立足教材 关注发展

曾庆国

[摘  要] 在高中数学教学中，教师要从学生实际出发，立足教材，充分发挥例习题的使用功能，鼓励学生独立思考和合作交流，有效提升教学品质. 同时，在实际教学中，教师应从学生的角度思考问题、解决问题，巧妙利用问题诱发学生深度思考，提升学生的学习品质，助力学生全面发展.

[关键词] 立足教材;独立思考;学习品质

教材是众多教育专家的智慧结晶，是教学之本，其在教学中的意义和价值是不言而喻的. 若想打造好课堂，教师在教学中就要应用好教材，切实把握教材内容的内涵和外延，以便对知识形成深刻的理解和感悟[1]. 不过，在实际教学中，部分教师为了追求解题效率，将大多精力放在解题教学上，忽视了对教材资源的深度挖掘，未能展示教材内容丰富的内涵，使得教材的价值难以充分体现，影响了学生思维能力的发展. 另外，教材因限于篇幅省略了许多思维过程，若在教学中不能加以呈现，则学生对知识的理解可能一知半解，从而容易出现似懂非懂的情况. 因此，在实际教学中，教师要立足教材，认真研究分析教材，理解教材的设计意图，充分挖掘例习题的使用功能，带领学生经历知识形成和发展的过程，让学生将知识学懂学会，并可以灵活应用. 另外，在实际教学中，教师除了要认真解读教材外，还要结合教学的主客观条件以及学生的实际情况重构教学内容，学会站在学生的角度去思考和解决问题，以此提升教学质量. 教学中应如何立足教材，优化教学呢？笔者结合教学经验，谈几点看法，若有不足，请指正.

[?]理解教材设计意图

对于如何备课，不同的教师有着不同的备课方法和习惯，不过不管应用何种方法和手段，教师都要认真研究教材、研究学生、研究教学，切实从教学实际出发，精心筹备教学活动. 但在实际教学中，尤其是在公开课、汇报课上，大多数教师将主要精力用在课件的设计上，对教材的研究时间很少，从而造成教师对教材的挖掘不够深入，未能理解教材真正的设计意图，导致教学效果不佳，事倍功半. 因此，教师应深入研究教材，理解教材的设计意图，充分挖掘教材蕴含的数学思想和潜在价值，这样在教学中才能用好教材，优化教学.

案例1 某地在市郊的小山上建立一座电视发射塔. 如图1所示，小山的高BC约为30米，在水平地面上有一点A，测得A，C两点的距离为67米，从点A观察电视发射塔的视角（∠CAD）约为45°，求电视发射塔的高度.

图1为人教A版必修4中的“三角恒等变换”章头图，问题乍一看很简单，根据已知可设电视发射塔的高度CD=x米，∠CAB=α，则sinα=. 在Rt△ABD中，tan（45°+α）=tanα，于是x=-30. 对于这个问题，主要有两种解决方案：一是根据sinα=，求出α值，代入上式求解;二是根据tan（45°+α）与tanα，tan45°的关系求解. 以上是从学生的角度出发，按照学生的思路进行的有效分析. 教材编者这样设计问题的目的到底是什么呢？难道仅是考查学生的数学运算能力吗？难道其所要研究的仅是问题本身吗？答案自然是否定的. 对于第一种解决方案，该方案是学生最容易想到的，也是最易于理解的. 不过根据sinα=，求出α值，需要借助计算器，可操作性差，不是最优方案，但可以借此与学生已有的知识结构产生冲突，激发他们探究新知的热情. 对于第二种解决方案，若能发现tan（45°+α）与tanα，tan45°的关系，就能从中抽象出一般的数学公式，这就是教材的设计意图：通过具体情境引出问题，即对一般情况，当α，β为任意角时，能否用α，β的三角函数值表示α+β和α-β的三角函数值，让学生领悟探究新知的必要性，激发学生的探究热情.

为了更好地教学，教师要站在学生的角度思考问题，例如探究案例1时，当学生给出第一种解决方案，利用计算器求解时，教师不要急于否定，也不要视而不见，可以尝试顺着学生的思路去思考，引导学生自主发现第一种解决方案存在的不足，由此让学生自然地过渡到新知的探究中去，以此激发学生对新知识、新方法的探究热情.

理解教材真正的編写意图并掌握学生的基本思维路径后，教师便可以引导学生站在更高的角度去理解教材、应用教材，优化认知，完成知识的系统化建构.

[?]挖掘习题的使用功能

教材例习题经过教育专家仔细推敲、认真打磨，是巩固知识、提高思维水平的重要载体. 教材例习题一般起点低、入口宽，符合学生的认知发展规律，易于激发学生的数学学习热情，培养学生的解题信心[2]. 同时，例习题的视角比较开放，若能合理利用，则有助于发散学生的数学思维. 因此，在例习题教学后，教师要为学生营造广阔的探究空间，引导学生进行全方位、多角度的探究，以此培养学生思维的灵活性和变通性，提升学生的学习能力，实现知识的“再创造”.

案例2 已知圆C：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C：x2+y2-4x-4y-2=0相交于A，B两点，试判断圆C和圆C的位置关系.

本题较为简单，教师可以将学习主动权交给学生，引导学生用代数法和几何法来判断两圆的位置关系. 在顺利求解后，教师进一步对例题进行挖掘，引导学生继续探究.

探究：已知圆C：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C：x2+y2-4x-4y-2=0相交于A，B两点，求直线AB的方程.

引导学生经历“定交点，求方程”的过程，通过求解后反思发现“直线AB的方程就是圆C和圆C的方程之差”. 总结出规律后，教师可以引导学生进行类比猜想：若C1，C2两圆相切，此时圆C和圆C的方程相减，又能得到什么呢？由此猜想“两圆由相交逐渐分离，当A，B两点‘合二为一时，相切两圆的方程相减可得过公切点的切线方程”. 当然猜想不能作为结论，故猜想后要进行推导和验证，在此环节中为了便于学生获得直观感受，并顺利验证该结论的正确性，教师可以应用几何画板验证一般情况，从而得出“若圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0与圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0相切，则圆C与圆C的方程之差（D-D）x+（E-E）y+（F-F）=0表示两圆的公切线方程”. 当学生经历猜想、探究、分析等过程后，教师可以顺势引导他们继续探究思考两圆相离或内含时，两圆方程相减又能得到什么. 学生通过特例发现以上两种情况虽然没有公共点，但是两圆方程相减能够得到一直线方程，可以激发学生对该方程所具有的特殊含义进行探究，然后利用几何法分析发现，该直线与两圆连心线垂直.

通过对例习题的充分挖掘，从相交到相切，再到相离或内含，将相关知识进行串联，可以达到“解一题通一类”的效果，有助于学生优化认知结构.

在数学教学中，解题是巩固知识、强化技能的重要手段，但这并不是教学的最终目的，其最终目的是通过适当练习提高学生分析问题和解决问题的能力，因此在例习题教学中切忌“就题论题”，应引导学生从各个角度、各个知识点去考察和分析例习题，关注知识点间的前后联系，注意知识的横纵拓展和延伸，从而建构完善的认知结构. 同时，教学中教师要关注学生的思维过程，引导学生从理性的高度分析问题、解决问题，通过观察、类比、思考、探究等去更好地理解数学. 另外，在例习题教学中，教师要控制好“量”，切勿为了追求“多”而将学生带入“题海”. 这样做不仅会给学生带来额外的课业负担，而且会占用学生独立思考和自主探究的时间;不仅会抑制学生思维能力的发展，而且容易使学生出现厌烦情绪. 故在数学教学中，教师要注重挖掘例习题的使用功能，借助“少而精”的问题，实现学生思维能力的大发展，促进其解题能力提升.

[?]经历有效的思维训练

数学是一门逻辑性较强的学科，若在学习过程中忽视了知识间的联系，则难以实现知识的系统化建构，势必影响知识的迁移. 要知道，数学学习过程是认知结构完善和优化的过程，如果学生在学习过程中不能将知识串联起来，那么对知识的理解一定是片面的. 判断学生是否理解了新知识，并不是看学生利用新知识解决了多少问题，而是看学生是否将已有知识连在了一起. 因此，在实际教学中，教师应合理应用教材，关注学生的已有知识和已有经验，多带领学生经历知识发生和发展的过程，通过有效的思维训练帮助学生建立完善的认识，从而实现知识的正向迁移.

案例3 函数图像的平移和伸缩变换.

函数是高中数学教学重点，而函数图像的平移和伸缩变换是公认的教学难点. 学生之所以认为它难并不是因为它难以理解，而是因为学习时没有与已有知识建立联系，或者错误地联系已有知识而发生了知识负迁移. 如根据已有知识和经验，容易出现负迁移的原有知识有：①对于图像的平移，坐标轴上“左负右正，下负上正”;②对于图像的伸缩变换，当0<λ<1时，图像缩短原来的λ倍;③当有平移也有收缩变换时，应先平移后变换. 若在教学中让学生死记硬背、生搬硬套，不仅难以让学生理解，而且容易发生知识负迁移. 因此，教学中教师可以利用平移公式x′=x+h，

y′=y+k和伸缩公式x′=λx（λ>0），

y′=μx（μ>0）帮助学生建立新旧知识的联系，引导学生经历知识形成和发展的过程，以此帮助学生深化理解.

经历以上探究后，教师给出了这样一个问题：将函数的图像先向左平移个单位，然后将图像上各点的横坐标缩短至原来的，縱坐标伸长至原来的3倍，得到函数________ 的图像.

学生结合平移公式和伸缩公式，给出了如下求解过程：y=6sin

2x+→y=6sin2

x+

+→y=6sin

2

2x+ +

→=6sin2

2x+

+→y=18sin

4x+.

从练习反馈来看，学生解题时显然游刃有余. 可见，立足已有认知，将新旧知识进行串联，可有效化解教学难点，使学生的思维更加有序，解题能力提到提升.

[?]引导学生独立思考

独立思考是学生获得知识、内化知识、发展智力、提升能力的重要手段，其在教学中的价值和意义是不可取代的，应始终放在教学首位. 不过，在高中数学教学中，为了追求高效，部分教师依然采用“填鸭式”的教学方式，忽视了学生独立思考能力的培养，抑制了学生的思维发展. 为了打破这一局面，教师应认真研究教材、研究学生，合理布局，为激发学生独立思考创造条件，并通过有效启发和引导，让学生学会思考，进而发展学生的独立思考能力.

案例4 已知实数x，y满足不等式（等式）组2x-y≥0，

x≤3，

x+y-4=0，则的最小值为________.

这是在线性规划的复习课上，教师给出的一道随堂练习题. 从练习反馈来看，练习效果不理想. 为了让学生能够学懂吃透，教师没有直接给出答案，而是借助“问题链”引导学生独立思考.

问题1：根据这个不等式（等式）组，你想到了什么？

从学生反馈来看，大多数学生根据已知想到了可行域、线段.

问题2：由可行域或线段，你能解决什么问题？

该问题比较开放，学生给出了多种不同的答案，如研究ax+by+c的取值范围，求或x2+y2的取值范围，等等. 从学生反馈来看，并没有得到教师想要的答案，经过教师的再三引导，学生想到了求或的取值范围的问题.

问题3：仔细观察代数式，你有什么发现？

有了问题2的铺垫，学生容易发现，代数式可变形为，由此将原问题转化为求的取值范围的问题.

从以上教学过程来看，教师为学生创造了一个开放的、自由的问题环境，以此培养学生独立思考的能力，不过学生还没有完成“在已有知识到变形知识上的改变”. 因此，教学中教师要扮演好促进者、引导者、启发者的角色，耐心地指导教学，从学生的实际情况出发，了解学生之所思、所想、所困，从而通过巧妙引导，激活学生认知内驱力，实现认知结构的有效对接，为发展学生的思维能力创造良好的契机.

总之，教学中教师切勿越俎代庖，要为学生预留充足的时间去发现、探究，鼓励学生通过独立思考和合作探究来培养“四基”和发展“四能”.

参考文献：

[1]  占星星，纪宪禹. 让数学核心素养在教材、教学和训练中落地生根——关于数学核心素养的对话[J]. 中国数学教育，2017（06）：2-5+13.

[2]  严江华. 重视教材例题的开发 培养学生数学思维能力[J]. 上海中学数学，2021（05）：8-9+18.