人教A版高中数学新旧教材的比较研究

农桂香 王守峰

[摘  要] 函数作为贯穿高中数学课程的主线，在整个高中数学教材中占有较大的比重. 基于此，文章以“函数的基本性质”这一小节为例，探究新教材与旧教材在知识结构等各方面的异同，并为新教材的使用提出几点建议.

[关键词] 高中数学;新教材;函数;比较研究

2019年5月，基于《普通高中课程方案和数学学科课程标准（2017年版）》编写的高中数学新教材正式发布，并在2019年秋季学期开始在全国范围内正式使用.本次修订的高中数学新教材与旧教材相比在内容分布、知识呈现方式、例习题等方面有较大的变化.新教材的使用对数学教师而言不仅是一次尝试更是一个挑战，为了便于数学教师更好地开展教学，对新教材与旧教材进行研究、分析、比较就显得尤为重要.本文选取2019年人教版（A版）高中数学教材（简称新教材）[1]和2004年人教版（A版）高中数学教材（简称旧教材）[2]的“函数的基本性质”这一小节作为研究对象，主要从内容分布、知识呈现方式、例习题变化这几方面展開. 通过对新旧人教版高中数学“函数的基本性质”内容进行回顾和梳理，对其变化的特点及经验进行总结和归纳，期望对中学数学教师的教和学生的学有借鉴意义.

[?]内容分布比较

人教A版高中数学新旧教材的“函数的基本性质”内容的分布如表1所示.

从表1可以看出，新旧版本教材在“函数的基本性质”这一内容上保持一致，知识点并无增加或删改，变化在章节的编排上.旧教材的“函数的基本性质”这一部分内容分布在第一章，而新教材的“函数的基本性质”这一部分内容分布在第三章.

[?]知识呈现方式比较

1. 节首内容的比较

首先，新教材对“性质”的含义做了进一步解释，提出“变化中的规律性也是性质”. 其次，在引导学生对函数的性质进行探究时，新旧教材的表述方式也有所不同.旧教材的表述是“函数在什么时候递增或递减”，而新教材的表述是“随着自变量的增大函数值是增大还是减小”. 相比之下，新教材的表述更为准确，因为学生在初中阶段已经利用函数图像研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，而没有学过递增或递减的概念.新教材的表述与学生的已有认知经验更为贴切.

2. 新旧教材内容变动分析

新旧教材在研究函数的基本性质时，都采用了图像语言—文字语言—符号语言的方式，但是两个版本教材的探究方式有所不同.

旧教材通过研究一次函数f（x）=x和二次函数f（x）=x2的单调性进而引出函数单调性的概念. 首先，旧教材先给出一次函数f（x）=x和二次函数f（x）=x2的图像，让学生观察一次函数f（x）=x和二次函数f（x）=x2的上升和下降情况;其次，以二次函数f（x）=x2为例，列出x和f（x）=x2的对应值表，当学生对图像和对应值表进行观察后，再给出函数单调性的一般定义.在研究函数的奇偶性时，旧教材同时给出了相应图像和部分函数值，让学生进行观察.

新教材研究函数的单调性时，主要借助二次函数f（x）=x2的图像进行分析.与旧教材不同的是，新教材并没有列出x和f（x）=x2的对应值表，而是通过对f（x）=x2图像的观察，用文字语言和符号语言去描述. 在研究函数的奇偶性时，新教材先给出了相关函数的图像，接着设置探究环节，再取自变量的一些特殊值，观察函数值的情况.

此外，新旧教材对于函数的三个基本性质的表述也不相同，以“函数的单调性”为例，相互对比如表2所示.

通过对比可知，新教材对于函数单调性概念的描述更加符号化，这是因为新教材在第一章中安排了“集合与常用逻辑用语”这一内容.

3. “思考”“探究”栏目的对比

旧教材主要包括“思考”“探究”“观察”栏目;新教材删去了“观察”这一栏目，主要包括“思考”“探究”栏目.新旧教材“思考”“探究”栏目数量分布情况如表3所示.

由表3可知，新旧教材栏目的变化主要体现在“函数的单调性”和“函数的奇偶性”这两部分内容上.

旧教材在“函数的单调性”这一部分内容中设置了一个思考题和一个探究题.设置思考题的目的是引导学生利用解析式f（x）=x2去描述随着x的增大，相应的f（x）的变化情况，从而引出函数单调性的概念;设置探究题有助于加强学生用定义法判断函数单调性的应用能力.

在探究“函数的奇偶性”时，旧教材给出了两个观察题和一个探究题. 设置两个观察题的目的是为了让学生通过对函数图像以及函数值对应表的观察，去描述函数图像的特征，从而引导学生理解奇函数和偶函数的概念. 在得到奇函数和偶函数的概念后，让学生继续思考——“思考”栏目中的两个小问对学生进一步理解奇函数和偶函数的概念有促进作用.

新教材对“函数的单调性”进行探究时给出了两个思考题.对函数f（x）=x2的单调性进行探究后，给出了“思考一”，设置“思考一”是为了让学生类比函数f（x）=x2的单调性表述方式，对函数f（x）=x和f（x）=-x2的单调性进行表述，从而引出函数单调性的概念. 给出函数单调性的概念后，设置了“思考二”，“思考二”中的第一小问引入错例，让学生举出反例，帮助学生从另一个角度形成对函数单调性概念的认识，认识到函数单调性概念中哪些因素是重要的，起着关键作用. “思考二”中的第二小问让学生举出例子，目的是让学生清楚在定义域上的单调与在区间上的单调的区别.

在探究“函数的奇偶性”时，新教材设置了两个探究题和一个思考题. 两个探究题的设置旨在让学生类比函数单调性的符号语言表述方式去描述相关函数图像的有关特征. 在“思考”栏目中，新教材比旧教材多设置了一个小问，第三小问让学生思考“如果知道y=f（x）为偶（奇）函数，怎样简化对它的研究”，引导学生利用偶（奇）函数的图像及性质去解决问题，复杂问题简单化，对学生的思维起着很好的锻炼作用.

[?]新旧教材例习题的对比

1. 例习题数量对比

新旧教材例习题数量对比如表4所示.

新旧教材例习题数量相差不大，新旧教材在“函数的最大（小）值”和“函数的奇偶性”中设置的例题数量持平，在“函数的单调性”中新教材比旧教材多设置了一个例题.

2. 例习题内容对比

例题内容的变化主要体现在“函数的单调性”这部分内容上. 旧教材的例1让学生通过图像观察对函数的单调区间进行描述，以及对函数在每一单调区间上是增函数还是减函数进行判断. 新教材的例1让学生根据定义，对函数f（x）=kx+b（k≠0）的单调性进行研究. 新旧教材的例2内容相同，新教材多设置了例3，让学生根据定义证明函数y=x+在区间（1，+∞）上单調递增.

通过对新旧教材的习题比较可知，新教材将习题分为三个部分——复习巩固部分、综合运用部分以及拓广探索部分，分层次设置相关题目. 新教材对旧教材的大部分习题有所保留，对部分习题进行了删减，同时增加了一些新题目.教材删去了旧教材习题A组中的第1、6、8题以及习题B组中的第1、3题，新增了“复习巩固”的第4题，“综合运用”的第7、8、9题以及“拓广探索”的第13题.

3. 例习题难度水平对比

由前面的分析可知，新教材对旧教材的大部分例习题都有所保留，故进行例习题难度水平对比时，将旧教材删掉的那部分例习题（如例1，A组中的第1、6、8题，习题B组中的第1、3题）与新教材新增的那部分例习题（如例1、例3，“复习巩固”的第4题，“综合运用”的第7、8、9题以及“拓广探索”的第13题）作为比较对象. 采用鲍建生教授提出的综合难度模型，测定所选择样本的难度水平[3]. 综合难度模型的难度因素、水平以及赋值情况如表5所示.

根据鲍建生教授提出的综合难度模型对所选样本的难度水平进行评定，由评定结果画出如图1所示的雷达图：

通过对雷达图的观察可知，新教材在“函数的基本性质”这一节中的例习题的综合难度整体大于旧教材. 具体来看，新教材中例习题的探究水平、推理水平、知识水平以及运算水平都是大于旧教材的，而新教材在例习题的背景水平上要明显低于旧教材.

[?]总结与建议

通过对新旧教材中“函数的基本性质”内容进行对比分析可知，新教材与旧教材相比有如下特点：①在概念的探究上更加注重概念形成过程;②在知识的呈现上渗透着多种数学思想;③在知识的应用上更加注重概念的直接运用.为了在教学中更好适应新教材的这些变化特点，本文提出如下教学建议.

首先，教师要强化学生对概念的理解.新教材与旧教材相比，对概念的生成以及理解更为注重.教师实施教学时应结合学生已有的知识经验，让学生经历诸如类比探究、抽象概括等一系列思维活动，经历从个别到一般、从具体到抽象的探究活动，帮助学生搭建起已有概念和新概念之间的桥梁，从而把握新概念的本质. 此外，教师引导学生得出新概念后，还应对概念中的关键因素进行解释. 教师在教学过程中可以通过举反例的方式，让学生对概念的理解更为深入.

其次，教师要在教学过程中渗透数学思想方法. 数学思想作为一种普遍适用的方法，它以具体数学内容为载体，又高于具体内容. 诸如转化思想、分类思想、数形结合思想、化归思想等都是常用的数学思想方法. 数学教师在数学教学中无形地渗透一些基本数学思想方法，可以帮助学生深刻认识所学内容，对学生核心素养的培养也有很大的促进作用.

最后，教师要加强对学生的思维锻炼，提升学生的综合能力. 通过对例习题内容的分析可知，新教材的例习题难度大于旧教材，但新教材中有生活背景的习题较少，大多是纯粹的数学题，这说明新教材更加注重概念的形式化应用.此外，新教材对学生的探究能力、推理能力、知识储备、运算能力等方面提出了更高的要求. 为适应新教材的这些特点，教师讲解例习题时可以更换题目的条件或结论让学生求解，引导学生总结解题的方法，提高学生的综合能力.

参考文献：

[1]  人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书A版：数学（必修第一册）[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[2]  人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书：数学（必修1）[M]. 北京：人民教育出版社，2004.

[3]  鲍建生. 中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J]. 全球教育展望，2002，31（09）：48-52.