浅析数学变式题的编制原则与类型

李慧琴

[摘  要] 变式题是提升学生思维能力的法宝，它能帮助学生理解并掌握知识间的内在规律，形成举一反三、融会贯通的解题能力. 文章认为，编制变式题应遵循规范性、科学性、创造性与层次性原则. 文章具体阐述了变式题中一题多解与多题一解两种类型，并通过这两种类型题目的对比，作了相应反思.

[关键词] 变式;一题多解;多题一解

纵观近些年的高考试题，不少学生都有这样一种感受：所考的题目似曾相识，却又不是做过的原题. 其实，很多常考常新的高考试题，都是命题者以教学大纲和课程标准为依托，根据经典试题改编而来的. 这种命题方式，既体现了基础知识是教学的导向，又对学生思维的灵活性提出了要求. 鉴于此，笔者特别研究了变式题的编制原则和方法，以训练学生思维的灵活性.

[?]变式题的编制原则

1. 规范性

编制变式题首先要有规范，要以教学大纲的要求为基本准则. 试题难度需确保在课程标准所指定的目标范围内，结合考试类型与考试目的而编制. 编制出来的变式题，要做到格式规范、统一，减少不必要的误解.

2. 科学性

任何变式题的编制都应建立在科学性原则的基础上实施，在文字上要保证用词恰当、表意准确、简明扼要，同时还要确保在内容上没有知识性错误.

3. 创造性

编制变式题的主要目的在于激活学生的思维，让学生透过问题的变化与知识间的内部联系，获得良好的创新意识. 因此，编制变式题时，应避免使用公开印发的一些资料的原题，减少相同文字的叙述. 尤其在选择题的编制上，其答案应具有一定的相似性与迷惑性.

4. 层次性

思维的发展是一个循序渐进的过程，因此教师编制变式题时，应遵循层次性原则. 通过由浅入深的问题设置，让学生的思维随着变式题逐渐复杂而深入. 学生在言简意赅的变式训练中，逐步理清知识间的联系，从而建构完整的认知体系.

[?]变式题的主要类型

1. 一题多解

一题多解是指利用不同的数学原理、思路或方法，解决同一种问题. 一题多解的优势在于能在解题过程中，快速整合具有一定联系的数学知识，对培养学生的观察能力、思维能力以及创造能力都有直接影响[1]. 苏轼有云“横看成岭侧成峰”，可以说这是对一题多解最形象的写照，即从不同角度去分析和看待问题，可开阔学生的视野，优化学生的解题思路，提升学生的解题能力与数学素养.

例1 已知点D位于△ABC的BC边上，且CD=2BD，AB∶AD∶AC=3∶k∶1，求实数k的取值范围.

分析：本题题干简单，题意明确，但从不同的角度去观察和分析，可得到不同的解题方法.

解法1：设AC=t（t>0），AB=3t，AD=kt，那么=+=+=+. 因此2=2+·+2，即k2=cosA+. 因为cosA∈（-1，1），所以k∈

，

.

评析：此解法以向量为思维的出发点，将问题中的条件都转化成向量的表达方式，通过数量积求模长的运算获得结论. 这种方法是解决此类问题的常用方法，深得学生青睐. 此过程中，充分体现了数学化归思想在解题中的应用，为培养学生形成良好的数学思想方法奠定了基础.

解法2：以点D为坐标原点，以BC边所在的直线为x轴，建立一个平面直角坐标系. 若CD=2BD=2，那么点B，C，D的坐标就明确了. 设A（x，y），由AB与AC的关系可得8x2-38x+8y2+35=0，确定点A的轨迹是一个圆. 由k=计算出k2=-，可知f（x）=-是关于x的增函数. 由以上结论，计算可得k∈

，

.

评析：此解法的出发点是阿波罗尼斯圆，结合坐标法与动点A的轨迹求解. 此解法带给学生最大的感悟就是本题的背景为阿波罗尼斯圆，只要能找到这个背景特征，问题则迎刃而解.

解法3：从解三角形的角度去分析本题，以△ABC中边与角之间的关系，通过余弦定理获得本题的结论（解题过程略）;也可由AB+AC>BC与AB-AC

解法4：运用几何法解题，设AC=t，AB=3t，AD=kt，DB=m，CD=2m，过点C作EC∥BA，延长AD与EC相交于点E. 根据题设条件，计算可得DE=2kt，EC=6t. 在△AEC中，由任意两边之和大于第三條边，可得3kt+t>6t，

6t+t>3kt，因此

从本题来看，虽然问题没有发生变化，但从不同的角度去看待问题，却出现了多种解题方法，而且每种解题方法都体现出了不同的数学思想. 由此可见，一题多解对训练学生的思维灵活度、发散性以及创造性都具有良好的促进作用. 因此，教师可以时常编制一些一题多解的变式题，以培养学生的数学思想，提升其综合能力.

2. 多题一解

研究发现，当高中生拿到数学试题时，首先会从类似试题的通解或普遍解法着手去思考. 多题一解正是利用了学生这种普遍性的心理特征，通过通用模式来解决各种类似的问题，达到快速、高效的解题目的;减轻学生思想负担的同时，体现了数学化归思想在解题中的作用. 除此之外，多题一解的变式练习，也是培养学生规范答题的一种强化训练.

例2 已知x，y都大于0，2x+y=1，求+的最小值.

分析：这是一道经典试题，主要考查学生利用基本不等式求最值的能力. 此类问题的主要形式为：确定和为定值，求和的最值，或称为“乘1法”，即首先将常数“1”作为系数，与待求式子相乘，再将它代换成已知的式子，从而构造出积是定值的特殊结构. 本题经计算可得3+2为+的最小值. 这种解题方式，可以避免因多次运用基本不等式而导致等号不能同时取到的错误发生.

若式子的和并非为常数“1”，这种解题方法还适用吗？带着这个问题，笔者编制了以下几个变式题，以深化学生认知.

變式1：如果实数A，B，C分别为△ABC的内角，求+的最小值.

变式2：假设在a>b>c的条件下，不等式+≥恒成立，求m的最大值.

变式3：若a+b=2，且b>0，则a取何值时，+取得最小值，是多少？

以上三道变式题由浅入深，与学生的思维发展规律相契合，亦于学生思维发展的最近发展区内. 观察变式3，若依葫芦画瓢模仿例题，将“a+b”与式子相乘，会导致解题失败. 这就要求学生转换一个思维角度，从待求式子的结构着手分析，本题仅需在式子+中进行常数代换，问题就迎刃而解了.

试题千千万，就题论题永远达不到新课标对我们提出的要求. 想要灵活掌握解题技巧与问题的精髓，就要通过少而精的变式训练，达到“解一题，会一类题，通一片题”的境界[2]. 从上述变式题的编制来看，对经典例题进行变式引申，能将问题的内涵与外延淋漓尽致地展现在学生面前. 这种方式，既丰富了教学活动的内容，又高效完成了教学目标，对学生建构良好的认知体系具有深远的影响，同时对培养学生的探索精神、创新能力与数学素养均有一定程度的促进作用.

[?]对比思考

一题多解是训练思维求异性的良好方法，其缺点是思维随着问题而无限扩散，有些学生一味地从不同角度去观察与分析问题，但从不作归纳与反思，整个思维缺乏一个提炼与总结的过程;多题一解是深化学生理解问题本质的良好方法，其缺点是思维缺乏扩散性，学生难以在多题一解中掌握相应的数学思想方法.

经过对比思考，笔者认为，培养学生数学思维能力的渠道与途径有多种，教师应结合教学内容与学生的实际认知水平，有针对性地选择合适的教学手段进行教学. 不论是一题多解还是多解一题的变式题编制，都应以激发学生的探究兴趣为前提，以创新能力的培养为依托，使得每个学生都能获得长足的进步，实现各项能力的可持续性发展[3].

综上，编制变式题是实现“减负增效”的关键. 当我们拿到一道试题时，若能深入问题的本质去分析、探索与反思，通过变式的应用能起到以少胜多、以一当十的作用. 这种方式不但摒弃了让学生苦不堪言的“题海战术”，而且能有效燃起学生的探究热情，促进思维与能力的双提升.

参考文献：

[1]  张宏. 从一道试题的多解性看思维的探究策略[J]. 中学数学研究，2004（02）：22-23.

[2]  吉尔福特. 创造性才能，它们的性质、用途与培养[M]. 施良方，沈剑平，唐晓杰，译. 北京：人民教育出版社，1991.

[3]  吴快华，谭立义. 有效教学的基本功——新课程下中小学教师备课技能指导[M]. 北京：中国出版集团，2008.