具体量（标准量）×分率=分率对应的具体量（比较量）。后面所涉及的复杂的分数乘除法实际问题（求单位“1”的具体量、求百分数……）都是围绕这个核心数量关系展开的。在教学过程中，教师应完善、充实认知结构，提高学生的类比思维能力，为学生解决典型的复杂分数实际问题打下扎实的基础。

[?]三、转化突破，解决“如何做”的问题

解决了分数实际问题中“从哪里来”的问题，明白了分数实际问题的基本数量关系后，再围绕这个数量关系，去抓“怎么做”的问题。就小学阶段的分数乘除法实际问题而言，单位“1”的正确理解和确定，是解答分数实际问题的前提和关键，只有真正地将单位“1”找准了，学生对整个问题才会有一个极其清晰的认知，进而在解题正确率上也会有所保障。

1. 转化关键句，找准单位“1”，正确理解意义

中低年级学习倍数问题的时候，只有“谁是谁的几倍”或“谁的几倍是几”这样单一的叙述形式，因而通过上述第二个环节，和倍数问题进行上下位的对接后，学生能解决简单的典型的分数实际问题。对“谁是谁的几分之几”这样的标准叙述形式，学生能正确找出单位“1”的量，得出单位“1”、对应量、对应分率这三者之间的基本数量关系。只是随着问题的复杂化，其条件的叙述形式也会呈现出变化多样的表达形式，如“第二天比第一天多看了”“从甲地开往乙地，已行了”“一个书包原价154元，现在降价20%”，等等。这是学生理解的难点，难在这些都不是标准的叙述形式上。因此教学的重点可放在关键句的转化上，转化成标准的结构形式，明确题中的分率是求谁的几分之几，那么谁就是单位“1”的量，加深学生对分数意义的理解，尽可能通过“日常语言”这个谜面快速地找到“数學语言”这个谜底，通过对关键句的转化训练，建立并强化量与率的对应关系。学生在学习过程中，自然而然地发现规律：两个量的比较无非就是部分量与总量、两种同类数量、原数量与现数量之间的比较。如“水结成冰后体积增加了，冰融化成水后，体积减少了”，学生在学习实践中很容易搞清楚变化前是谁，谁就是单位“1”：前半句，变化前是水，变化后是冰，所以单位“1”是水的体积。冰比水多的体积是比较量，转化成标准的叙述形式为“冰比水多的体积占了水的”。所以，在教学的起始阶段，通过以上对关键句的转化训练，学生熟练判断找出各种条件中的单位“1”（标准式、比较式、省略式等），对后续寻找量率对应关系提供了保障，为列出数量关系式打下了扎实的基础。

2. 数形结合，找准量率对应，灵活解决问题

如果说找准单位“1”的量是解决（百）分数实际问题的前提，那么找到题中的量率对应关系是准确解题的切入点。如何引导学生找准量率对应关系，帮助学生熟练掌握寻找量率对应关系的技巧和方法呢？

前期学生积累了大量的现实世界的数量关系，获得了比较丰富的分析数量关系的经验，以及对列举、转化、假设等这些常用的策略有了初步的感悟。因此，对于需要转一个弯或几个弯的典型的稍复杂的分数应用题，我们可以引导学生借助线段图或列提纲或列表等数形结合思想，通过不同的角度对其条件进行转化，先找到量率对应关系或量额对应关系，将极其复杂的分数实际问题的数量关系简单化，再灵活选择解题策略，为后期提高确定解题思路的意识和能力，形成相应的策略意识打下扎实的基础。

笔者以苏教版六（上）教材P78例2“岭南小学六年级45个同学参加学校运动会，其中男运动员占，求女运动员有多少人”为例，引导学生画出线段图。学生借助线段图，分析条件“男运动员占”，将其转化为标准的结构形式“男运动员占总人数的”，得出单位“1”的量是总人数后，再从两个方向出发：

（1）从条件出发，列出数量关系“总人数×=男运动员人数”，先求出男运动员人数，再用总人数减去男运动员人数解决问题（图3）。

（2）从问题出发，借助列提纲的办法推理得出女运动员人数的对应分率就是1-=，将其转化成“求45人的是多少人”最基本的分数实际问题（图4）。

（3）结合教材P59的学习经验，根据分数的意义，将其转化成按比例分配的实际问题，先算出一份的数，再算出这样4份的数（女运动员人数）：45÷9×（9-5）（图5）。

教师有意识地引导学生使用数形结合思想，借助以上这些重要的辅助工具，直观感受量率（额）对应关系，建构出相应的数学模型“找关键句—转化标准的叙述形式—找单位‘1—找对应—写关系—定方法—列式计算”，进而通过模型将复杂的题型简单化、具体化，快速找到解题的突破口，强化学生的解题思路，为将来学习更复杂的实际问题夯实基础。

对于如苏教版六（上）第四单元“解决问题的策略”的例题1（图6）、苏教版六（上）第六单元“百分数”的例题6（图7）、苏教版六（下）第三单元“解决问题的策略”的例题1（图8）等这类复杂的所有有关分率的典型问题，除了用常规的思路解答外，学生完全能借助以上策略，转化成“大杯容量的（×6+1）倍是720毫升，求大杯容量”（求单位“1”的具体量）“实际造林比原计划多的面积是原计划的百分之几”（求对应百分率）“女生21人所对应的份额是3份，要求男生2份的數是多少”这些最基本的分数实际问题或按比例分配的实际问题。

如此，学生在解决问题的过程中，能体会到策略的多样性，感受选择并灵活运用策略解决问题的过程，增强解决问题的策略意识。通过整理和提炼解决问题过程中获得的经验，学生对整个六年级所有有关（百）分数的实际问题的解决实现了融会贯通，形成了一脉相承的解题思路，提高了解决问题的策略水平以及思维品质。

周玉仁老师说过，教学要注重“实”“活”“新”。笔者觉得在此基础上应再强调一个“深”字，即通过教师层面的结构化教学进行“深度教学”，教给学生一种思维的方式。教师在教学典型（百）分数实际问题时，要注重结构化梳理，明晰知识体系，与转化、类推、分类、对应等数学思想结合，分清分数实际问题类别，剖析新旧知识联系，找准切入点，理清思路，化解重难点，围绕一个中心——“单位‘1的具体量×分率=分率对应的具体量”的数量关系，两个基本点——“量率对应”“量额对应”，三个方法——“列表”“列提纲”“画线段图”展开教学。在这一教学过程中，学生知识逐步内化，有了分析方法的方向，能从多角度思维找到不同的解答方法，有效提高思维含量。长期训练，学生便具备了自主选择、运用方法独立解题的能力。有了数学能力，学生自然也就提升了数学核心素养，唯有如此“双减”才能真正落到实处，教师的教也就达到了“不教”的目的。