聚焦核心素养关注数学应用考查关键能力

摘要：新高考对概率统计的考查更加关注数学的应用性.试题创设真实问题情境，理论联系实际，聚焦核心素养，关注数学应用，突出理性思维，考查关键能力，发挥了选拔功能. 其中函数模型视角下的概率统计倍受关注，这类试题主要考查综合应用概率、方程、函数等知识和方法解决实际问题的能力.

关键词：新高考；函数模型；概率统计；核心素养；数学应用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0063-04

收稿日期：2022-07-05

作者简介：杨晓（1986.7-），女，贵州省余庆人，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

中国高考评价体系提出基础性、应用性、综合性、创新性考查要求，2021年新高考Ⅱ卷21题全面落实了这4个方面的考查要求，并在应用性上进行了重点探索.该题聚焦核心素养，关注数学应用，突出理性思维，考查关键能力，发挥了选拔功能. 该题属于函数模型视角下的概率统计试题，其倡导理论联系实际，学以致用，体现数学的应用价值.

1 真题研究

例题（2021年新高考Ⅱ卷） 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来.设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列.设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（X=i）=pi（i=0，1，2，3）.

（1）已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E（X）.

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实数根，求证：当E（X）≤1时，p=1；当E（X）>1时，p<1.

（3）根据你的理解，说明第（2）问结论的实际含义.

解析 （1）根据题意，E（X）=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.

（2）根據题意E（X）=p1+2p2+3p3.

设fx=p3x3+p2x2+p1-1x+p0，因为p3+p2+p1+p0=1，故f0=p0>0，f（1）=p3+p2+p1-1+p0=0.

f ′（x）=3p3x2+2p2x+p1-1，f ″（x）=6p3x+2p2>0，所以y=f ′（x）在（0，+）上单调递增.

f ′（1）=3p3+2p2+p1-1=E（X）-1.

①若E（X）≤1，可得f ′（1）≤0.当x∈（0，1）时，f ′（x）<0，即f（x）在（0，1）上单调递减.故x=1为f（x）的最小正零点，即p=1.

②若E（X）>1，可得f ′（1）>0.因为f ′（0）=p1-1<0，所以在（0，1）上，f ′（x）存在唯一零点，设为x0.

当x∈（0，x0）时，f ′（x）<0，f（x）在（0，x0）上单调递减；当x∈（x0，1）时，f ′（x）>0，f（x）在（x0，1）上单调递增.

故f（x）的最小零点在（0，x0）上，即p<1.

综上所述，当E（X）≤1时，p=1；当E（X）>1时，p<1.

（3）实际含义：当1个微生物个体繁殖下一代的个数的期望值小于或等于1时，该种微生物经过多代繁殖后必然灭绝；当1个微生物个体繁殖下一代的个数的期望值大于1时，该种微生物经过多代繁殖后也不会灭绝.

注该题的第（1）问是随机变量期望的直接计算.第（2）问是从函数的视角解决零点（方程的根）问题.第（3）问则是根据数据结果说明概率问题，属于开放性问题，反映出该生物多代繁殖后，期望值越小，临近灭绝的概率越大；期望越大，临近灭绝的概率越小，与我们提倡的三胎政策相吻合.

2 变式训练

函数模型视角下的概率统计试题创设真实问题情境，体现数学思想方法在解决实际问题中的价值和作用，考查利用数学工具解决实际问题的能力.再看下面三道变式题.

变式1（2022届高三第一次八校联考）元旦将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛.初赛阶段有个人晋级赛和团体对决赛.个人晋级赛为“信息连线”题，每位参赛者只有一次挑战机会.比赛规则为：电脑随机给出错乱排列的五句古诗词和五条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，有三对或三对以上配对正确即可晋级.团体对决赛为“诗词问答”题，为了比赛的广泛性，要求以班级为单位，各班级团队的参赛人数不少于30人，且参赛人数为偶数.为了避免答题先后的干扰，当一个班级团队全体参赛者都答题完毕后，电脑会依次显示各人的答题是否正确，并按比赛规则裁定该班级团队是否挑战成功.参赛方式有如下两种，各班可自主选择其中之一参赛.

方式一：将班级团队选派的2n个人平均分成n组，每组2人.电脑随机分配给同一组两个人一道相同的试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这n个小组都闯关成功，则该班级团队挑战成功.

方式二：将班级团队选派的2n个人平均分成2组，每组n人.电脑随机分配给同一组n个人一道相同的试题，各人同时独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这两个小组至少有一个小组闯关成功，则该班级团队挑战成功.

（1）甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的五组信息有且只有一组能正确配对，其余四组都只能随机配对，求甲同学能晋级的概率；

（2）在团体对决赛中，如果你班每位参赛的同学对给出的试题回答正确的概率均为常数p（0< p<1），为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明你的理由.

解析（1）设甲同学正确配对3对为事件A，正确配对5对为事件B，甲同学能晋级为事件C，则C=A+B，且A，B互斥.因为甲同学只有一组能正确配对，其余四组都随机配对，则P（A）=C24A44=14，P（B）=1A44=124.从而P（C）=P（A）+P（B）=14+124=724，所以甲同学能晋级的概率为724.

（2）设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为P1，P2.

当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为（1-p2），则两人中至少有一人回答正确的概率为1-（1-p）2.所以P1=［1-（1-p）2］n=pn（2-p）n.

当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为pn，则一个小组闯关不成功的概率为1-pn，所以P2=1-（1-pn）2=pn（2-pn）.

所以P1-P2=pn（2-p）n-pn（2-pn）=pn［（2-p）n+pn-2］.

设f（n）=（2-p）n+pn-2，则

f（n+1）-f（n）=（2-p）n+1+pn+1-（2-p）n-pn

=（2-p）n（1-p）+pn（p-1）

=（1-p）［（2-p）n-pn］.

因为00，2-p>1，从而（2-p）n>1，pn<1，所以f（n+1）-f（n）>0，即f（n+1）>f（n），所以f（n）单调递增.

因为f（2）=（2-p）2+p2-2=2p2-4p+2=2（p-1）2>0，则当n≥15时，f（n）>0，从而P1-P2>0. 即P1>P2.

所以為使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参赛.

变式2（2022届广州市高三调研）某校开展“学习中国史”的主题学习活动. 为了调查学生对新中国史的了解情况，需要对学生进行答题测试，答题测试的规则如下：每位参与测试的学生最多有两次答题机会，每次答一题，第一次答对，答题测试过关，得5分，停止答题测试；第一次答错，继续第二次答题，若答对，答题测试过关，得3分；若两次均答错，则答题测试不过关，得0分. 某班有12位学生参与答题测试，假设每位学生第一次和第二次答题答对的概率分别为m，0.5，两次答题是否答对互不影响，每位学生答题测试过关的概率为p.

（1）若m=0.5，求每一位参与答题测试的学生所得分数的数学期望；

（2）设该班恰有9人答题测试过关的概率为f（p），当f（p）取最大值时，求p，m.

解析（1）设每一位参与答题测试的学生所得分数为随机变量X，则X的可能取值为5，3，0. 则

P（X=5）=0.5，P（X=3）=（1-0.5）×0.5=0.25，P（X=0）=（1-0.5）（1-0.5）=0.25.

故每一位参与答题测试的学生所得分数的数学期望为

E（X）=5×0.5+3×0.25+0×0.25=3.25.

（2）由题意得f（p）=C912p9（1-p）3（0

则f ′（p）=C912［9p8（1-p）3-3p9（1-p）2］

=3C912p8（1-p）2（3-4p）.

由f ′（p）=0，得p=0.75；由f ′（p）>0，得0

所以p=0.75是f（p）的极大值点，也是f（p）的最大值点.

由题意得p=1-（1-m）（1-0.5）=0.5+0.5m，所以0.5+0.5m=0.75，解得m=0.5.

所以f（p）取得最大值时，p=0.75，m=0.5.

变式3（2021年山东省广饶市）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以3∶2取胜的队员积2分，失败的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为p0

（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是多少？

（2）第10轮比赛中，记张三3∶1取胜的概率为fp.

①求出fp的最大值点p0；

②若以p0作为p的值，这轮比赛张三所得积分为X，求X的分布列及期望.

解析（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是p=C13C14+C14C15+C13C15C212=4766.

（2）①由题可知fp=C23p31-p=3p31-p，

f ′p=33p21-p+p3×-1

=3p23-4p，

令f ′p=0，得p=34，

當p∈0，34时，f ′p>0，则fp在0，34上单调递增；

当p∈34，1时，f ′p<0，则fp在34，1上单调递减.

所以fp的最大值点p0=34.

②X的可能取值为0，1，2，3.

PX=0=1-p3+C13p1-p3

=1-343+C13×34×1-343=13256；

PX=1=C24p21-p3

=C24×（34）2×1-343=27512；

PX=2=C24p21-p2p

=C24（34）2×1-342×34=81512；

PX=3=p3+pC23p21-p

=（34）3+C23（34）2×1-34×34=189256.

所以X的分布列为

X0123P

132562751281512189256

X的期望为EX=0×13256+1×27512+2×81512+3×189256=1323512.

3 复习备考建议

函数模型视角下的概率统计试题创设真实问题情境，理论联系实际，聚焦核心素养，关注数学应用，突出理性思维，考查关键能力，发挥了选拔功能.我们从以下三点来谈谈在高三的复习备考中如何突破这一类试题.

3.1 注重对历年高考真题的研究

高考真题是高考命题专家智慧的结晶，很经典而且具有很好的代表性和预见性，是高三复习必备的素材.例如2018年全国Ⅰ卷理科第20题，2017年全国Ⅲ卷理科第18题，2016年全国Ⅰ卷理科第18题，2012年全国课标卷理科第18题等都是以生活实际问题为背景，考查函数思想在概率统计中的应用.熟悉这些高考真题，对解决新的概率问题具有很好的借鉴与指导意义.

3.2 掌握概率的相关知识与函数知识

要做好一道综合题，需要掌握很多的知识与思想方法.要解决一道与函数模型有关的概率统计题，则需要掌握古典概型、概率分布（超几何分布、二项分布和正态分布）、随机事件的概率计算与数学期望、互斥事件与对立事件的概率计算等.此外还需掌握作差法比较两个数的大小，利用导数求函数的单调性、极值与最值等.3.3 聚焦核心素养，关注数学应用.

新高考对概率统计试题的考查更加关注数学的应用性，注重结合生活实际，创设真实问题情境，考查数学核心素养与关键能力，同时也综合考查了高中数学常见的数学思想方法.

作为一线教师，在平时的教学尤其是在高三的复习备考中，千万不能忽略对学生核心素养的培养，同时也要培养学生综合应用概率、方程、函数等知识和方法解决实际问题的能力，这样才能适应新高考.

参考文献：

［1］彭海燕，张瑞.概率统计的秘密[M].杭州：浙江大学出版社，2021.

[2] 李鸿昌，杨春波，程汉波.高中数学一点一题型[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2021.