问题解决中的数学语言转换

卢清荣　卢睿瑄

摘 要：小学生要学会用数学的语言表达现实世界，会用数学语言表达现实世界中的简单数量关系与空间形式，会用数学语言表达现实生活和其他学科中事物的性质、关系和规律，并能解释表达的合理性。有效的数学表达离不开数学语言转换，恰当的数学语言转换有助于学生在问题解决过程中构建问题表征、确定解题思路、掌握解题方法、发展数学思维。

关键词：问题解决；数学语言；灵活转换

“会用数学的语言表达现实世界”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的数学核心素养内涵的三个方面之一。学生要能“通过经历用数学语言表达现实世界中的简单数量关系与空间形式的过程，初步感悟数学与现实世界的交流方式；能够有意识运用数学语言表达现实生活和其他学科中事物的性质、关系和规律，并能解释表达的合理性。”“问题解决的活动是以问题为目标导向、以思考为内涵，运用已有知识去探索新情境中的问题结果的活动。”在问题解决的过程中，学生要用已有知识和经验去进行观察、思考、探索和表达，这些活动都离不开数学语言转换，也就是学生把文字语言、图表语言和符号语言进行相互转换的过程。小学生的问题解决过程包括“感知理解问题阶段、确定求解方案阶段、实施问题解决阶段、检验评价阶段”。無论在哪个阶段，学生只有通过数学语言转换，才能实现对问题的理解、分析、推理或演算。数学语言转换越深刻，学生理解问题就越清晰，分析问题就越有条理，解决问题就越顺利，数学表达就越流畅。因此，灵活转换数学语言是学生发展问题解决能力的关键，也是他们运用数学思维进行思考的关键。

一、感知阶段转换，理解问题实质

感知理解问题就是学生通过阅读、观察、提取、比较等思维活动在头脑中构建问题表征的过程。对问题情境的理解水平直接影响着学生对数量关系的分析和求解方案的确立。理解问题阶段，教师要引导学生阅读情境信息，分析情境问题，并转述问题情境的含义，为学生提供将新问题纳入已有认知结构之中的学习空间，恰当提出“中间”问题，促进他们开展丰富多彩的感知活动来理解问题结构。学生在理解问题的过程中恰当转换数学语言，就能整理情境中的分散信息，掌握有用信息之间的逻辑关系，为合理、正确地解决问题提供可能。

教学“长方形和正方形面积”时，有这样一道题目：一个边长为10米的正方形养鱼池的四个角上分别栽种了一棵树。现在要扩大养鱼池，在不移动四棵树的情况下，扩大后的养鱼池形状仍然是正方形，扩大后的面积是多少平方米？学生阅读题目理解问题情境有困难，无法顺利建立鱼池、栽树点和正方形之间的联系，问题无从下手。教师引导学生思考：“把树看作一个点，正方形的四个角各栽一棵树，栽树位置与正方形有什么关系？”学生经过正方形的四个顶点尝试画出更大的正方形，并联想所画正方形与原来正方形之间的关系。

理解问题阶段要让学生明确已知条件中的有用信息，知道问题情境需要解决的问题是什么，从而理解问题本质。学生面对的问题中包含的信息比较多，有正方形、鱼池、正方形四个角栽树、扩大成新的正方形等。教师要提供“中间问题”引导学生思考，“把树看作点，栽树位置的点与正方形有什么关系？”在思考中间问题的过程中，学生把文字语言转换为图形语言，抽象出正方形四角栽树的生活问题就是正方形及四个顶点位置关系的数学问题——求鱼池扩大后的新正方形的面积，需要先确定它的边长。学生画大正方形的过程把问题转换成“过顶点作正方形对角线的垂线”的新问题。通过图形语言转换为新的图形语言，学生发现图形之间的联系，并有条理地表达所要求的问题，从而顺利地理解问题。

二、确定阶段转换，催生求解方案

确定求解方案是根据数量关系确定问题解决的思路、步骤和具体的方法。其过程实质上是在对问题情境理解和数量关系把握基础上，看清楚“已知条件”（当时的状况）和“所求问题”（必须达到的目标）之间的差距，利用相关背景知识，先在头脑中建构问题表征，再根据一定的推理规则和解题策略，把生活问题抽象为系统的、逻辑关系的数学问题，设计解题步骤，选择解题策略，表征问题结构，确定解题思路。将生活问题抽象为数学问题的过程就是数学语言转换的过程。如果数学语言转换顺利，学生对问题结构表征就具体形象。学生对问题结构的抽象越明确，就越有利于建立清晰的解题思路。

教学“多边形面积”时，有这样一道题目：一块长5分米、宽4分米的长方形彩纸，可以剪成多少个两条直角边都是4厘米的直角三角形彩旗？学生把剪彩纸的生活问题抽象为平均分面积的问题，并基于先前知识经验“已知长方形和三角形的面积，用长方形剪三角形”，在头脑中建构解题计划——求剪成直角三角形的个数可以类化为“长方形面积中包含三角形面积个数”的平均分模型，列出算式：（50×40）÷（4×4÷2）=250（个）。

交流思路时，个别学生质疑方法的局限性，认为剪三角形不能包含拼接现象，如果剪的过程中出现“边角料”现象，就会影响平均分模型解题的适用性。学生通过画图转换问题表征形式，发现剪三角形的问题就是“每排剪几个，剪几排，求一共剪多少个”，就是求几个几是多少的乘法模型问题。画图（示意图、线段图、连线列举图、集合图）是数学语言转换的基本形式，可以将抽象的数学知识直观化。学生画图的过程就是把抽象的文字语言转换为图形语言的过程。图形语言以其可见的直观性拉近了已知条件与问题之间的距离，学生因此找到错误思路的症结。数学语言转换帮助学生调整解题方案，形成了问题解决的正确思路。

三、实施阶段转换，优化解题方法

实施问题解决的过程实质就是执行问题解决方案的过程，也就是求解问题答案的过程。在数学问题解决的过程中，学生根据问题的已知条件，按照问题解决的思路将问题情境中数量关系转化为数学模型，列出相应的算式，并求出答案。解决问题时，学生既要明白自己每一步求解的目标是什么，又要判断每一步是否正确。问题解决过程离不开数学语言转换，灵活转换能有效提升学生的运算能力、知识应用能力和交流表达能力。

教学“列方程解决实际问题”时，有这样一道题目：西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米，小雁塔高多少米？学生已经会写含有字母的式子，会用等式的性质解简易方程，会列方程解决一步计算的实际问题。结合题目中的数学信息分析，学生能根据“大雁塔的高度比小雁塔高度的2倍少22米”发现大雁塔和小雁塔高度之间的关系，并进行完整表述：1.小雁塔的高度×2－22=大雁塔的高度；2.小雁塔的高度×2=大雁塔的高度＋22；3.小雁塔的高度×2－大雁塔的高度=22；4.（大雁塔的高度+22）÷2=小雁塔的高度，再设出未知数并解答，最后交流解方程的过程并写出答案。学生在交流、比较中认识到列方程解决实际问题一般用最直接明了的数量关系比较简便。

教师根据学生的认知水平及已有经验引导他们列方程解决实际问题。学生的问题解决过程就是不断转换数学语言的过程：在文字语言转换为新的文字语言中，他们从问题情境中抽象出数量关系式；在文字语言转换为符号语言中，他们根据数量关系式列出方程；在符号语言转换为新的符号语言中，他们解方程求出未知数。通过数学语言转换，学生发现列方程解决问题可以把题目中的未知量与已知量放在同等地位，思考过程更顺畅、更灵活；通过数学语言转换，他们不但理解并掌握了方程的解法，而且能灵活列方程解决实际问题，还能体会方程的思想方法及价值，养成独立思考、主动与他人合作交流等习惯，最终顺利解决了问题，并优化了解决问题的方法——选出了数量关系与题目信息吻合，能充分体现思考过程与解答同步的方程。

四、检验阶段转换，评价探究过程

丰富的思维价值蕴含在问题解决的过程中。回顾、反思问题解决的过程，有助于学生掌握问题解决的方法以及策略等，促进学生问题解决能力的发展。检验评价可以从以下几方面入手：再次观察问题情境，回顾问题解决过程，检验求解算式，验证问题解决结果是否正确；反思问题解决过程，分析解题途径是否合理、精致、简捷，反思为什么要选择这样的解题方法；评价解决问题的策略是否正确、简洁，能否有更简洁的途径验证解题准确性，凸显问题解决方案的多样化和灵活性。检验是数学问题解决的重要环节，可以帮助学生发现一些错误，总结反思可以帮助学生发现其他解题途径，发现不同解题方法之间的联系，以便成为一个更好的问题解决者。

教学“最小公倍数”时，有这样一道题目：张师傅和李师傅出海打鱼，张师傅每休息5天出海打鱼一天，李师傅每休息3天出海打鱼一天。如果张师傅和李师傅在5月3日同时出海打鱼，那么，他们下一次同时出海打鱼的时间是几月几日？学生尝试练习后进行交流，多数学生先求出5和3的最小公倍数15，再从5月3日往后推15天，即5月18日为他们再次同时出海打鱼的时间。个别学生画日历图解决问题：从5月3日开始，张师傅再次出海日期为9日、15日、21日、27日……王师傅再次出海的日期为7日、11日、15日、19日……他们再次同时出海的时间是5月15日。学生的不同答案，似乎都有道理。究竟哪种答案是正确的呢？教师引导学生分析自己的思路和想法，让其他学生检验并判断。有学生提出问题：“张师傅是休、休、休、休、休、出；李师傅是休、休、休、出。休息5天打鱼一天的循环周期是几？”有的学生把原来题目中的信息换一种說法，就是张师傅每6天出海打鱼一天，李师傅每4天出海打鱼一天，求出6和4的最小公倍数12，再用5月3日加上12天就是5月15日。答案在争执中越来越明朗，出现错误答案的学生反思自己的错误原因时，认为自己原来的想法只关注了两人的休息时间5和3，从而出现了方向性选择错误。

在问题解决过程中，学生理解问题的角度不同，常常会在解决同一个问题时提出不同的方法。这些方法可能都是对的，可能都是错的，也可能既有对的也有错的，需要学生进行适当检验、评价和反思，以便从中获得不同的启示。学生的质疑、检验和反思过程，其实就是评价他人或自己方法的过程，也是数学语言转换的过程，他们把“休息5天打鱼一天”“休息3天打鱼一天”转换为新的文字语言，从而发现了方法的错误；学生检验循环周期的过程是把文字语言转换为图形语言的过程，他们通过画图正确理解了题意，解决了问题；学生把原来题目中的信息换一种说法的过程就是把文字语言转换为新的文字语言，解决问题比较简洁。

总之，问题解决是数学思维的过程和目的，也是数学思维的基本方法。数学问题解决远不是单一的解题技巧，它是综合构造数学模型的过程，是设计求解模型方法的过程，也是培养学生运用数学思维帮助思考的过程。教师要引导学生“用数学的思维探索、分析和解决简单陌生情境中的现实生活问题，给出数学描述和解释，运用数学的语言与思想方法，综合运用多个领域的知识，提出设计思路，制定解决方案，能够在解决问题的过程中选择合适的方法进行评估……”在问题解决过程中，如果教师能引导学生熟练转换数学语言，就能帮助学生顺利发现数量关系、正确分析问题和理解问题，就能帮助他们设计正确的求解方案，实施有效的问题解决。

（作者单位：南京师范大学相城实验小学 南京晓庄学院滨河实验学校）

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：6，83.

[2]梁秋莲.“问题解决”教学的研究与实践[J].小学数学教育，2021（23）：4-7.