回归根本，探寻解题之道

韩辉冰

[摘  要] 几何题千变万化，万变不离其宗，追本溯源，以不变应万变，是教师的授课之道. “将军饮马”问题是多线段和最短问题， 解题依据是两点之间线段最短，通过对称、平移、旋转将多线段和的问题转化成两点间线段最短问题.

[关键词] 线段和;两点间距离;转化

“将军饮马”问题是中考热门考点，且大多数是求线段和最短问题. 在遇到这一问题时通常的做法是采用对称、平移将线段和问题转化成两点间线段最短问题来求解，并没有过多探寻这样做的原因及其达到的目的. 下面根据笔者在进行“将军饮马”问题专题复习时的思路，对线段和问题的做法根本进行探讨，并由此将“将军饮马”问题进行拓展.

模型分析，找寻根本

解决几何问题的通常做法是找到基本原理及基本模型，“将军饮马问题”也不例外，“将军饮马”问题的基本模型如下：

如图1所示，直线l上有一动点P，直线l上方有一定点B，直线l下方有一定点A，在直线l上找一点P，使得PA+PB最短.

分析：由两点之间线段最短可知，连接AB，线段AB与直线l的交点就是需要找的点P. 从题目的最终结论来看，线段之和最短，变成了两点间的距离. 用几何画板演示，三角形三边关系能够解释说明结论. 但笔者认为，线段和最短能转化成两点间的距离，是因为目标线段PA，PB形成了顺次连接. 所以解决此类线段和最短问题，根本思考是使目标线段形成直线型顺次连接，将线段和转化成两点间的距离.

回归根本，模型应用

将含动点多线段和最短转化成两点间距离是根本思路，解决问题的关键点是如何使目标线段形成直线型顺次连接. 线段转化的必要前提是不改变线段的长度，不改变长度的基本变换有对称、平移、旋转. 下面就“将军饮马”的常规模型进行分析.

1. 对称转化

类型一（两定一动型）：如图2所示，直线l1上有一动点P，直线l1上方有两定点A，B，求PA+PB的最小值.

分析  点P是定直线l1上动点，A，B为定点 ，PA+PB在直线l1的同侧，可以通过作定点关于直线l1的对称点，将其中一条线段传化到直线l1的另一侧，图2中将PA转化成PA′，使得PA+PB=PA′+PB，从而达到目标线段直线型顺次连接，最终A′，B两点的距离为PA+PB的最小值.

类型二（一定两动型）：如图3所示，点C，D分别为直线l1，l2上的动点，B为一定点，连接BC，CD，DB，求线段BC+CD+DB的最小值.

分析  本类型涉及两个动点，且两个动点均落在两定直线上，要实现目标线段直线型顺次连接，必然是要转化. BD，CD在直线l1的同侧，BC，CD在直线l2的同侧，显然在转化时应考虑将BC，BD转到相关定直线的另一侧，于是通过对称可将BC+CD+DB转化为B2C+CD+DB1，实现目标线段直线型顺次连接，而B1，B2的距离即为BC+CD+DB的最小值.

2. 平移对称转化

类型三（跨线段两定一动型）：如图4所示，直线l1上有一长度不变的动线段CD，A，B为直线l1上方两定点，求AC+BD的最小值.

分析  定直线l1上相当于有两个动点C，D，显然目标线段AC，BD没有公共顶点，通过对称转化没有办法将目标线段直线型顺次连接，对称无法解决问题. 考虑平移变换，将线段AC，沿线段CD平移到A1D，问题回归到类型一，再通过对称，使AC+BD=A1D+BD=A1′D+BD，最小值为A1′，B两点间的距离.

3. 旋转转化

类型四（三定一动型）：如图5所示，P为△ABC内一动点，求PA+PB+PC的最小值.

分析  PA，PB，PC三条线段共顶点，而且动点P不在固定的直线上，此时对称、平移这两个变换显然已无法实现三条线段顺次连接. 我们知道将图形进行旋转变换也不改变形状和大小，因此考虑旋转. 旋转后要使三条线段顺次连接，连接点必有点P，所以可以保留其中一条线段不动，将另外两条线段转化. 旋转需要确定旋转中心，图中有三个定点A，B，C，三者都是平等关系，所以三个定点都可以为旋转中心. 以B为旋转中心为例，如图6所示，保持PA不动，则PB，PC均需要转化，两条线段最直接的关系是与BC构成△PBC，将△PBC绕点B顺时针旋转60°，由旋转可知，PC=P′C′，连接PP′，△BPP′为等边三角形，PB=P′B=PP′，因此PA+PB+PC=AP+PP′+P′C′，實现了三条目标线段直线型顺次连接，A，C′两点的距离即为PA+PB+PC的最小值. 另外，A，B，C′三点均为定点，所以∠PCB=∠P′C′B也固定，线段AC′与PC的交点即为PA+PB+PC最小时点P的位置.

4. 拓展思考

几何题的魅力在于，当用同一种方法同一种思考去解决一系列的问题时，思维会慢慢打开，引发更多的思考，如将题目变式，结论变式，图形变式等等，但解题思路和方法依然可以延续. 笔者在复习完上面的类型四后，学生提出了新问题，既然在三角形内可以找到一点P使其到三个定点的距离之和最小，是否也可以用这一思路，在三角形边上找三个点使其构成的三角形的周长最小？从教师基本模型分析，到学生最后自主联想新问题的产生，让师生都切身体会到思维发展的过程. 特别是在分析解决学生提出的问题时，学生之间展开了激烈地讨论，解决方案一个一个被提出来，又一次次地被质疑和否定，经过多次地争辩，最终才找到让所有人都心服口服的解法. 笔者将学生的问题及解答整理如下：

如图7所示，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的动点，求DE+DF+EF的最小值.

本题的产生是受类型四的启发，但解法却是从类型二的解法入手，动点在固定的直线上，要实现三条线段形成直线型顺次连接，考虑通过对称转化，但没有定点，这时采取控制变量法. 如图8所示，假设E为定点，分别作点E关于AB，AC的对称点，则DE=DE1，FE=FE2，顺利完成目标线段直线型顺次连接，可以确定，E1，E2两点间的距离就是DE+EF+FD的最小值. 但E并不是定点，因此E1，E2也不是定点，E1，E2的距离何时最短？再次回归根本，在变中寻找不变，E1，E2由对称产生，从对称的性质可知△AE1E2是等腰三角形且∠E1AE2=2∠BAC，因此当AE最短时，线段E1E2最短，E是AC上的动点，当AE⊥BC时，如图9所示，线段E1E2最短，DE+DF+EF的值最小.

思考总结

经过这一系列复习，学生对“将军饮马”问题的几个类型有了清楚的认识，在此过程中感受解题回归根本，找到通性通法的好处，既能解决问题，又能发散思维. 特别是“拓展思考”问题的产生及解决，给师生都带来很大的惊喜，学生们的研究热情也大大提高，这也恰好体现了学生的学习过程从无到有再到更有的生长过程. 后面在复习“胡不归”问题，“阿氏圆”问题时，学生也遵循着使目标线段形成直线型顺次连接这一根本关键点，将难点各个击破.  中考复习知识点多，类型广，难度大，而复习时间又不长，课堂教学很难做到每题精讲，同时学生也面临着各科的复习压力. 因此我们在复习时应秉持“授人以鱼不如授人以渔”的原则. 在专题复习时，多从基本模型，根本方法出发，让学生深刻感受学生有章可行，有法可依，既减轻学生的学习压力，又激发学生学习兴趣;既让学生掌握了知识，又培养了学生的逻辑思维、发散思维和研究精神.

我们在解题时，并不仅仅是抱着将该题解完就结束的心态，而是希望通过研究思考，一层一层，刨根问底，得出此类题型的根本知识点，得到解题的通性通法，以不变应万变. 如果能一直坚持这一原则来开展课堂教学，学生学习起来事半功倍，在遇到新问题时，也能剖析题目本质，轻松解决问题.