浅析如何利用化归思想提升解题效率

贾大雷

［摘  要］ 数学思想是学习的灵魂，是学科的精髓，是解题的风向标，是知识向能力转化的高架桥，其有利于发展学生的数学思维，有利于促进学生实践能力和创新能力的提升. 因此，其在数学学科中的地位是毋庸置疑的. 文章以函数教学为例，引导学生通过分析探究和合作交流体验化归思想在函数中的应用，进而引导学生通过问题的本质特征，找到解决问题的最佳方案，从而提升解题效率.

［关键词］ 数学思想；化归思想；解题效率

高中数学题目多变，尤其是高考数学题目更新颖别致，面对这些多变、新颖的题目学生难免会感觉陌生，那么如何去找到解决问题的切入点和突破口呢？笔者认为，当遇到复杂的、陌生的题目时，要结合已有经验将问题向简单化和熟悉化转变，从而降低问题难度，打开解题的思路，成功解决问题. 要实现这种转变就需要重视学生化归思想的培养. 笔者通过具体案例浅谈化归思想在函数中的应用，借此全面提升学生的能力.

[?]夯实基礎，化归更自觉

坚实的基础是解题策略实施以及数学思想培养的动力源，若教学中仅谈如何培养学生的数学思想而不重视基础知识的积累，那么数学思想就犹如空中楼阁，虽然美好却难以落地. 因此，教学中要重视对“三基”的培养，同时要注意引导，使学生在学习的过程中注意对方法和规律的总结，从而潜移默化地培养学生的数学思想，使学生在解题中可以自觉地、灵活地运用.

例如，若想利用好函数的奇偶性，学生应先掌握函数的定义，理解函数的特点，对函数图像及其特点也要熟记入心，只有将这些基础都吃透，应用时才能得心应手.

例1 偶函数f（x），定义域为［-2，2］，当x≥0时，函数为减函数. 如果f（1-m）

本题求解时很多学生都想从函数的定义域出发，虽然能确定1-m和m在区间［-2，2］内，但不能确定1-m和m哪个在［-2，0］内、哪个在［0，2］内，因此，若按照这个思路求解需要进行烦琐的分类讨论. 众所周知，虽然分类讨论可以化大问题为小问题，从而实现化繁为简的转化，然若分类步骤过多可能会需要较多的时间，而且若分类不清会使出错的概率大大提升. 因此，利用分类讨论求解该问题并不是最优解决方案，解题时要尽量规避分类讨论. 另外，采用分类讨论的思路，烦琐的步骤、复杂的过程容易使学生出现畏难情绪，从而失去继续探究的动力. 基于此，教师要及时进行引导：

师：学习奇、偶函数时有这样两个等价关系还记得吗？

①对于偶函数，有f（x）=f（

x

）；②对于奇函数，若在x=0处有意义，则f（0）=0. （教师给出这两个等价关系后，学生很快给出了答案）

生1：因为f（x）为偶函数，故有f（-m）=f（m）=f（

m

），由已知f（1-m）

1-m

）

m

）；又当x≥0时，函数为减函数，所以1-m>m，m≤2，1-m≤2，解得m∈

-1，

.

应用化归思想使解题过程更加简洁方便，极大地增加了学生解题的信心，当学生再解决类似的函数问题时会自觉地尝试化归转化.

[?]分析探究，化归更灵活

探究是数学学习的必经之路，只有经过不断的探究才能更好地将新知内化至已有认知体系中，从而促进知识体系的完善，为知识的转化和迁移提供动力源. 同时，通过探究可以提升学生的总结归纳能力，使学生能抓住问题的本质，掌握数学思想的精髓，推动数学思想的发展.

函数是高考的核心考点之一，虽然教学时对函数部分进行了重点讲解和重点练习，然因涉及的知识点众多，学生面对部分函数问题求解时仍然会感觉束手无策，难以找到解题的突破口. 为了改变这一现象，部分教师采取了直接讲授法，然因题目多变，直接讲授未能达到预期效果. 为了引导学生发现已知与未知间的联系，从而找到解决问题的突破口，教学中教师不妨引导学生进行分析探究，在分析探究的过程中发现问题的本质特征，找到解题的规律，进而总结归纳出解题思路和解题方法，提升解题能力.

例如，解决二次函数最值问题时，学生常用图像法或代数法，然对于一些含参的二次函数用该方法求解，其求解过程会较为复杂，故解题时教师可以引导学生进行问题转化，从而找到解题的最优方案.

例2 二次函数f（x）=ax2+x-a，其中a≤1，求证：x≤1时，f（x）≤.

本题求解时若直接从二次函数的思路入手，显然计算复杂，不易求解，因此需要转换思路，换个角度观察. 若将a看成主元，将x看成参数，则有g（a）=（x2-1）a+x，转换后即变成了一次函数问题，降次后运算步骤及运算难度都会大大降低. 结合已知，进行分类讨论：①x2-1=0；②x2-1≠0. 这样通过化归转化和分类讨论，解决问题也就水到渠成了.

例3 求函数y=2x-的值域.

本题是含根号的函数，若直接平方去根号显然不容易计算，故可将看成一个整体，即设t=，原函数转化为关于t的函数，再确定函数值域.

令t=，则t≥0，x=t2+1，所以y=2（t2+1）-t=2

t-

+（t≥0），所以值域为

，+∞

.

求解函数的值域问题，虽然有多种方法，然根据解析式特点进行化归转化为解题通法，应用此方法往往使解题过程和运算过程更简便，可以看作解决此类问题的最佳方案.

在求解过程中，让学生经历探究过程，使其参与解题教学，不仅可以提升学生参与的积极性，还可以在探究过程中涌现出许多新思路或新想法，使课堂气氛更加生动. 另外，在教学中渗透化归思想，相当于为学生架设了一座从已知通往未知的桥梁，使已知与未知的转化更流畅，解题更高效.

[?]举一反三，化归更高效

高中数学各章节虽然有明显的划分，然知识点之间往往存在着千丝万缕的联系，这种联系就是转化的开端. 因此，学习数学要关注知识点之间的联系，关注知识体系的建构. 函数可谓贯穿了高中数学的始终，到处都有其具体的应用，如不等式问题或方程问题可以转化为函数问题，借助函数图像，通过数形结合找到解决问题的突破口；当然，有時解决函数问题也往往需要将其转化为方程问题或不等式问题. 无论相互之间如何转化，其目的都是使题目变得更加直观和简单. 在解题教学中，学生应注意观察和分析题目的特点，从具体问题出发，切勿因盲目套用而使问题更加抽象和复杂，得不偿失.

例4 已知函数f（x），a≤x≤b，其中a+b>0，试求g（x）=f（x+z）+f（x-z）的定义域.

本题为求函数定义域的问题，若从函数的角度进行思考，结论会过于抽象，感觉无从下手，故需要将其转化为不等式问题，这样可使问题变得更加直观，而且求解过程也会更加熟悉，有助于提升学生的解题信心和解题积极性.

求解时教师不让学生急于下手，而是通过合作交流一起认真解读已知和结论，通过交流、观察和探究建立不等式组a≤x+z≤b，

a≤x-z≤b，推导关于x的不等式组，结合z>0可得a-z

利用化归思想实现了由函数向不等式的转化，使问题迎刃而解. 通过化归使知识点之间的联系变得更加直观，有利于学生知识体系的完善.

虽然对化归思想的理解学生还仅仅停留于表面，然学生对化归思想的应用却并不陌生，其在数学学习中无处不在. 作为重要的数学思想，化归在数学学习中有着广泛的应用，其有利于训练学生的数学思维，使学生在解决问题时可以从不同角度、不同渠道去思考，通过知识点之间的联系将问题向有利于求解的方向转化.

总之，应用化归思想可使问题的转化更具方向性，可使知识点之间的联系更加直观，可使解题方法更加简单. 因此，在数学教学中，教师应重视渗透化归思想，将其融入“三基”，通过潜移默化的引导和应用使学生形成化归意识. 这样，当学生面对新知识、新问题时可以运用已有知识和已有经验，通过观察、分析、思考，使问题从陌生向熟悉转化，从而提升解题效率.