巧用（-1）n求解“数字摆动”数列的通项公式

曾中君 周建玲

[摘  要] 近几年，在各地的中考题中，我们常能发现数字规律类试题，且它们常常被放到了中高档题的位置，于是对数字规律题的研究成为很多教师关注和研究的课题. 在数字规律的题目中，研究者对“数字摆动”型规律题进行了专门的研究，发现用线段的中点、三角函数、斐波拉契数列的知识可以较好地解决.

[关键词] 规律题;数字摆动;通项公式

在初中数学规律题中，常会出现像 “1，3，1，3，1，3，…”这样规律的一种数列，有相关文献将此类数列命名为等和数列，其概念为：在一个数列中，从第二项起，如果每一项与它的前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫等和数列，这个常数叫该数列的公和. 如果从函数的角度来解读这类数列，大多数教师或同学会用分段函数来表示它的规律：a=1（n为奇数），

3（n为偶数）.

那么我们是否可以找到一个统一的表达式来表示它呢？下面我们就来对这一类“表达式周期循环”的规律题进行研究.

模型一：“两个不同表达式循环排列”的数列

已知数列：2，3，2，3，2，3，…，求第n个数.

对于这个问题的求解，不少高中教师会用到以下求解方法：

解：设这个数列的第n项为a，第（n+1）项为a，则有a+a=5，那么（-1）n+1a+（-1）n+1a=（-1）n+1×5;设b=（-1）nan，则b=（-1）n+1a，所以b-b=（-1）n+1a-（-1）nan=（-1）n+1a+（-1）n+1a=（-1）n+1（a+a），

即b-b=（-1）n+1×5，然后采用累加法：

b

-b=（-1）2×5，

b

-b=（-1）3×5，

…

b

-b=（-1）n×5，将这（n-1）个式子左、右分别相加，可得：b-b=5×[（-1）2+（-1）3+…+（-1）n]，利用等比数列求和公式容易得出b-b=5×=5×，最后将b移项到右边，可得：b=5×+b=5×-2=，那么a=.

以上解法是十分巧妙的，通过构造新数列作为载体，然后采用累加法思想来连接b和b的数理关系，从而间接得出a的表达式，能够看出这个过程是非常精致的，但是由于初中知识的局限性，很多初中生在理解起来也是很困难的. 在这里，我们将给出一种更为简单适用的方法来推导它的通项公式.

首先作一条数轴，将2和3表示在数轴上的A、B两点处，并在数轴上取2和3的中点M，则M对应的数为，即，如图1所示：

所以AM=BM==，即当n为奇数时，a=-=2;当n为偶数时，a=+=3.

然后联想到“符号周期循环”的符号开关（-1）n，所以a=+（-1）n·=+（-1）n·=.

以上解法运用的是数轴和中点的相关知识，解题过程通俗易懂，“起点低，落点高”，更加适合初中生的认知水平.

在解出了以“两个不同常数循环排列”的数列的通项公式之后，我们发现，其实对于“两个不同表达式循环排列”的数列的通项公式也就可以类比解出了，下面我们就来研究“两个不同表达式循环排列”的数列的通项公式.

设数列a=f（n）（n为奇数），

g（n）（n为偶数），（其中f（n）和g（n）是关于n的两个独立的表达式），即a1=f（1），a=g（2），a3=f（3），a=g（4）…

通过研究发现，上述数列是可以用一个表达式来作为它的通项公式，方法如下：

作一条数轴，我们可以将f（n）（n为奇数）和g（n）（n为偶数）类比视为在数轴上的A、B两点处，并在数轴上取f（n）和g（n）的中点M，则M对应的表达式为，如图2所示：

所以AM=BM=，

所以当n为奇数时，a=f（n）=-，

当n为偶数时，a=g（n）=+，

所以a=+（-1）n·.

例1 观察下列各数：3，1，7，4，11，9，15，16，…，求第n个数的表达式.

模型分析 通过观察，很容易发现该数列的奇数项是一个等差数列，而偶数项呈现的是一组平方数，符合“两个不同表达式循环排列”的模型，可以按照以上推导的通项公式来求解.

解 通过观察可以发现该数列的奇数项是一个等差数列，由于是间隔一项增加4，所以其公差是2，不难给出它的奇数项的表达式为f（n）=2n+1（n为奇数）. 再观察其偶数项是一列平方数，所以偶数项的表达式为g（n）=

（n为偶数），那么运用“两个不同表达式循环排列”的模型的研究成果，我们就能够很快的调配统一出这个数列的通项公式：

a=+（-1）n·=+（-1）n·=+（-1）n·.

模型二：“三个不同表达式循环排列”的数列

在以前的研究成果中，我们发现可以调节符号呈“正正负”规律的“符號开关”，即（-1），那么是否存在一个通项公式来统一规律题中的“三个不同表达式循环排列”的规律呢？即a=f（n）（n=3k-2），

g（n）（n=3k-1），

h（n）（n=3k）. 通过研究发现，这也是可以办到的.

类比“两个不同表达式循环排列”的数列通项公式a=+（-1）n·，再结合符号为“正正负”规律的“符号开关”（-1），我们可以调配统一出规律为“三个不同表达式循环排列”通项公式：a= -，下面让我们来验证其正确性.

已知数列a=f（n）（n=3k-2），

g（n）（n=3k-1），

h（n）（n=3k），其中k为正整数.

证明：a=-

证明 当n=3k-2时，a=-= -=f（n）.

当n=3k-1时，a=-= -=g（n）.

当n=3k时，a=-=-=h（n）.

所以an=-是可以用来调配统一规律为“三个不同表达式循环排列”的数列的通项公式.

例2 观察下列各数：1，4，5，16，32，11，49，256，17，…，求第n个数的表达式.

模型分析 观察这个数列，可以发现该数列的第（3k-2）项是一个满足“平方数”变化规律的数列，该数列的第（3k-1）项是一个以2为公比的等比数列，该数列的第3k项是一个以2为公差的等差数列（k为正整数），即a=n2（n=3k-2），

2n（n=3k-1），

2n-1（n=3k），这是符合“三个不同表达式循环排列”的数列模型，现在我们就能够按照以上的研究成果来统一它的一般表达式.

解 从该数列呈现的规律中可以发现，数列中的数每间隔三项，表现的规律是用一个表达式来满足的，所以我们可以从中归纳出该数列的分段表达式：a=n2（n=3k-2），

2n（n=3k-1），

2n-1（n=3k），那么这个数列的表达式也就可以统一为：an=-.

用一个通项公式来统一“三个不同表达式循环排列”的方法，针对初中生来说，着实太难，如若学生能够完全掌握，那在其思维的扩充上更是“如虎添翼”，同时也能增强学生学习数学的信心，促使学生思维的创新发展. 让我们怀着一种对数学执着追求的态度，大胆质疑、提出猜想、锲而不舍，我相信我们还将会发现数学世界里更多唯美的风景.