“不联立”解决一类圆锥曲线中直线过定点问题

摘要：本文以几道高考试题和模拟题为例，探究了高考题和模拟题中一类圆锥曲线中直线过定点问题“不联立”的解决办法，同时对圆锥曲线相关性质的教学给出了一点建议.

关键词：圆锥曲线；联立；定点；斜率

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0060-03

收稿日期：2022-07-05

作者简介：魏东升（1985.4-），男，江西省安远人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

圆锥曲线定点问题一直是高考的重点热点问题，对于这类问题需要考生掌握扎实的基础知识和基本的解题方法.直线过定点问题常见的解题方法主要有两种：一种是通过引进参数表示出直线经过的两个点坐标，再由这两点确定直线的方程，从而经过化简得到直线的定点；另一种是直接假设出直线的方程，然后和圆锥曲线联立，再利用韦达定理找出直线中参数的关系，从而得到直线的定点. 这两种方法一般都有联立所设直线和圆锥曲线方程，计算量很大，不易找到定点.本文专注于“不联立”的思路来找直线过的定点，所给的解决方案具有普遍性：1 “不联立”与椭圆

例1（2020年新高考山东卷第20题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为22，且过点A（2，1）.

（1）求C的方程；

（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，点D为垂足.证明：存在定点Q，使得DQ为定值.

解析对于第（1）问，由题意可得椭圆方程为

x26+y23=1，详细解答过程略.

以下对第（2）问进行探究：

直线过定点x0，y0的问题，常通过假设直线的截距式y=kx+b方程，进而找到方程系数之间的关系来求得定点，这种解法是一种常用的方法，也是高考参考答案给出的方法.但许多考生并不能准确找到系数之间的关系，而且有的问题并不能用这种方法.这个时候我们可以尝试采用另一种思路：

假设点M（x1，y1），N（x2，y2），当直线AM，AN的斜率存在且不为0时，设直线AM的方程为

y=k（x-2）+1.

因为AM⊥AN，所以直线AN的方程为

y=-1k（x-2）+1.

联立y=k（x-2）+1和x26+y23=1可得

（1+2k2）x2-（8k2-4k）x+8k2-8k-4=0.

由2·x1=8k2-8k-41+2k2，得

x1=4k2-4k-21+2k2.

代入y=k（x-2）+1，得

y1=-2k2-4k+11+2k2.

即M（4k2-4k-21+2k2，-2k2-4k+11+2k2）.

同理可得N（-2k2+4k+42+k2，k2+4k-22+k2）.

故kMN=

k2+4k-2-2+k2-

-2k2-4k+11+2k2

-2k2+4k+42+2k2-

4k2-4k-21+2k2

=k2+3k-1-2k2+3k+2

所以直線MN的方程为

y=k2+3k-1-2k2+3k+2（x-4k2-4k-21+2k2）+-2k2-4k+11+2k2

=k2+3k-1-2k2+3k+2（x-23）+1+2k23（1+2k2）

=k2+3k-1-2k2+3k+2（x-23）-13.

即直线MN过定点E（23，-13）.

当直线AM，AN的斜率有一个为0时，可得M（-2，1），N（2，-1），所以直线MN的方程为x+2y=0，过定点E（23，-13）.

由于AE为定值，且ΔADE为直角三角形，AE为斜边，

所以AE中点Q满足DQ为定值（AE长度的一半

12

（2-23）2+（1+13）2=423）.

由于A（2，1），E（23，-13），所以由中点坐标公式可得Q（43，13）.

故存在点Q（43，13），使得DQ为定值.

与第一种思路相比，这种假设直线的方法相对更自然，但最后一步要准确找到直线的定点却并不容易，我们来看“不联立”的解决办法：

假设点M（x1，y1），N（x2，y2），则x226+y223=1.

变形可得y2-1x2-2=x2+2-2（y2+1）.

因为kAM·kAN=y1-1x1-2·y2-1x2-2=y1-1x1-2·x2+2-2（y2+1）=-1，

整理，得

2x1y2-x2y1-4y2-2y1+2x1+x2-2=0.

同理可得2x2y1-x1y2-4y1-2y2+2x2+x1-2=0.

两式作差，得

3（x1y2-x2y1）-2（y2-y1）+x1-x2=0.

即x1y2-x2y1x1-x2=-2（y2-y1）3（x1-x2）-13.

所以直线MN的方程为

y=y2-y1x2-x1（x-x1）+y1=y2-y1x2-x1x-x1y2-x2y1x2-x1=y2-y1x2-x1（x-23）-13.

所以过定点E（23，-13），以下解法同上.

2 “不联立”与双曲线

例2（2021年江西赣州高三期末第20题）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，半焦距c=2，点F到右准线x=a2c的距离为12，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）证明：直线MN必过定点，并求此定点坐标.

解析对于第（1）问，由题意可得c-a2c=12，c=2，所以a2=3，b2=c2 -a2=1.

所以双曲线的标准方程为x23-y2=1.

对于第（2）问，常规思路是通过假设直线AB，CD的方程，分别和双曲线联立可得M，N的坐标，从而用点斜式的方式得到定点，这个时候还要考虑直线AB，CD和坐标轴平行的情况.我们来看“不联立”的解决办法：

假设点A（m1，n1），B（m2，n2），点M（x1，y1），N（x2，y2），则m213-n21=1，m223-n22=1.

作差变形，得

n1-n2m1-m2·n1+n2m1+m2=13.

即y1x1-2·y1x1=13.

同理可得y2x2-2·y2x2=13.

从而kAB·kCD=y1x1-2·y2x2-2=y1x1-2·x23y2=-1.

整理，得3x1y2+x2y1-6y2=0.

同理可得3x2y1+x1y2-6y1=0.

两式作差，得

x1y2-x2y1=3（y2-y1）.

所以直线MN的方程为

y=y2-y1x2-x1（x-x1）+y1

=y2-y1x2-x1x-x1y2-x2y1x2-x1

=y2-y1x2-x1（x-3）.

所以直线MN过定点E（3，0）.

3 “不联立”与抛物线

例3（2022年福建漳州质检第20题）抛物线y2=2px（p>0）上的焦点坐标F（12，0），过抛物线内的点P（1，1）作两条斜率分别k1，k2的动弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.

（1）若P（1，1）是AB的中点，求直线AB的方程；

（2）若k1+k2=1，证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标.

解析对于第（1）问，由题意可得抛物線y2=2x，利用点差法可得直线AB的方程为y=x.

对于第（2）问，其和例2中的双曲线一样，都是弦中点连线过定点问题的.我们来看“不联立”的解决办法：

假设点A（m1，n1），B（m2，n2），点M（x1，y1），N（x2，y2），则n21=2m1，n22=2m2.

作差变形，得

n1-n2m1-m2=2n1+n2.

即y1-1x1-1=1y1.

同理可得y2-1x2-1=1y2.

从而k1+k2=y1-1x1-1+y2-1x2-1=y1-1x1-1+1y2=1.

整理，得x1y2=x1-1+y1y2.

同理可得：x2y1=x2-1+y1y2.

两式作差，得

x1y2-x2y1=x1-x2.

所以直线MN的方程为

y=y2-y1x2-x1（x-x1）+y1

=y2-y1x2-x1x-x1y2-x2y1x2-x1

=y2-y1x2-x1x+1.

所以直线MN过定点E（0，1）.

需要指出的是，例1中的点A（2，1）在椭圆上，所以是利用椭圆方程转化斜率之间的关系.而例2和例3中的点虽然不在椭圆上，但都是中点，故而可以用点差法的思路迅速得到斜率之间的转化关系.

圆锥曲线中的定点问题在高考中有广泛的应用，像这样以小专题的形式介绍圆锥曲线中存在的问题，短、平、快地一次性彻底地解决与其有关的问题，对学生解题水平的训练、思维能力的培养和学科素养的提升，想来都是极好的.

参考文献：

［1］魏东升.衣带渐宽终不悔为“e”消得人憔悴——以“e2-1”为定值的有心二次曲线问题探究[J].中学数学杂志，2021（09）：29-31.