注重类比猜想 提升解题能力

王炳炳

[摘  要] 试题教学不仅能巩固学生所学知识，还能提高学生发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力. 文章以一道椭圆试题为例，从“自主学习，开启思维”“差异分析，化繁为简”“类比猜想，揭露本质”“合作探究，总结经验”“总结提炼，能力提升”五个方面展开教学，并谈一些思考.

[关键词] 试题教学;类比猜想;自主学习

哈尔莫斯认为“问题是数学的心脏”. 试题教学不仅能巩固学生所学知识，还能提高学生发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力. 但受综合因素的影响，当今的试题教学仍存在“教师讲得多，学生想得少”的现象，这种现象会消减学生研究问题本质的热情. 为此，笔者在试题教学过程中，尤为关注类比猜想揭示问题本质的作用，本文以一道椭圆试题教学为例，从以下几方面展开阐述.

[?]原题呈现

如图1所示，平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x与椭圆E：+=1（a>b>0）分别相交于点A，B，已知椭圆的离心率是，且AB=2，若点C，D是位于椭圆上非点A，B的两点，直线AC与BD相交于点M，AD与BC相交于点N，连接点M，N.

（1）写出椭圆E的方程;

（2）求证：直线MN的斜率是定值.

[?]学生解题情况分析

本班学生的认知与思维水平较高，具有一定的分析与解决问题的能力. 解决本题，第（1）问学生基本没有做错;第（2）问的分值为10分，但学生的得分率不高，本班53名学生的平均得分只有3.2分，仅有两名学生完全答对. 这样的结果有点出乎意料.

为了找出学生错误的根源，笔者对答卷进行了分析，发现大部分学生虽然有一定的解题想法，终究还是差了点火候. 大部分学生呈现出来的问题主要有：①未能找出直线AC和BC以及直线AD和BD斜率间的关系，使得运算繁杂;难以分别表达出点M，N的坐标，使得解题无法继续;②虽然写出了点M，N的坐标，却无法直接精准地获得MN的斜率;③忽略了直线AC，BC，AD，BD中，有直线的斜率不存在;④少部分学生虽然假设了点M，N的坐标，想以此为突破口直接获得k，但因遇到障碍而放弃.

对学生存在的问题进行分析后，笔者对试题本身也进行了研究，发现本题不仅考查学生解决解析几何问题应具备的常规思维，还蕴含着丰富的数学背景与思想，是一道具有可探索性的问题. 因此笔者特别利用一节课的时间，与学生一起去探索本题的内涵，着重带领学生从类比推理的角度出发，揭露知识的本质，最大化地发挥本题的教学价值.

[?]教学简录

1. 自主学习，开启思维

新课标一再强调学生才是课堂的主人，试题教学也应注重学生的主体地位，本题是学生小练中的一道题，学生对它已经有了一定的了解与思考. 为了培养学生的自主学习能力，笔者在课前将正确答案公布给学生，要求学生对照答案思考自己解题失败的原因是什么，争取在上课前能独立表述本题的解答思路，并寻找到答案之外的解题途径，这对启发学生的数学思维有显著作用.

师：本題的得分率较低，现在大家对本题的答案已经有所了解，哪位同学来跟大家分享一下解题思路？

生1：本题其实就是求直线MN的斜率，该斜率与点M，N的坐标有一定的联系. 假设k，k分别为直线AC，AD的斜率→发现直线AC和BC以及直线AD和BD斜率间的关系→分别写出直线AD，BC的方程→获得点N的坐标（同理获得点M的坐标）→获得直线MN的斜率→对斜率不存在的情况进行验证→获得结论.

师：非常好！可见同学们在课前对本题已经做了详细的了解，现在请大家说一说解决本题的过程中，有哪些求解过程特别值得注意，从中你们获得了哪些体会？

生2：这是一道直线和椭圆的综合应用题，解题时需要注意分类讨论，切忌遗漏直线AC，BC，AD，BD斜率不存在的情况.

生3：在解题过程中，我虽然假设了生2所提到的四条直线的斜率，但要分别求出点M，N的坐标太困难了，因此没能继续做下去. 课前研读答案时，我发现只要熟知椭圆的第三定义，就能很快找到直线AC和BC以及直线AD和BD斜率间的关系，问题便迎刃而解.

师：什么关系？

生3：如图2所示，直线AC和BC斜率的关系为k·k=-=-.

师：此结论与我提供的答案一样，大家还有其他方法吗？

生4：设AC的点斜式方程，与椭圆E联立方程组，先求出点C的坐标，再获得BC的斜率.

师：这种方法虽然有点繁，却是常规法. 从这位同学的表述中，发现一些熟悉的数学结论更容易打开我们的思维. 因此在日常学习中，我们要注重反思与总结，从真正意义上掌握一般性结论，为更好地解题奠定基础.

2. 差异分析，化繁为简

师：通过以上分析，大家还有什么想说的吗？

生5：我认为老师所提供的答案思路更易掌握，但是计算过程有点冗长，容易出错，有没有简单一些的计算方法？

师：确实，我也觉得这个计算过程有点烦琐，大家有没有好的意见？

生6：可以设点M（x，y），N（x，y），求k=，如果能“设而不求”就好了，但我不会.

师：你能想到从目标着手进行分析，值得表扬. 你想解决的目标，在题设条件中有提到吗？若没有，请分析条件中能获得一些什么有用的信息.

生6：根据题设条件，可列式k·k= -，k·k=-，但还是无法解出x，x，y，y的值，好像也很麻烦.

师：大家分析一下，本题我们一定要解出x，x，y，y的值吗？

生（众）：不一定，其实我们只要求出（x-x）与（y-y）两个整体即可.

师：这是一个不错的想法，现在我们一起来尝试一下.

师生共同探讨，发现求出（x-x）与（y-y）两个整体也存在困难. 于是从寻找（x-x）与（y-y）两个整体的倍数关系着手进行分析（过程略）. 这种方法有效简化了运算难度，让学生体验到了学习的成就感.

师：从整体的倍数关系来解题的方法确实减轻了运算量，提高了解题效率，现在大家一起来回顾一下，这种解题方法是怎么来的？由此我们能总结出怎样的经验？

学生讨论总结：如图3所示，此解法从目标出发，通过转化条件进行差异分析而获得.

3. 类比猜想，揭露本质

师：刚刚已经优化了本题的解题方法，现在大家还有什么问题吗？

生7：直线MN的斜率为定值，是否存在潜在的规律？

师：这是一个值得探究的问题，我们要感谢这位同学提出此问. 现在我们一起来分析，直线MN的斜率为什么一定是定值呢？

生8：本题中的椭圆E与直线l都是确定性的条件，直线MN的斜率又由直线l和椭圆E来确定，至于怎么确定，我们可以回顾之前遇到过的类似的求定值的问题. 如刚才我们获得的一个结论——图2中直线AC和BC的斜率关系为k·k=-=-，这就是一个典型的定值问题. 之前我们碰到过这种情况，是类比圆猜想而得的：

如图4所示，在O中，已知∠ACB为直角，也就是k·k=-1，于是猜想椭圆中k·k=-. 因此，此时可将图1中的椭圆改成圆进行分析，猜想k·k=-.

师：非常好！这位同学将圆与椭圆进行类比分析，猜想出原题中的k·k= -这一结论. 众所周知，猜想后需要干什么？

生9：面对猜想，下一步需要验证.

（学生投入探索）

由②-①，得y（y-y）=-x（x-x），因此·=-，也就是k·k=-，此时再检验AC，AD，BC，BD中有斜率不存在的情况即可.

师：大家在大胆猜想后又进行了小心求证，获得了新的结论，有效地拓展了我们的视野.

4. 合作探究，总结经验

师：通过以上猜想证明，大家有什么经验性的收获？

生11：类比圆的一些结论，可推导出椭圆的相关结论.

师：不错，今后我们再遇到一些棘手的椭圆问题时，可以退一步，从圆着手进行分析，通过类比、猜想、验证等，或许能拨开云雾见天日. 现在请各位同学列举一些与圆相类比的椭圆问题.

（学生分组合作交流）

命题1：如图5所示，在平面直角坐标系xOy中，直线l的斜率为k，该直线和O：x2+y2=r2相交于点A，B，点M为AB的中点，倘若k为OM的斜率，则k·k=-1.

由类比猜想可得：

命题2：如图6所示，在平面直角坐标系xOy中，直线l的斜率为k，该直线与椭圆E：+=1（a>b>0）相交于点A，B，点M为AB的中点，倘若k为OM的斜率，则k·k=-.

命题3：如图7所示，在平面直角坐标系xOy中，直线l的斜率为k，该直线与椭圆E：+=1（a>b>0）在点P处相切，如果k为OP的斜率，那么k·k=-.

受时间的限制，课堂上只要求学生证明前两个命题，第三个命题作为学生课后习题去思考.

5. 总结提炼，能力提升

师：通过以上探究，大家有些什么收获？请用思维导图或知识网络图表示.

学生画图，教师将学生的结论投影到黑板上，并要求学生课后独立思考，自主证明命题3，学有余力的学生可以挑战问题拓展，以检测自己的学习成效.

问题拓展：在平面直角坐标系xOy中，点M，N分别为椭圆E：+=1（a>b>0）上，非椭圆顶上的两点，猜想△OMN面积的最大值. 此时，点M，N满足怎样的条件？说明理由.

[?]教学思考

1. 以目标引领为契机，提升数学运算素养

运算能力是数学核心素养的六要素之一，在数学教学中具有重要意义. 然而运算能力既是教师教学的痛点，又是学生学习的惧点. 学生在数学运算方面的表现为：一说就会，一看就懂，但一做就错. 追根究底，学生对运算法则是了解的，但在实际应用中，难以找出合理、简洁的方法去化繁为简，导致运算失误或失败.

本节课，笔者以目标为起点，引导学生从条件中寻找有用的信息，从而获得解题的方向. 学生对于这种模式的教学，感到兴奋、有趣，不知不觉中就优化了运算过程，让解题变得更加轻松自如. 因此，以目标引领为契机，提升数学运算素养的教学方法值得大力提倡.

2. 类比猜想显本质，提升数学解题能力

新课标中明确提出，要培养学生从数学的角度发现并提出问题的能力，鼓励学生在自主分析、合作交流中获得解题技巧. 从本质上来理解，以数学的眼光看待事物，发现问题具有重要的教学意义. 教育学家波利亚认为：“类比在所有发现中都有一定的作用，并且在一些发现中存在重大意义. ”

从实际问题出发进行类比分析，是引导学生发现、探索与解决问题的重要法宝. 实践证明，类比是实现数学发现与再创造的基本方法，尤其适用于将已知性质推广到类似事物上. 课堂中，教师应从学生原有的认知经验出发，带领学生合理应用类比法，提高学生发现与分析问题的能力.

本节课的“类比猜想，揭露本质”环节，要求学生自主发现结论k·k=-，难度较大，因此教师引导学生将椭圆退化为他们熟悉的圆，问题就变得简单易懂了. 这种处理方法，不仅能激发学生的探索欲，引发其数学学习兴趣，还能从很大程度上发展学生的思维能力，为揭露问题的本质奠定基础，如此操作也让课堂更具“数学味”.

3. 形式多样增实效，提升自主学习能力

新课标强调教师应将教学活动的重心放在引導学生自主学习上，每位教师要善于优化教学手段，采取丰富的教学形式增强教学成效. 例如本节课，笔者在课前先将正确答案提供给学生，让学生看着答案思考解题思路，此过程对培养学生的自主学习能力具有显著的促进作用;在“自主学习，开启思维”的过程中，要求学生阐述解题思路，这对培养学生的思维能力与表达能力有一定的帮助;再看后面两个教学片段，要求学生在类比分析中推理并自主总结知识脉络等，都能有效地提高学生的自主学习能力，促进学生反思能力的发展.

总之，问题是数学教学的基础，猜想推理是试题教学的关键. 践行试题教学的过程中，教师不能将目光停留在解题本身上，更应注重一般思想方法的探寻，只有“授人以渔”，才能让学生透过问题的表象发现知识的本质，获得解决问题的能力，为核心素养的形成与发展奠定基础.