在探究中发现,在应用中提升

王菊

[摘  要] 数学探究是提高学生数学学习能力的必经之路. 在日常教学中，教师应为学生铺设一条自主探究之路，引导学生通过思考、探究、交流等各种自觉活动揭示问题的深层结构，从而让学生更好地理解数学、应用数学，提高学生的数学素养.

[关键词] 数学探究;理解数学;应用数学

数学学习是一个不断发现、不断探索、不断完善的过程. 在学习过程中会遇到许多有价值的问题，若对这些问题进行深度探究，往往可以收获意外的惊喜. 教学中教师要认真研究各种教学资源，充分挖掘其中蕴含的规律，从而通过有针对性的启发和引导让学生发现一些结论，掌握一些方法，这样既能激发学生的数学学习积极性，又能提高学生的数学学习能力，提高教学有效性. 笔者在教学中就有这样的经历，现将其分享给大家，以期抛砖引玉.

[?]在探究中发现

在高三二轮复习课上，教师带领学生复习了椭圆的相关知识后，给出了这样一个问题：

如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的直线交椭圆+=1于P，A两点，其中点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长，交椭圆于点B. 求证：PA⊥PB.

题目给出后，教师先让学生独立思考，然后进行小组交流，通过交流得到了多种证明方法.

师：谁来说一说，你是如何证明的？（以下简单叙述学生的回答）

生1：设点P（x，y），则点A（-x，-y），C（x，0），于是可求直线AB的方程. 联立直线AB的方程与椭圆的方程，利用韦达定理求出点B的坐标（用x，y表示），可得PB的斜率. 直线PA的斜率为，若求得直线PB的斜率为-，即可证明.

生2：根据点差法可得（x+x）+2（y+y）k=0. 又点P与点A关于原点对称，所以（x-x）+2（y-y）k=0，从而证明kk=-. 要证明PA⊥PB，只要证明kk=-1，即证明k=2k即可.

生3：想法同生2，不过是先发现k=2k，由此联想到要证明kk=-. 而kk=·=·=. 因为点B，P在椭圆上，所以y=2-x，y=2-x，故kk=-.

师：大家思考以上几种方法，谈谈你的感悟.

生4：生1用的是一种常规的解题方法，思路清晰，易于接受，不过美中不足的是计算量较大. 生2和生3的解法独特，计算量较小，但是对思维能力要求较高，不易想到，可以称得上巧解.

师：分析得很有道理. 对于常规解法相信大家都已经了如指掌了，现在我们一起分析一下以上两种巧解. 回忆一下，在以前学习中，我们是否做过类似的题目或见过类似的图形呢？

生5：我在错题本上看到过这样一个题目. （教师投影展示生5的发现）

已知点A，B是椭圆C：+y2=1上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上异于点A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则=________.

师：确实是一个好问题，大家思考一下，对于这道题该如何求解呢？

生6：===，根据点差法易得kk=-，所以==3.

生6：我也找到了一个题目，与刚刚的题目类似. （教师投影展示生6的笔记）

椭圆C：+=1的左、右顶点分别为A，A，点P为椭圆上一点且直线PA的斜率的取值范围是[-2，-1]，则PA的斜率的取值范围是________.

因课堂时间有限，教师没有让学生继续探究，而是让生6直接给出了之前的解题过程：根据已知易得kk=-，所以k=-，它随着k的增大而增大，所以k的取值范围是

，.

师：分析以上三个题目，你有什么发现吗？

生7：如果A，B是椭圆+=1（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P为椭圆上一点（异于点A，B），则kk=-.

师：总结得非常好，那么这个结论是否可以直接应用呢？

生齐声答：不能，需要验证.

接下来，师生通过共同探究证明了结论（证明过程略）.

设计意图：教学中教师精心设计了一个问题，引导学生挖掘题目背后的价值. 在具体实例的探究中，先让学生进行对比分析，由此得到一般猜想，然后通过对猜想的验证得到了椭圆中的一个重要结论. 在以上教学过程中，教师以生为主，鼓励学生寻找相似题目，并结合证明过程进行总结归纳，有效激发学生的研究兴趣，培养学生抽象概括的能力，提升学生的数学素养.

[?]在应用中提升

师：现在我们一起来看看这道题. （教师用PPT给出题1）

题1 已知椭圆E：+y2=1的上、下顶点分别为A，A，点P是椭圆上一点（异于A，A），直线PA，PA分别交x轴于点M，N，若直线OT与过M，N的圆G相切，切点为T. 求证线段OT的长为定值，并求定值.

题目给出后，学生积极思考，结合上面的结论很快得到了答案.

生8：如图2所示，点P与椭圆E的上、下顶点相连，得kk=-=-，而k= -，k=，故xMxN=4，即OM·ON=4. 根据切割线定理得OT2=OM·ON，所以OT=2.

学生顺利解决题1后，探究的积极性高涨，迫不及待地想解决更多的问题. 基于此，教师给出了题2，打算借助练习提高学生的数学应用意识.

题2 如图3所示，已知点B是椭圆E∶+=1的下顶点，点M为椭圆E上一动点，点N是圆C：x2+y2=2上一点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍. 求证：直线MN恒过一定点.

题2与前面的题目相比，难度略有提升，教师鼓励学生合作交流，从而通过不同思维的碰撞，发现解决问题的突破口.

生9：令椭圆E的上顶点为A，连接MA，NA，则有kk=-. 又AB為圆C的直径，故kk=-1. 又k=2k，所以k=k，可知M，N，A三点共线，即直线MN恒过点A（0，）.

设计意图：为了让学生体验数学发现在学习中的价值，教师精心设计练习，继而通过“用”，促进知识的深化，提高学生解决问题的能力.

[?]再认识、再应用中升华

师：课后大家可以再探究一下这个结论的应用，看看它是不是能解决更多的问题. 课前我也做过类似的研究，有一个问题需要大家帮忙解决.

已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆C上不同于A，B的两个不同动点. 连接MA，MB，NA，NB，这四条直线的斜率存在怎样的等量关系？

生10：kk=kk=-.

师：很好，如果变形这一结论，你会得到什么呢？

生11：=.

师：很好！现在我们借助具体练习看一看，通过简单的变形，它会给我们解题带来哪些便利. （教师给出题3）

题3 如图4所示，已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆C上不同于A，B的两个不同动点，且直线AM与NB相交于点T，直线AN与MB相交于点R，求证：TR⊥x轴.

教师让学生独立完成证明，教师巡视，然后点名让学生给出证明过程.

生12：因为直线MA：y=k（x+a），NB：y=k（x-a），两式联立解得x=a;同理，联立直线NA，MB的方程，解得x=a. 令==t，则有k=tk，k=tk，故x=a，x=a，即x=x，故TR⊥x轴.

师：多么精彩的推理啊！运用变形得到的结论直接解决了问题，有效地避免了复杂的运算，大大地提升了解题效率. 其实，这一结论也是高考的一个重要考点，若解题时能够合理应用，往往可以优化解题过程，提高解题效率. 现在我们继续研究下一个问题.

题4 如图5所示，已知椭圆+=1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，设过点T（9，m）的直线TA，TB与椭圆分别相交于点M（x，y），N（x，y），其中m>0，y>0，y<0. 求证：直线MN必过x轴上的一个定点.

师：题4是2010年高考江苏卷中的一道题，这个题目在前面讲解过，但是当时我们经历了复杂运算，现在大家一起思考，看看通过今天的学习，你是否能够得到一个简单的证明. （学生积极思考）

生13：设直线MN与x轴相交于点E（m，0），则∥，所以（x-m）y-（x-m）y=0. 故m=. k=k=，k=k=，所以k=2k，即=2·，故xy+3y=2xy-6y①. 又==，所以k=2k，即=2·，故xy+3y=2xy-6y ②. 由①-②并整理得xy-xy=y-y，故m=1，所以直线MN必过x轴上的一个定点（1，0）.

设计意图：在原有基础上对结论进行变形，继续挖掘巧解的本质，从而又得到了一结论. 另外，通过再认识、再应用让学生体验探究在解题教学中的价值，有效激发学生的探究欲，培养学生思维的深刻性和变通性.

其实，在解题教学中经常会遇到一些巧妙的解法，而这些巧解的给出并不是偶然的，若解题时能够充分挖掘巧解背后的价值，往往可以将巧解转化为通解，这样不仅有利于提高学生的解题效率，而且有利于发散学生的數学思维，培养学生探究发现的能力，发展学生的数学素养.